Teorema de interpolación de Marcinkiewicz

En matemáticas , particularmente en análisis funcional , el teorema de interpolación de Marcinkiewicz , descubierto por Józef Marcinkiewicz ( 1939 ) , es un resultado que acota las normas de operadores no lineales que actúan en espacios L ^p . 

El teorema de Marcinkiewicz es similar al teorema de Riesz-Thorin sobre operadores lineales , pero también se aplica a operadores no lineales.

Sea f una función medible con valores reales o complejos, definida en un espacio de medida ( X , F , ω). La función de distribución de f se define por  

${\displaystyle \lambda _{f}(t)=\omega \left\{x\in X\mid |f(x)|>t\right\}.}$

Entonces f se llama débil${\displaystyle L^{1}}$Si existe una constante C tal que la función de distribución de f satisface la siguiente desigualdad para todo t  >  0:

${\displaystyle \lambda _{f}(t)\leq {\frac {C}{t}}.}$

La constante más pequeña C en la desigualdad anterior se llama constante débil.${\displaystyle L^{1}}$norma y se suele denotar por${\displaystyle \|f\|_{1,w}}$o${\displaystyle \|f\|_{1,\infty }.}$De manera similar, el espacio se suele denotar por L ^{1, w} o L ^1,∞ .

(Nota: Esta terminología es un poco engañosa ya que la norma débil no satisface la desigualdad triangular como se puede ver al considerar la suma de las funciones en${\displaystyle (0,1)}$dado por${\displaystyle 1/x}$ y${\displaystyle 1/(1-x)}$, que tiene norma 4, no 2.)

Cualquier${\displaystyle L^{1}}$La función pertenece a L ^{1, w} y además se tiene la desigualdad

${\displaystyle \|f\|_{1,w}\leq \|f\|_{1}.}$

Esto no es más que la desigualdad de Markov ( también conocida como desigualdad de Chebyshev ). Lo contrario no es cierto. Por ejemplo, la función 1/ x pertenece a L ^{1, w} pero no a L ¹ .

De manera similar, se puede definir lo débil${\displaystyle L^{p}}$espacio como el espacio de todas las funciones f tales que${\displaystyle |f|^{p}}$pertenecen a L ^{1, w} y el débil${\displaystyle L^{p}}$norma usando

${\displaystyle \|f\|_{p,w}=\left\||f|^{p}\right\|_{1,w}^{\frac {1}{p}}.}$

De forma más directa, la norma L ^{p , w} se define como la mejor constante C en la desigualdad

${\displaystyle \lambda _{f}(t)\leq {\frac {C^{p}}{t^{p}}}}$

para todo t  >  0.

Informalmente, el teorema de Marcinkiewicz es

Teorema. Sea T un operador lineal acotado de${\displaystyle L^{p}}$a${\displaystyle L^{p,w}}$y al mismo tiempo desde${\displaystyle L^{q}}$a${\displaystyle L^{q,w}}$Entonces T también es un operador acotado de${\displaystyle L^{r}}$a${\displaystyle L^{r}}$para cualquier r entre p y q .

En otras palabras, incluso si solo se requiere una acotación débil en los extremos p y q , la acotación regular sigue siendo válida. Para formalizar esto, es necesario explicar que T está acotada únicamente en un subconjunto denso y puede completarse. Véase el teorema de Riesz-Thorin para más detalles.

Donde el teorema de Marcinkiewicz es más débil que el teorema de Riesz-Thorin es en las estimaciones de la norma. El teorema da cotas para la${\displaystyle L^{r}}$norma de T pero este límite aumenta al infinito cuando r converge a p o q . Específicamente ( DiBenedetto 2002 , Teorema VIII.9.2) , supongamos que

${\displaystyle \|Tf\|_{p,w}\leq N_{p}\|f\|_{p},}$

${\displaystyle \|Tf\|_{q,w}\leq N_{q}\|f\|_{q},}$

de modo que la norma del operador T de L ^p a L ^{p , w} es como máximo N _p , y la norma del operador T de L ^q a L ^{q , w} es como máximo N _q . Entonces se cumple la siguiente desigualdad de interpolación para todo r entre p y q y todo f  ∈ L ^r : 

${\displaystyle \|Tf\|_{r}\leq \gamma N_{p}^{\delta }N_{q}^{1-\delta }\|f\|_{r}}$

dónde

${\displaystyle \delta ={\frac {p(qr)}{r(qp)}}}$

y

${\displaystyle \gamma =2\left({\frac {r(qp)}{(rp)(qr)}}\right)^{1/r}.}$

Las constantes δ y γ también se pueden dar para q  =  ∞ pasando al límite.

Una versión del teorema también se cumple de forma más general si se supone que T es un operador cuasilineal en el siguiente sentido: existe una constante C  >  0 tal que T satisface

${\displaystyle |T(f+g)(x)|\leq C(|Tf(x)|+|Tg(x)|)}$

para casi todo x . El teorema se cumple exactamente como se afirma, excepto que γ se reemplaza por

${\displaystyle \gamma =2C\left({\frac {r(qp)}{(rp)(qr)}}\right)^{1/r}.}$

Un operador T (posiblemente cuasilineal) que satisface una estimación de la forma

${\displaystyle \|Tf\|_{q,w}\leq C\|f\|_{p}}$

Se dice que es de tipo débil ( p , q ) . Un operador es simplemente de tipo ( p , q ) si T es una transformación acotada de L ^p a L ^q :

${\displaystyle \|Tf\|_{q}\leq C\|f\|_{p}.}$

Una formulación más general del teorema de interpolación es la siguiente:

• Si T es un operador cuasilineal de tipo débil ( p ₀ , q ₀ ) y de tipo débil ( p ₁ , q ₁ ) donde q ₀  ≠ q ₁ , entonces para cada θ ∈ (0,1), T es de tipo ( p , q ), para p y q con p ≤ q de la forma   

${\displaystyle {\frac {1}{p}}={\frac {1-\theta }{p_{0}}}+{\frac {\theta }{p_{1}}},\quad {\frac {1}{q}}={\frac {1-\theta }{q_{0}}}+{\frac {\theta }{q_{1}}}.}$

Esta última formulación se deduce de la anterior mediante la aplicación de la desigualdad de Hölder y un argumento de dualidad.

Un ejemplo de aplicación famoso es la transformada de Hilbert . Vista como un multiplicador , la transformada de Hilbert de una función f se puede calcular tomando primero la transformada de Fourier de f , luego multiplicando por la función signo y, finalmente, aplicando la transformada inversa de Fourier .

Por lo tanto, el teorema de Parseval muestra fácilmente que la transformada de Hilbert está acotada desde${\displaystyle L^{2}}$a${\displaystyle L^{2}}$Un hecho mucho menos obvio es que está delimitado por${\displaystyle L^{1}}$a${\displaystyle L^{1,w}}$Por lo tanto, el teorema de Marcinkiewicz muestra que está acotado desde${\displaystyle L^{p}}$a${\displaystyle L^{p}}$para cualquier 1 < p < 2. Los argumentos de dualidad muestran que también está acotada para 2 < p < ∞. De hecho, la transformada de Hilbert no está acotada para p igual a 1 o ∞.

Otro ejemplo famoso es la función maximal de Hardy-Littlewood , que es solo un operador sublineal en lugar de lineal. Mientras que${\displaystyle L^{p}}$a${\displaystyle L^{p}}$Los límites se pueden derivar inmediatamente de la${\displaystyle L^{1}}$demasiado débil${\displaystyle L^{1}}$Estimación mediante un ingenioso cambio de variables, la interpolación de Marcinkiewicz es un enfoque más intuitivo. Dado que la función máxima de Hardy-Littlewood está trivialmente acotada desde${\displaystyle L^{\infty }}$a${\displaystyle L^{\infty }}$, límites fuertes para todos${\displaystyle p>1}$Se deduce inmediatamente de la estimación débil (1,1) y la interpolación. La estimación débil (1,1) se puede obtener a partir del lema de recubrimiento de Vitali .

El teorema fue anunciado por primera vez por Marcinkiewicz (1939) , quien se lo mostró a Antoni Zygmund poco antes de morir en la Segunda Guerra Mundial. Zygmund casi lo olvidó y no lo incluyó en sus trabajos originales sobre la teoría de operadores integrales singulares . Posteriormente , en 1956, Zygmund se percató de que el resultado de Marcinkiewicz podía simplificar enormemente su trabajo, por lo que publicó el teorema de su antiguo alumno junto con una generalización propia.

En 1964, Richard A. Hunt y Guido Weiss publicaron una nueva demostración del teorema de interpolación de Marcinkiewicz. ^{[ 1 ]}

• Espacio de interpolación

• DiBenedetto, Emmanuele (2002), Análisis real , Birkhäuser, ISBN 3-7643-4231-5.
• Gilbarg, David ; Trudinger, Neil S. (2001), Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden , Springer-Verlag, ISBN 3-540-41160-7.
• Marcinkiewicz, J. (1939), "Sur l'interpolación de operaciones" , CR Acad. Ciencia. París , 208 : 1272-1273​
• Stein, Elias ; Weiss, Guido (1971), Introducción al análisis de Fourier en espacios euclidianos , Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X.
• Zygmund, A. (1956), "Sobre un teorema de Marcinkiewicz sobre la interpolación de operaciones", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , Neuvième Série, 35 : 223– 248, ISSN 0021-7824 , MR 0080887