espectro de Markov

En matemáticas , el espectro de Markov , ideado por Andrey Markov , es un conjunto complejo de números reales que surge en las ecuaciones diofánticas de Markov y también en la teoría de la aproximación diofántica .

Consideremos una forma cuadrática dada por f ( x , y ) = ax ² + bxy + cy ² y supongamos que su discriminante es fijo, digamos igual a −1/4. En otras palabras, b ²  −  4 ac =  1.

Se puede pedir el valor mínimo alcanzado por${\displaystyle \left\vert f(x,y)\right\vert }$cuando se evalúa en vectores distintos de cero de la cuadrícula ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$y si este mínimo no existe, para el ínfimo .

El espectro de Markov M es el conjunto obtenido al repetir esta búsqueda con diferentes formas cuadráticas con discriminante fijo a −1/4:$${\displaystyle M=\left\{\left(\inf _{(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}\smallsetminus \{(0,0)\}}|f(x,y)|\right)^{-1}:f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2},\ b^{2}-4ac=1\right\}}$$

Partiendo del teorema de Hurwitz sobre la aproximación diofántica, que cualquier número real${\displaystyle \xi }$tiene una secuencia de aproximaciones racionales m / n que tienden a ella con

${\displaystyle \left|\xi -{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}\,n^{2}}},}$

es posible preguntar para cada valor de 1/ c con 1/ c ≥ √ 5 sobre la existencia de algún${\displaystyle \xi }$para qué

${\displaystyle \left|\xi -{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {c}{n^{2}}}}$

Para tal secuencia, para la cual c es el mejor valor posible (máximo). Dichos 1/ c conforman el espectro de Lagrange L , un conjunto de números reales al menos √5 (que es el valor más pequeño del espectro). La formulación con el recíproco es engorrosa, pero la definición tradicional la invita a ello; al observar el conjunto de c, en cambio , se permite una definición mediante un límite inferior . Para ello, consideremos

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }n^{2}\left|\xi -{\frac {m}{n}}\right|,}$

donde m se elige como una función entera de n para minimizar la diferencia. Esta es una función de${\displaystyle \xi }$y el recíproco del espectro de Lagrange es el rango de valores que toma en los números irracionales .

Por un lado, la parte inicial del espectro de Markov y Lagrange que se encuentra en el intervalo [ √ 5 , 3) ​​es igual y constituye un conjunto discreto. Por otro lado, la parte final de estos conjuntos, que se encuentra después de la constante de Freiman, también es igual, pero constituye un conjunto continuo. La geometría de la parte entre la parte inicial y la parte final tiene una estructura fractal y puede considerarse como una transición geométrica entre la parte inicial discreta y la parte final continua. Esto se enuncia con precisión en el siguiente teorema: ^{[ 4 ]}

• Número de Markov

• Aigner, Martin (2013). El teorema de Markov y 100 años de la conjetura de unicidad  : un viaje matemático desde los números irracionales hasta las correspondencias perfectas . Nueva York: Springer. ISBN 978-3-319-00887-5OCLC 853659945​​ 
• Conway, JH y Guy, RK El libro de los números. Nueva York: Springer-Verlag, págs.  188-189 , 1996.
• Cusick, TW y Flahive, ME Los espectros de Markov y Lagrange. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1989.
• Cassels, JWS (1957). Una introducción a la aproximación diofántica . Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. Vol.  45. Cambridge University Press . Zbl 0077.04801 . 

• "Problema del espectro de Markov" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]