Espacio de interpolación

En el campo del análisis matemático , un espacio de interpolación es un espacio que se encuentra "entre" otros dos espacios de Banach . Las principales aplicaciones se encuentran en los espacios de Sobolev , donde los espacios de funciones que tienen un número no entero de derivadas se interpolan a partir de los espacios de funciones con un número entero de derivadas.

La teoría de interpolación de espacios vectoriales comenzó con una observación de Józef Marcinkiewicz , posteriormente generalizada y ahora conocida como el teorema de Riesz-Thorin . En términos simples, si una función lineal es continua en un cierto espacio L ^p y también en un cierto espacio L ^q , entonces también es continua en el espacio L ^r , para cualquier intermedio r entre p y q . En otras palabras, L ^r es un espacio que es intermedio entre L ^p y L ^q .

En el desarrollo de los espacios de Sobolev, se hizo evidente que los espacios de trazas no eran ninguno de los espacios de funciones habituales (con un número entero de derivadas), y Jacques-Louis Lions descubrió que, de hecho, estos espacios de trazas estaban constituidos por funciones que tienen un grado de diferenciabilidad no entero.

Se han diseñado muchos métodos para generar dichos espacios de funciones, incluyendo la transformada de Fourier , la interpolación compleja, ^[1] la interpolación real, ^[2] así como otras herramientas (véase por ejemplo la derivada fraccionaria ).

Se dice que un espacio de Banach X está continuamente embebido en un espacio vectorial topológico de Hausdorff Z cuando X es un subespacio lineal de Z tal que la función de inclusión de X en Z es continua. Una pareja compatible ( X ₀ , X ₁ ) de espacios de Banach consiste en dos espacios de Banach X ₀ y X ₁ que están continuamente embebidos en el mismo espacio vectorial topológico de Hausdorff Z . ^[3] La embebición en un espacio lineal Z permite considerar los dos subespacios lineales

$Estilo de visualización X_{0}\cap X_{1}}$

y

${\displaystyle X_{0}+X_{1}=\left\{z\en Z:z=x_{0}+x_{1},\ x_{0}\en X_{0},\,x_{1}\en X_{1}\right\}.}$

La interpolación no depende únicamente de las clases de equivalencia isomorfas (ni isométricas) de X ₀ y X ₁ . Depende de manera esencial de la posición relativa específica que X ₀ y X ₁ ocupan en un espacio mayor Z .

Se pueden definir normas en X ₀ ∩ X ₁ y X ₀ + X ₁ mediante

${\displaystyle \|x\|_{X_{0}\cap X_{1}}:=\max \left(\left\|x\right\|_{X_{0}},\left\|x\right\|_{X_{1}}\right),}$

${\displaystyle \|x\|_{X_{0}+X_{1}}:=\inf \left\{\left\|x_{0}\right\|_{X_{0}}+\left\|x_{1}\right\|_{X_{1}}\ :\ x=x_{0}+x_{1},\;x_{0}\en X_{0},\;x_{1}\en X_{1}\right\}.}$

Equipadas con estas normas, la intersección y la suma son espacios de Banach. Las inclusiones siguientes son todas continuas:

${\displaystyle X_{0}\cap X_{1}\subconjunto X_{0},\ X_{1}\subconjunto X_{0}+X_{1}.}$

La interpolación estudia la familia de espacios X que son espacios intermedios entre X ₀ y X ₁ en el sentido de que

${\displaystyle X_{0}\cap X_{1}\subconjunto X\subconjunto X_{0}+X_{1},}$

donde los dos mapas de inclusiones son continuos.

Un ejemplo de esta situación es el par ( L ¹ ( R ), L ^∞ ( R )) , donde los dos espacios de Banach están continuamente embebidos en el espacio Z de funciones medibles sobre la recta real, dotado de la topología de convergencia en medida. En esta situación, los espacios L ^p ( R ) , para 1 ≤ p ≤ ∞ son intermedios entre L ¹ ( R ) y L ^∞ ( R ) . De manera más general,

${\displaystyle L^{p_{0}}(\mathbf {R} )\cap L^{p_{1}}(\mathbf {R} )\subconjunto L^{p}(\mathbf {R} )\subconjunto L^{p_{0}}(\mathbf {R} )+L^{p_{1}}(\mathbf {R} ),\ \ {\text{cuando}}\ \ 1\leq p_{0}\leq p\leq p_{1}\leq \infty ,}$

con inyecciones continuas, de modo que, en la condición dada, L ^p ( R ) es intermedio entre L ^{p ₀} ( R ) y L ^{p ₁} ( R ) .

Definición. Dadas dos parejas compatibles ( X ₀ , X ₁ ) y ( Y ₀ , Y ₁ ) , un par de interpolación es una pareja ( X , Y ) de espacios de Banach con las dos propiedades siguientes:

• El espacio X es intermedio entre X ₀ y X ₁ , e Y es intermedio entre Y ₀ e Y ₁ .
• Si L es cualquier operador lineal de X ₀ + X ₁ a Y ₀ + Y ₁ , que asigna continuamente X ₀ a Y ₀ y X ₁ a Y ₁ , entonces también asigna continuamente X a Y .

Se dice que el par de interpolación ( X , Y ) tiene un exponente θ (con 0 < θ < 1 ) si existe una constante C tal que

${\displaystyle \|L\|_{X,Y}\leq C\|L\|_{X_{0},Y_{0}}^{1-\theta }\;\|L\|_{ X_ {1}, Y_ {1}} ^ {\theta}}$

para todos los operadores L como arriba. La notación || L || _{X , Y} es para la norma de L como una función de X a Y . Si C = 1 , decimos que ( X , Y ) es un par de interpolación exacto de exponente θ .

Si los escalares son números complejos , se utilizan propiedades de funciones analíticas complejas para definir un espacio de interpolación. Dado un par compatible ( X ₀ , X ₁ ) de espacios de Banach, el espacio lineal consta de todas las funciones f   : C → X ₀ + X ₁ , que son analíticas en S = { z  : 0 < Re( z ) < 1}, continuas en S = { z  : 0 ≤ Re( z ) ≤ 1}, y para las cuales todos los subconjuntos siguientes están acotados: ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X_{0},X_{1})}$ 

{  f  ( z ) : z ∈ S } ⊂ X ₀ + X ₁ ,

{  f  ( it ): t ∈ R } ⊂ X ₀ ,

{  f  (1 + it ): t ∈ R } ⊂ X ₁ .

${\displaystyle {\mathcal {F}}(X_{0},X_{1})}$es un espacio de Banach bajo la norma

${\displaystyle \|f\|_{{\mathcal {F}}(X_{0},X_{1})}=\max \left\{\sup _{t\in \mathbf {R} }\|f(it)\|_{X_{0}},\;\sup _{t\in \mathbf {R} }\|f(1+it)\|_{X_{1}}\right\}.}$

Definición. ^[4] Para 0 < θ < 1 , el espacio de interpolación complejo ( X ₀ , X ₁ ) _θ es el subespacio lineal de X ₀ + X ₁ que consiste en todos los valores f ( θ ) cuando f varía en el espacio precedente de funciones,

${\displaystyle (X_{0},X_{1})_{\theta }=\left\{x\en X_{0}+X_{1}:x=f(\theta ),\;f\en {\mathcal {F}}(X_{0},X_{1})\right\}.}$

La norma en el espacio de interpolación complejo ( X ₀ , X ₁ ) _θ está definida por

${\displaystyle \ \|x\|_{\theta }=\inf \left\{\|f\|_{{\mathcal {F}}(X_{0},X_{1})}\ :\ f(\theta )=x,\;f\in {\mathcal {F}}(X_{0},X_{1})\right\}.}$

Equipado con esta norma, el espacio de interpolación complejo ( X ₀ , X ₁ ) _θ es un espacio de Banach.

Teorema. ^[5] Dados dos pares compatibles de espacios de Banach ( X ₀ , X ₁ ) y ( Y ₀ , Y ₁ ) , el par (( X ₀ , X ₁ ) _θ , ( Y ₀ , Y ₁ ) _θ ) es un par de interpolación exacta de exponente θ , es decir, si T  : X ₀ + X ₁ → Y ₀ + Y ₁ , es un operador lineal acotado de X _j a Y _j , j = 0, 1 , entonces T está acotado de ( X ₀ , X ₁ ) _θ a ( Y ₀ , Y ₁ ) _θ y$${\displaystyle \|T\|_{\theta}\leq \|T\|_{0}^{1-\theta}\|T\|_{1}^{\theta}.}$$

La familia de espacios L ^p (que consiste en funciones de valores complejos) se comporta bien bajo interpolación compleja. ^[6] Si ( R , Σ, μ ) es un espacio de medida arbitrario , si 1 ≤ p ₀ , p ₁ ≤ ∞ y 0 < θ < 1 , entonces

${\displaystyle \left(L^{p_{0}}(R,\Sigma ,\mu ),L^{p_{1}}(R,\Sigma ,\mu )\right)_{\theta }=L^{p}(R,\Sigma ,\mu ),\qquad {\frac {1}{p}}={\frac {1-\theta }{p_{0}}}+{\frac {\theta }{p_{1}}},}$

con igualdad de normas. Este hecho está estrechamente relacionado con el teorema de Riesz-Thorin .

Hay dos formas de introducir el método de interpolación real . La primera y más comúnmente utilizada cuando se identifican ejemplos de espacios de interpolación es el método K. El segundo método, el método J, proporciona los mismos espacios de interpolación que el método K cuando el parámetro θ está en (0, 1) . El hecho de que los métodos J y K coincidan es importante para el estudio de los duales de los espacios de interpolación: básicamente, el dual de un espacio de interpolación construido por el método K parece ser un espacio construido a partir del par dual por el método J; véase más abajo.

El método K de interpolación real ^[7] se puede utilizar para espacios de Banach sobre el cuerpo R de números reales .

Definición. Sea ( X ₀ , X ₁ ) un par compatible de espacios de Banach. Para t > 0 y cada x ∈ X ₀ + X ₁ , sea

${\displaystyle K(x,t;X_{0},X_{1})=\inf \left\{\left\|x_{0}\right\|_{X_{0}}+t\left\|x_{1}\right\|_{X_{1}}\ :\ x=x_{0}+x_{1},\;x_{0}\en X_{0},\,x_{1}\en X_{1}\right\}.}$

Cambiar el orden de los dos espacios da como resultado: ^[8]

${\displaystyle K(x,t;X_{0},X_{1})=tK\left(x,t^{-1};X_{1},X_{0}\right).}$

Dejar

${\displaystyle {\begin{aligned}\|x\|_{\theta ,q;K}&=\left(\int _{0}^{\infty }\left(t^{-\theta }K(x,t;X_{0},X_{1})\right)^{q}\,{\tfrac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}},&&0<\theta <1,1\leq q<\infty ,\\\|x\|_{\theta ,\infty ;K}&=\sup _{t>0}\;t^{-\theta }K(x,t;X_{0},X_{1}),&&0\leq \theta \leq 1.\end{aligned}}}$

El método K de interpolación real consiste en tomar K _{θ , q} ( X ₀ , X ₁ ) como el subespacio lineal de X ₀ + X ₁ que consiste en todos los x tales que || x || _{θ , q ; K} < ∞ .

Un ejemplo importante es el de la pareja ( L ¹ ( R , Σ, μ ), L ^∞ ( R , Σ, μ )) , donde el funcional K ( t , f  ; L ¹ , L ^∞ ) se puede calcular explícitamente. La medida μ se supone σ -finita . En este contexto, la mejor manera de cortar la función f   ∈ L ¹ + L ^∞ como suma de dos funciones f ₀ ∈ L ¹ y f ₁ ∈ L ^∞ es, para algún s > 0 que se elija como función de t , dejar que f ₁ ( x ) esté dada para todo x ∈ R por       

${\displaystyle f_{1}(x)={\begin{cases}f(x)&|f(x)|<s,\\{\frac {sf(x)}{|f(x)|}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

La elección óptima de s conduce a la fórmula ^[9]

${\displaystyle K\left(f,t;L^{1},L^{\infty }\right)=\int _{0}^{t}f^{*}(u)\,du,}$

donde f  ^∗ es el reordenamiento decreciente de f .    

Al igual que el método K, el método J se puede utilizar para espacios de Banach reales.

Definición. Sea ( X ₀ , X ₁ ) un par compatible de espacios de Banach. Para t > 0 y para cada vector x ∈ X ₀ ∩ X ₁ , sea$${\displaystyle J(x,t;X_{0},X_{1})=\max \left(\|x\|_{X_{0}},t\|x\|_{X_{1}}\right).}$$

Un vector x en X ₀ + X ₁ pertenece al espacio de interpolación J _{θ , q} ( X ₀ , X ₁ ) si y solo si puede escribirse como

${\displaystyle x=\int _{0}^{\infty }v(t)\,{\frac {dt}{t}},}$

donde v ( t ) es medible con valores en X ₀ ∩ X ₁ y tal que

${\displaystyle \Phi (v)=\left(\int _{0}^{\infty }\left(t^{-\theta }J(v(t),t;X_{0},X_{1})\right)^{q}\,{\tfrac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}<\infty .}$

La norma de x en J _{θ , q} ( X ₀ , X ₁ ) está dada por la fórmula

${\displaystyle \|x\|_{\theta ,q;J}:=\inf _{v}\left\{\Phi (v)\ :\ x=\int _{0}^{\infty }v(t)\,{\tfrac {dt}{t}}\right\}.}$

Los dos métodos de interpolación reales son equivalentes cuando 0 < θ < 1. [ ^10]

Teorema. Sea ( X ₀ , X ₁ ) una pareja compatible de espacios de Banach. Si 0 < θ < 1 y 1 ≤ q ≤ ∞ , entonces con equivalencia de normas .$${\displaystyle J_{\theta ,q}(X_{0},X_{1})=K_{\theta ,q}(X_{0},X_{1}),}$$

El teorema cubre casos degenerados que no han sido excluidos: por ejemplo, si X ₀ y X ₁ forman una suma directa, entonces la intersección y los J-espacios son el espacio nulo, y un cálculo simple muestra que los K-espacios también son nulos.

Cuando 0 < θ < 1 , se puede hablar, hasta una renormalización equivalente, del espacio de Banach obtenido por el método de interpolación real con parámetros θ y q . La notación para este espacio de interpolación real es ( X ₀ , X ₁ ) _{θ , q} . Se tiene que

${\displaystyle (X_{0},X_{1})_{\theta ,q}=(X_{1},X_{0})_{1-\theta ,q},\qquad 0<\theta <1,1\leq q\leq \infty .}$

Para un valor dado de θ , los espacios de interpolación reales aumentan con q : ^[11] si 0 < θ < 1 y 1 ≤ q ≤ r ≤ ∞ , la siguiente inclusión continua es verdadera:

${\displaystyle (X_{0},X_{1})_{\theta ,q}\subset (X_{0},X_{1})_{\theta ,r}.}$

Teorema. Dados 0 < θ < 1 , 1 ≤ q ≤ ∞ y dos pares compatibles ( X ₀ , X ₁ ) y ( Y ₀ , Y ₁ ) , el par (( X ₀ , X ₁ ) _{θ , q} , ( Y ₀ , Y ₁ ) _{θ , q} ) es un par de interpolación exacta de exponente θ . ^[12]

Un espacio de interpolación complejo no suele ser isomorfo a uno de los espacios dados por el método de interpolación real. Sin embargo, existe una relación general.

Teorema. Sea ( X ₀ , X ₁ ) un par compatible de espacios de Banach. Si 0 < θ < 1 , entonces$${\displaystyle (X_{0},X_{1})_{\theta ,1}\subset (X_{0},X_{1})_{\theta }\subset (X_{0},X_{1})_{\theta ,\infty }.}$$

Cuando X ₀ = C ([0, 1]) y X ₁ = C ¹ ([0, 1]) , el espacio de funciones continuamente diferenciables en [0, 1] , el método de interpolación ( θ , ∞) , para 0 < θ < 1 , da el espacio de Hölder C ^{0, θ} de exponente θ . Esto se debe a que el K-funcional K ( f , t ; X ₀ , X ₁ ) de este par es equivalente a

${\displaystyle \sup \left\{|f(u)|,\,{\frac {|f(u)-f(v)|}{1+t^{-1}|u-v|}}\ :\ u,v\in [0,1]\right\}.}$

Aquí sólo son interesantes los valores 0 < t < 1 .

La interpolación real entre espacios L ^p da ^[13] la familia de espacios de Lorentz . Suponiendo 0 < θ < 1 y 1 ≤ q ≤ ∞ , se tiene:

${\displaystyle \left(L^{1}(\mathbf {R} ,\Sigma ,\mu ),L^{\infty }(\mathbf {R} ,\Sigma ,\mu )\right)_{\theta ,q}=L^{p,q}(\mathbf {R} ,\Sigma ,\mu ),\qquad {\text{where }}{\tfrac {1}{p}}=1-\theta ,}$

con normas equivalentes. Esto se deduce de una desigualdad de Hardy y del valor dado anteriormente del K-funcional para esta pareja compatible. Cuando q = p , el espacio de Lorentz L ^{p , p} es igual a L ^p , hasta renormalización. Cuando q = ∞ , el espacio de Lorentz L ^{p ,∞} es igual a débil- L ^p .

Se dice que un espacio intermedio X del par compatible ( X ₀ , X ₁ ) es de clase θ si ^[14]

${\displaystyle (X_{0},X_{1})_{\theta ,1}\subset X\subset (X_{0},X_{1})_{\theta ,\infty },}$

con inyecciones continuas. Además de todos los espacios de interpolación reales ( X ₀ , X ₁ ) _{θ , q} con parámetro θ y 1 ≤ q ≤ ∞ , el espacio de interpolación complejo ( X ₀ , X ₁ ) _θ es un espacio intermedio de clase θ del par compatible ( X ₀ , X ₁ ) .

El teorema de reiteración dice, en esencia, que interpolar con un parámetro θ se comporta, de alguna manera, como formar una combinación convexa a = (1 − θ ) x ₀ + θx ₁ : tomar otra combinación convexa de dos combinaciones convexas da otra combinación convexa.

Teorema. ^[15] Sean A ₀ , A ₁ espacios intermedios de la pareja compatible ( X ₀ , X ₁ ) , de clase θ ₀ y θ ₁ respectivamente, con 0 < θ ₀ ≠ θ ₁ < 1 . Cuando 0 < θ < 1 y 1 ≤ q ≤ ∞ , se tiene$${\displaystyle (A_{0},A_{1})_{\theta ,q}=(X_{0},X_{1})_{\eta ,q},\qquad \eta =(1-\theta )\theta _{0}+\theta \theta _{1}.}$$

Es de destacar que al interpolar con el método real entre A ₀ = ( X ₀ , X ₁ ) _{θ 0 , q 0} y A ₁ = ( X ₀ , X ₁ ) _{θ 1 , q 1} , solo importan los valores de θ ₀ y θ ₁ . Además, A ₀ y A ₁ pueden ser espacios de interpolación complejos entre X ₀ y X ₁ , con parámetros θ ₀ y θ ₁ respectivamente.

También existe un teorema de reiteración para el método complejo.

Teorema. ^[16] Sea ( X ₀ , X ₁ ) un par compatible de espacios de Banach complejos, y supongamos que X ₀ ∩ X ₁ es denso en X ₀ y en X ₁ . Sea A ₀ = ( X ₀ , X ₁ ) _{θ 0} y A ₁ = ( X ₀ , X ₁ ) _{θ 1} , donde 0 ≤ θ ₀ ≤ θ ₁ ≤ 1 . Supongamos además que X ₀ ∩ X ₁ es denso en A ₀ ∩ A ₁ . Entonces, para cada 0 ≤ θ ≤ 1 ,$${\displaystyle \left(\left(X_{0},X_{1}\right)_{\theta _{0}},\left(X_{0},X_{1}\right)_{\theta _{1}}\right)_{\theta }=(X_{0},X_{1})_{\eta },\qquad \eta =(1-\theta )\theta _{0}+\theta \theta _{1}.}$$

La condición de densidad siempre se satisface cuando X ₀ ⊂ X ₁ o X ₁ ⊂ X ₀ .

Sea ( X ₀ , X ₁ ) una pareja compatible, y supongamos que X ₀ ∩ X ₁ es denso en X ₀ y en X ₁ . En este caso, la función de restricción del dual (continuo) de X _j , j = 0, 1, al dual de X ₀ ∩ X ₁ es biunívoca. De ello se deduce que el par de duales es una pareja compatible inserta continuamente en el dual ( X ₀ ∩ X ₁ )′ . ${\displaystyle X'_{j}}$${\displaystyle \left(X'_{0},X'_{1}\right)}$

Para el método de interpolación complejo, se cumple el siguiente resultado de dualidad:

Teorema. ^[17] Sea ( X ₀ , X ₁ ) una pareja compatible de espacios de Banach complejos, y supongamos que X ₀ ∩ X ₁ es denso en X ₀ y en X ₁ . Si X ₀ y X ₁ son reflexivos , entonces el dual del espacio de interpolación complejo se obtiene interpolando los duales,$${\displaystyle ((X_{0},X_{1})_{\theta })'=\left(X'_{0},X'_{1}\right)_{\theta },\qquad 0<\theta <1.}$$

En general, el dual del espacio ( X ₀ , X ₁ ) _θ es igual ^[17] a un espacio definido por una variante del método complejo. ^[18] Los métodos θ superior e θ inferior no coinciden en general, pero sí lo hacen si al menos uno de X ₀ , X ₁ es un espacio reflexivo. ^[19]${\displaystyle \left(X'_{0},X'_{1}\right)^{\theta },}$

Para el método de interpolación real, la dualidad se cumple siempre que el parámetro  q sea finito:

Teorema. ^[20] Sea 0 < θ < 1, 1 ≤ q < ∞ y ( X ₀ , X ₁ ) un par compatible de espacios de Banach reales. Supóngase que X ₀ ∩ X ₁ es denso en X ₀ y en X ₁ . Entonces donde$${\displaystyle \left(\left(X_{0},X_{1}\right)_{\theta ,q}\right)'=\left(X'_{0},X'_{1}\right)_{\theta ,q'},}$$${\displaystyle {\tfrac {1}{q'}}=1-{\tfrac {1}{q}}.}$

Dado que la función t → K ( x , t ) varía regularmente (es creciente, pero ⁠1/a⁠ K ( x , t ) es decreciente), la definición de la K _{θ , q} -norma de un vector n , dada previamente por una integral, es equivalente a una definición dada por una serie. ^[21] Esta serie se obtiene al romper (0, ∞) en pedazos (2 ⁿ , 2 ^{n +1} ) de igual masa para la medida ⁠el o/a⁠ ,

${\displaystyle \|x\|_{\theta ,q;K}\simeq \left(\sum _{n\in \mathbf {Z} }\left(2^{-\theta n}K\left(x,2^{n};X_{0},X_{1}\right)\right)^{q}\right)^{\frac {1}{q}}.}$

En el caso especial en que X ₀ está inmerso continuamente en X ₁ , se puede omitir la parte de la serie con índices negativos n . En este caso, cada una de las funciones x → K ( x , 2 ⁿ ; X ₀ , X ₁ ) define una norma equivalente en X ₁ .

El espacio de interpolación ( X ₀ , X ₁ ) _{θ , q} es un "subespacio diagonal" de una ℓ ^q -suma de una sucesión de espacios de Banach (cada uno de ellos isomorfo a X ₀ + X ₁ ). Por lo tanto, cuando q es finito, el dual de ( X ₀ , X ₁ ) _{θ , q} es un cociente de la ℓ ^p -suma de los duales, ⁠1/pag⁠ + ⁠1/q⁠ = 1 , lo que conduce a la siguiente fórmula para la J _{θ , p} -norma discreta de un funcional x' en el dual de ( X ₀ , X ₁ ) _{θ , q} :

${\displaystyle \|x'\|_{\theta ,p;J}\simeq \inf \left\{\left(\sum _{n\in \mathbf {Z} }\left(2^{\theta n}\max \left(\left\|x'_{n}\right\|_{X'_{0}},2^{-n}\left\|x'_{n}\right\|_{X'_{1}}\right)\right)^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\ :\ x'=\sum _{n\in \mathbf {Z} }x'_{n}\right\}.}$

La fórmula habitual para la norma _{p discreta} J _θ se obtiene cambiando n por − n .

La definición discreta facilita el estudio de varias cuestiones, entre ellas la ya mencionada identificación del dual. Otras cuestiones de este tipo son la compacidad o compacidad débil de los operadores lineales. Lions y Peetre han demostrado que:

Teorema. ^[22] Si el operador lineal T es compacto desde X ₀ hasta un espacio de Banach Y y acotado desde X ₁ hasta Y , entonces T es compacto desde ( X ₀ , X ₁ ) _{θ , q} hasta Y cuando 0 < θ < 1 , 1 ≤ q ≤ ∞ .

Davis, Figiel, Johnson y Pełczyński utilizaron la interpolación en su prueba del siguiente resultado:

Teorema. ^[23] Un operador lineal acotado entre dos espacios de Banach es débilmente compacto si y sólo si se factoriza a través de un espacio reflexivo .

El espacio ℓ ^q utilizado para la definición discreta puede reemplazarse por un espacio de secuencia arbitrario Y con base incondicional , y los pesos a _n = 2 ^{− θn} , b _n = 2 ^{(1− θ ) n} , que se utilizan para la K _{θ , q} -norma, pueden reemplazarse por pesos generales

${\displaystyle a_{n},b_{n}>0,\ \ \sum _{n=1}^{\infty }\min(a_{n},b_{n})<\infty .}$

El espacio de interpolación K ( X ₀ , X ₁ , Y , { a _n }, { b _n }) consiste en los vectores x en X ₀ + X ₁ tales que ^[24]

${\displaystyle \|x\|_{K(X_{0},X_{1})}=\sup _{m\geq 1}\left\|\sum _{n=1}^{m}a_{n}K\left(x,{\tfrac {b_{n}}{a_{n}}};X_{0},X_{1}\right)\,y_{n}\right\|_{Y}<\infty ,}$

donde { y _n } es la base incondicional de Y . Este método abstracto puede utilizarse, por ejemplo, para la demostración del siguiente resultado:

Teorema. ^[25] Un espacio de Banach con base incondicional es isomorfo a un subespacio complementado de un espacio con base simétrica .

Hay varios resultados de interpolación disponibles para espacios de Sobolev y espacios de Besov en R ⁿ , ^[26]

${\displaystyle {\begin{aligned}&H_{p}^{s}&&s\in \mathbf {R} ,1\leq p\leq \infty \\&B_{p,q}^{s}&&s\in \mathbf {R} ,1\leq p,q\leq \infty \end{aligned}}}$

Estos espacios son espacios de funciones mensurables en R ⁿ cuando s ≥ 0 y de distribuciones templadas en R ⁿ cuando s < 0. Para el resto de la sección, se utilizará la siguiente configuración y notación:

${\displaystyle {\begin{aligned}0&<\theta <1,\\1&\leq p,p_{0},p_{1},q,q_{0},q_{1}\leq \infty ,\\s,&s_{0},s_{1}\in \mathbf {R} ,\\s_{\theta }&=(1-\theta )s_{0}+\theta s_{1},\\[4pt]{\frac {1}{p_{\theta }}}&={\frac {1-\theta }{p_{0}}}+{\frac {\theta }{p_{1}}},\\[4pt]{\frac {1}{q_{\theta }}}&={\frac {1-\theta }{q_{0}}}+{\frac {\theta }{q_{1}}}.\end{aligned}}}$

La interpolación compleja funciona bien en la clase de espacios de Sobolev (los espacios potenciales de Bessel ) así como en los espacios de Besov: ${\displaystyle H_{p}^{s}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(H_{p_{0}}^{s_{0}},H_{p_{1}}^{s_{1}}\right)_{\theta }&=H_{p_{\theta }}^{s_{\theta }},&&s_{0}\neq s_{1},1<p_{0},p_{1}<\infty .\\\left(B_{p_{0},q_{0}}^{s_{0}},B_{p_{1},q_{1}}^{s_{1}}\right)_{\theta }&=B_{p_{\theta },q_{\theta }}^{s_{\theta }},&&s_{0}\neq s_{1}.\end{aligned}}}$

La interpolación real entre espacios de Sobolev puede dar espacios de Besov, excepto cuando s ₀ = s ₁ ,

${\displaystyle \left(H_{p_{0}}^{s},H_{p_{1}}^{s}\right)_{\theta ,p_{\theta }}=H_{p_{\theta }}^{s}.}$

Cuando s ₀ ≠ s ₁ pero p ₀ = p ₁ , la interpolación real entre espacios de Sobolev da un espacio de Besov:

${\displaystyle \left(H_{p}^{s_{0}},H_{p}^{s_{1}}\right)_{\theta ,q}=B_{p,q}^{s_{\theta }},\qquad s_{0}\neq s_{1}.}$

También,

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(B_{p,q_{0}}^{s_{0}},B_{p,q_{1}}^{s_{1}}\right)_{\theta ,q}&=B_{p,q}^{s_{\theta }},&&s_{0}\neq s_{1}.\\\left(B_{p,q_{0}}^{s},B_{p,q_{1}}^{s}\right)_{\theta ,q}&=B_{p,q_{\theta }}^{s}.\\\left(B_{p_{0},q_{0}}^{s_{0}},B_{p_{1},q_{1}}^{s_{1}}\right)_{\theta ,q_{\theta }}&=B_{p_{\theta },q_{\theta }}^{s_{\theta }},&&s_{0}\neq s_{1},p_{\theta }=q_{\theta }.\end{aligned}}}$

• Teorema de Riesz-Thorin
• Teorema de interpolación de Marcinkiewicz

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• Leones, Jacques-Louis. ; Peetre, Jaak (1964), "Sur une classe d'espaces d'interpolation", Inst. Altos estudios de ciencia. Publ. Matemáticas. (en francés), 19 : 5–68, doi :10.1007/bf02684796, S2CID  124471748.
• Bennett, Colin; Sharpley, Robert (1988), Interpolación de operadores , Matemáticas puras y aplicadas, vol. 129, Academic Press, Inc., Boston, MA, págs. xiv+469, ISBN 978-0-12-088730-9.
• Bergh, Jöran; Löfström, Jörgen (1976), Espacios de interpolación. Una introducción , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 223, Berlín-Nueva York: Springer-Verlag, págs. x+207, ISBN 978-3-540-07875-3.
• Leoni, Giovanni (2017). Un primer curso en espacios de Sobolev: segunda edición . Estudios de posgrado en matemáticas . 181. American Mathematical Society. pp. 734. ISBN 978-1-4704-2921-8 . 
• Lindenstrauss, Joram ; Tzafriri, Lior (1979), Espacios clásicos de Banach. II. Espacios funcionales , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete [Resultados en Matemáticas y Áreas Afines], vol. 97, Berlín-Nueva York: Springer-Verlag, págs. x+243, ISBN 978-3-540-08888-2.
• Tartar, Luc (2007), Introducción a los espacios de Sobolev y la interpolación , Springer, ISBN 978-3-540-71482-8.