Teorema de representación de martingalas

En teoría de la probabilidad , el teorema de representación de martingalas establece que una variable aleatoria con varianza finita que es medible con respecto a la filtración generada por un movimiento browniano puede escribirse en términos de una integral de Itô con respecto a este movimiento browniano.

El teorema solo afirma la existencia de la representación y no ayuda a encontrarla explícitamente; en muchos casos es posible determinar la forma de la representación utilizando el cálculo de Malliavin .

También existen teoremas similares para martingalas en filtraciones inducidas por procesos de salto , por ejemplo, por cadenas de Markov .

Dejar${\displaystyle B_{t}}$ser un movimiento browniano en un espacio de probabilidad filtrado estándar${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathcal {F}}_{t},P)}$y dejar${\displaystyle {\mathcal {G}}_{t}}$ser la filtración aumentada generada por${\displaystyle B}$. Si X es una variable aleatoria de cuadrado integrable medible con respecto a${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\infty }}$, entonces existe un proceso predecible C que se adapta con respecto a${\displaystyle {\mathcal {G}}_{t},}$de tal manera que

${\displaystyle X=E(X)+\int _{0}^{\infty }C_{s}\,dB_{s}.}$

Como consecuencia,

${\displaystyle E(X|{\mathcal {G}}_{t})=E(X)+\int _{0}^{t}C_{s}\,dB_{s}.}$

El teorema de representación de martingalas puede utilizarse para establecer la existencia de una estrategia de cobertura . Supongamos que${\displaystyle \left(M_{t}\right)_{0\leq t<\infty }}$es un proceso de Q-martingala, cuya volatilidad${\displaystyle \sigma _{t}}$siempre es distinto de cero. Entonces, si${\displaystyle \left(N_{t}\right)_{0\leq t<\infty }}$es cualquier otra Q-martingala, existe una${\displaystyle {\mathcal {F}}}$-proceso previsible${\displaystyle \varphi }$, único salvo conjuntos de medida 0, tal que${\displaystyle \int _{0}^{T}\varphi _{t}^{2}\sigma _{t}^{2}\,dt<\infty }$con probabilidad uno, y N se puede escribir como:

${\displaystyle N_{t}=N_{0}+\int _{0}^{t}\varphi _{s}\,dM_{s}.}$

La estrategia de replicación se define como:

• sostener${\displaystyle \varphi _{t}}$unidades del stock en el momento t , y
• sostener${\displaystyle \psi _{t}B_{t}=C_{t}-\varphi _{t}Z_{t}}$unidades del bono.

dónde${\displaystyle Z_{t}}$es el precio de la acción descontado por el precio del bono al tiempo${\displaystyle t}$y${\displaystyle C_{t}}$es el pago esperado de la opción en el momento${\displaystyle t}$.

En el día de vencimiento T , el valor de la cartera es:

${\displaystyle V_{T}=\varphi _{T}S_{T}+\psi _{T}B_{T}=C_{T}=X}$

Y es fácil comprobar que la estrategia es autofinanciable: la variación del valor de la cartera solo depende de la variación de los precios de los activos.${\displaystyle \left(dV_{t}=\varphi _{t}\,dS_{t}+\psi _{t}\,dB_{t}\right)}$.

• ecuación diferencial estocástica hacia atrás

• Montin, Benoît. (2002) "Procesos estocásticos aplicados a las finanzas"
• Elliott, Robert (1976) "Integrales estocásticas para martingalas de un proceso de salto con tiempos de salto parcialmente accesibles", Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete , 36, 213–226