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Monedas iguales

Si una moneda es cara y la otra cruz, gana Odd y se queda con ambas monedas. El juego de las monedas de un centavo es un juego no cooperativo estudiado en la teoría de juegos . ...

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Si una moneda es cara y la otra cruz, gana Odd y se queda con ambas monedas.

El juego de las monedas de un centavo es un juego no cooperativo estudiado en la teoría de juegos . Se juega entre dos jugadores, Par e Impar. Cada jugador tiene una moneda de un centavo y debe girarla en secreto para que salga cara o cruz. Luego, los jugadores revelan sus elecciones simultáneamente. Si las monedas coinciden (ambas caras o ambas cruces), Par gana y se queda con ambas. Si las monedas no coinciden (una cara y una cruz), Impar gana y se queda con ambas.

Teoría

El juego de las monedas de un centavo es un juego de suma cero, ya que la ganancia o pérdida de utilidad de cada participante se compensa exactamente con las pérdidas o ganancias de utilidad de los demás participantes. Si se suman las ganancias totales de los participantes y se restan sus pérdidas totales, el resultado será cero.

El juego se puede representar mediante una matriz de pagos (imagen de la derecha, desde la perspectiva de Even). Cada celda de la matriz muestra los pagos de los dos jugadores, con los pagos de Even en primer lugar.

El juego de emparejar monedas se utiliza principalmente para ilustrar el concepto de estrategias mixtas y un equilibrio de Nash de estrategias mixtas . [ 1 ]

Este juego no tiene un equilibrio de Nash de estrategia pura, ya que no existe una estrategia pura (cara o cruz) que sea la mejor respuesta a otra mejor respuesta. En otras palabras, no hay un par de estrategias puras tales que ninguno de los jugadores querría cambiar si se le dijera lo que haría el otro. En cambio, el único equilibrio de Nash de este juego se encuentra en estrategias mixtas : cada jugador elige cara o cruz con igual probabilidad. [ 2 ] De esta manera, cada jugador hace que el otro sea indiferente entre elegir cara o cruz, por lo que ninguno tiene incentivos para probar otra estrategia. Las funciones de mejor respuesta para estrategias mixtas se muestran en la Figura 1 a continuación:

Figura 1. Correspondencias de mejor respuesta para los jugadores en el juego de emparejar monedas . El mapa de la izquierda corresponde al jugador par, y el del medio al jugador impar. El único equilibrio de Nash se muestra en el gráfico de la derecha. x representa la probabilidad de que el jugador impar obtenga cara, e y la probabilidad de que el jugador par obtenga cara. La intersección única es el único punto donde la estrategia del jugador par es la mejor respuesta a la estrategia del jugador impar, y viceversa.

Cuando cualquiera de los jugadores juega en equilibrio, la ganancia esperada para todos es cero.

Variantes

Varying the payoffs in the matrix can change the equilibrium point. For example, in the table shown on the right, Even has a chance to win 7 if both he and Odd play Heads. To calculate the equilibrium point in this game, note that a player playing a mixed strategy must be indifferent between his two actions (otherwise he would switch to a pure strategy). This gives us two equations:

  • For the Even player, the expected payoff when playing Heads is +7⋅x−1⋅(1−x){\displaystyle +7\cdot x-1\cdot (1-x)} and when playing Tails −1⋅x+1⋅(1−x){\displaystyle -1\cdot x+1\cdot (1-x)} (where x{\displaystyle x} is Odd's probability of playing Heads), and these must be equal, so x=0.2{\displaystyle x=0.2}.
  • For the Odd player, the expected payoff when playing Heads is +1⋅y−1⋅(1−y){\displaystyle +1\cdot y-1\cdot (1-y)} and when playing Tails −1⋅y+1⋅(1−y){\displaystyle -1\cdot y+1\cdot (1-y)} (where y{\displaystyle y} is Even's probability of playing Heads), and these must be equal, so y=0.5{\displaystyle y=0.5}.

Note that since x{\displaystyle x} is the Heads-probability of Odd and y{\displaystyle y} is the Heads-probability of Even, the change in Even's payoff affects Odd's equilibrium strategy and not Even's own equilibrium strategy. This may be unintuitive at first. The reasoning is that in equilibrium, the choices must be equally appealing. The +7 possibility for Even is very appealing relative to +1, so to maintain equilibrium, Odd's play must lower the probability of that outcome to compensate and equalize the expected values of the two choices, meaning in equilibrium Odd will play Heads less often and Tails more often.

Laboratory experiments

Human players do not always play the equilibrium strategy. Laboratory experiments reveal several factors that make players deviate from the equilibrium strategy, especially if matching pennies is played repeatedly:

  • Humans are not good at randomizing. They may try to produce "random" sequences by switching their actions from Heads to Tails and vice versa, but they switch their actions too often (due to a gambler's fallacy). This makes it possible for expert players to predict their next actions with more than 50% chance of success. In this way, a positive expected payoff might be attainable.
  • Humans are trained to detect patterns. They try to detect patterns in the opponent's sequence, even when such patterns do not exist, and adjust their strategy accordingly.[3]
  • Humans' behavior is affected by framing effects.[4] When the Odd player is named "the misleader" and the Even player is named "the guesser", the former focuses on trying to randomize and the latter focuses on trying to detect a pattern, and this increases the chances of success of the guesser. Additionally, the fact that Even wins when there is a match gives him an advantage, since people are better at matching than at mismatching (due to the stimulus-response compatibility effect).

Además, cuando la matriz de pagos es asimétrica, otros factores influyen en el comportamiento humano incluso cuando el juego no se repite:

  • Los jugadores tienden a aumentar la probabilidad de jugar una acción que les dé una mayor recompensa, por ejemplo, en la matriz de recompensas anterior, Par tenderá a jugar más Cara. Esto es intuitivamente comprensible, pero no es un equilibrio de Nash: como se explicó anteriormente, la probabilidad de mezcla de un jugador debería depender solo de la recompensa del otro jugador, no de su propia recompensa. Esta desviación puede explicarse como un equilibrio de respuesta cuántica . [ 5 ] [ 6 ] En un equilibrio de respuesta cuántica, las curvas de mejor respuesta no son abruptas como en un equilibrio de Nash estándar. Más bien, cambian suavemente desde la acción cuya probabilidad es 0 hasta la acción cuya probabilidad es 1 (en otras palabras, mientras que en un equilibrio de Nash, un jugador elige la mejor respuesta con probabilidad 1 y la peor respuesta con probabilidad 0, en un equilibrio de respuesta cuántica el jugador elige la mejor respuesta con alta probabilidad que es menor que 1 y la peor respuesta con menor probabilidad que es mayor que 0). El punto de equilibrio es el punto de intersección de las curvas suavizadas de los dos jugadores, que es diferente del punto de equilibrio de Nash.
  • Los efectos de la propia recompensa se mitigan por la aversión al riesgo . [ 7 ] Los jugadores tienden a subestimar las ganancias altas y a sobreestimar las pérdidas altas; esto desplaza las curvas de respuesta cuántica y cambia el punto de equilibrio de respuesta cuántica. Esto aparentemente contradice los resultados teóricos sobre la irrelevancia de la aversión al riesgo en juegos de suma cero repetidos un número finito de veces. [ 8 ]

Datos de la vida real

Las conclusiones de los experimentos de laboratorio han sido criticadas por varios motivos. [ 9 ] [ 10 ]

  • Los juegos en los experimentos de laboratorio son artificiales y simplistas, y no imitan el comportamiento de la vida real.
  • En los experimentos de laboratorio, las recompensas son pequeñas, por lo que los participantes no tienen muchos incentivos para jugar de forma óptima. En la vida real, el mercado puede castigar esa irracionalidad y hacer que los jugadores se comporten de manera más racional.
  • Los participantes tienen en cuenta otros factores además de maximizar las ganancias monetarias, como evitar parecer tontos o complacer al experimentador.
  • Los experimentos de laboratorio son breves y los sujetos no tienen tiempo suficiente para aprender la estrategia óptima.

Para superar estas dificultades, varios autores han realizado análisis estadísticos de partidos deportivos profesionales. Se trata de juegos de suma cero con recompensas muy altas, y los jugadores han dedicado sus vidas a convertirse en expertos. A menudo, estos juegos son estratégicamente similares a emparejar monedas:

  • In soccerpenalty kicks, the kicker has two options –kick left or kick right –and the goalie has two options –jump left or jump right.[11] The kicker's probability of scoring a goal is higher when the choices do not match, and lower when the choices match. In general, the payoffs are asymmetric because each kicker has a stronger leg (usually the right leg) and his chances are better when kicking to the opposite direction (left). In a close examination of the actions of kickers and goalies, it was found[9][10] that their actions do not deviate significantly from the prediction of a Nash equilibrium.
  • In tennis serve-and-return plays, the situation is similar. It was found[12] that the win rates are consistent with the minimax hypothesis, but the players' choices are not random: even professional tennis players are not good at randomizing, and switch their actions too often.

See also

  • Odds and evens - a game with the same strategic structure, that is played with fingers instead of coins.
  • Rock paper scissors - a similar game in which each player has three strategies instead of two.
  • Parity game - a much more complicated two-player logic game, played on a colored graph.
  • Penney's game - an exploitable sequence game

References

  1. ↑Gibbons, Robert (1992). Game Theory for Applied Economists. Princeton University Press. pp. 29–33. ISBN 978-0-691-00395-5.
  2. ↑"Matching Pennies". GameTheory.net. Archived from the original on 2006-10-01.
  3. ↑Mookherjee, Dilip; Sopher, Barry (1994). "Learning Behavior in an Experimental Matching Pennies Game". Games and Economic Behavior. 7: 62–91. doi:10.1006/game.1994.1037.
  4. ↑Eliaz, Kfir; Rubinstein, Ariel (2011). "Edgar Allan Poe's riddle: Framing effects in repeated matching pennies games". Games and Economic Behavior. 71: 88–99. doi:10.1016/j.geb.2009.05.010.
  5. ↑Ochs, Jack (1995). "Games with Unique, Mixed Strategy Equilibria: An Experimental Study". Games and Economic Behavior. 10: 202–217. doi:10.1006/game.1995.1030.
  6. ↑McKelvey, Richard; Palfrey, Thomas (1995). "Quantal Response Equilibria for Normal Form Games". Games and Economic Behavior. 10: 6–38. CiteSeerX 10.1.1.30.5152. doi:10.1006/game.1995.1023.
  7. ↑Goeree, Jacob K.; Holt, Charles A.; Palfrey, Thomas R. (2003). "Risk averse behavior in generalized matching pennies games"(PDF). Games and Economic Behavior. 45: 97–113. doi:10.1016/s0899-8256(03)00052-6.
  8. ↑Wooders, John; Shachat, Jason M. (2001). "On the Irrelevance of Risk Attitudes in Repeated Two-Outcome Games". Games and Economic Behavior. 34 (2): 342. doi:10.1006/game.2000.0808. S2CID 2401322.
  9. 12Chiappori, P.; Levitt, S.; Groseclose, T. (2002). "Testing Mixed-Strategy Equilibria When Players Are Heterogeneous: The Case of Penalty Kicks in Soccer"(PDF). American Economic Review. 92 (4): 1138–1151. CiteSeerX 10.1.1.178.1646. doi:10.1257/00028280260344678. JSTOR 3083302.
  10. 12Palacios-Huerta, I. (2003). "Professionals Play Minimax". The Review of Economic Studies. 70 (2): 395–415. CiteSeerX 10.1.1.127.9097. doi:10.1111/1467-937X.00249.
  11. ↑There is also the option of kicking/standing in the middle, but it is less often used.
  12. ↑Walker, Mark; Wooders, John (2001). "Minimax Play at Wimbledon". The American Economic Review. 91 (5): 1521–1538. CiteSeerX 10.1.1.614.5372. doi:10.1257/aer.91.5.1521. JSTOR 2677937.
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