Física matemática

La aplicación de las técnicas de la física matemática a la mecánica clásica suele implicar la reformulación rigurosa, abstracta y avanzada de la mecánica newtoniana en términos de mecánica lagrangiana y mecánica hamiltoniana (incluyendo ambos enfoques en presencia de restricciones). Ambas formulaciones se encuentran plasmadas en la mecánica analítica y conducen a la comprensión de la profunda interacción entre las nociones de simetría y cantidades conservadas durante la evolución dinámica de los sistemas mecánicos, tal como se refleja en la formulación más elemental del teorema de Noether . Estos enfoques e ideas se han extendido a otras áreas de la física, como la mecánica estadística , la mecánica de medios continuos , la teoría clásica de campos y la teoría cuántica de campos . Además, han proporcionado múltiples ejemplos e ideas en geometría diferencial (por ejemplo, varias nociones en geometría simpléctica y fibrados vectoriales ).

Dentro de las matemáticas propiamente dichas, la teoría de ecuaciones diferenciales parciales , el cálculo variacional , el análisis de Fourier , la teoría del potencial y el análisis vectorial son quizás las disciplinas más estrechamente relacionadas con la física matemática. Estos campos se desarrollaron intensamente desde la segunda mitad del siglo XVIII (por ejemplo, por D'Alembert , Euler y Lagrange ) hasta la década de 1930. Entre las aplicaciones físicas de estos desarrollos se incluyen la hidrodinámica , la mecánica celeste , la mecánica de medios continuos , la teoría de la elasticidad , la acústica , la termodinámica , la electricidad , el magnetismo y la aerodinámica .

La teoría de los espectros atómicos (y, posteriormente, la mecánica cuántica ) se desarrolló casi simultáneamente con algunas ramas de las matemáticas, como el álgebra lineal , la teoría espectral de operadores , las álgebras de operadores y, en términos más generales, el análisis funcional . La mecánica cuántica no relativista incluye los operadores de Schrödinger y tiene conexiones con la física atómica y molecular . La teoría de la información cuántica es otra subespecialidad.

Las teorías especial y general de la relatividad requieren un tipo de matemáticas bastante diferente. Se trata de la teoría de grupos , que desempeñó un papel importante tanto en la teoría cuántica de campos como en la geometría diferencial . Sin embargo, esta se fue complementando gradualmente con la topología y el análisis funcional en la descripción matemática de los fenómenos cosmológicos y de la teoría cuántica de campos . En la descripción matemática de estas áreas físicas, algunos conceptos del álgebra homológica y la teoría de categorías ^{[ 3 ]} también son importantes.

La mecánica estadística constituye un campo independiente que incluye la teoría de las transiciones de fase . Se basa en la mecánica hamiltoniana (o su versión cuántica) y está estrechamente relacionada con la teoría ergódica, de carácter más matemático , y con algunas ramas de la teoría de la probabilidad . Existe una creciente interacción entre la combinatoria y la física , en particular con la física estadística.

El término «física matemática» se utiliza a veces para referirse a la investigación orientada al estudio y la resolución de problemas de física o experimentos mentales dentro de un marco matemáticamente riguroso . En este sentido, la física matemática abarca un campo académico muy amplio que se distingue únicamente por la combinación de algún aspecto matemático y otro de la física teórica. Si bien está relacionada con la física teórica , ^{[ 5 ]} la física matemática en este sentido enfatiza el rigor matemático del mismo tipo que se encuentra en las matemáticas.

Por otro lado, la física teórica enfatiza los vínculos con las observaciones y la física experimental , lo que a menudo requiere que los físicos teóricos (y los físicos matemáticos en un sentido más general) utilicen argumentos heurísticos , intuitivos o aproximados. ^{[ 6 ]} Los matemáticos no consideran rigurosos tales argumentos.

Estos físicos matemáticos se dedican principalmente a ampliar y dilucidar teorías físicas . Debido al rigor matemático requerido, estos investigadores suelen abordar cuestiones que los físicos teóricos consideraban ya resueltas. Sin embargo, en ocasiones pueden demostrar que la solución anterior era incompleta, incorrecta o simplemente demasiado ingenua. Un ejemplo de ello son los intentos de inferir la segunda ley de la termodinámica a partir de la mecánica estadística . Otros ejemplos se refieren a las sutilezas de los procedimientos de sincronización en la relatividad especial y general ( efecto Sagnac y sincronización de Einstein ).

El esfuerzo por fundamentar matemáticamente las teorías físicas no solo impulsó el desarrollo de la física, sino que también influyó en el desarrollo de algunas áreas matemáticas. Por ejemplo, el desarrollo de la mecánica cuántica y algunos aspectos del análisis funcional presentan muchas similitudes. El estudio matemático de la mecánica cuántica , la teoría cuántica de campos y la mecánica estadística cuántica ha motivado resultados en álgebras de operadores . El intento de construir una formulación matemática rigurosa de la teoría cuántica de campos también ha propiciado avances en campos como la teoría de la representación .

Existe una tradición de análisis matemático de la naturaleza que se remonta a los antiguos griegos; ejemplos de ello son Euclides ( Óptica ), Arquímedes ( Sobre el equilibrio de los planos , Sobre los cuerpos flotantes ) y Ptolomeo ( Óptica , Armónica ). ^{[ 7 ] [ 8 ]} Posteriormente, los eruditos islámicos y bizantinos se basaron en estas obras, que finalmente fueron reintroducidas o estuvieron disponibles en Occidente en el siglo XII y durante el Renacimiento .

En la primera década del siglo XVI, el astrónomo aficionado Nicolás Copérnico propuso el heliocentrismo y publicó un tratado al respecto en 1543. Conservó la idea ptolemaica de los epiciclos y simplemente buscó simplificar la astronomía mediante la construcción de conjuntos más sencillos de órbitas epicíclicas. Los epiciclos consisten en círculos superpuestos. Según la física aristotélica , el círculo era la forma perfecta de movimiento y el movimiento intrínseco del quinto elemento de Aristóteles : la quintaesencia o esencia universal conocida en griego como éter ( por el aire puro en español) , que era la sustancia pura más allá de la esfera sublunar y, por lo tanto, la composición pura de las entidades celestes. El alemán Johannes Kepler (1571-1630), asistente de Tycho Brahe , modificó las órbitas copernicanas a elipses , formalizadas en las ecuaciones de las leyes de Kepler del movimiento planetario .

Un entusiasta atomista, Galileo Galilei afirmó en su libro de 1623, El ensayador, que el "libro de la naturaleza está escrito en matemáticas". ^{[ 9 ]} Su libro de 1632, sobre sus observaciones telescópicas, apoyó el heliocentrismo. ^{[ 10 ]} Habiendo utilizado la experimentación, Galileo refutó la cosmología geocéntrica refutando la física aristotélica misma. El libro de Galileo de 1638, Discurso sobre dos nuevas ciencias, estableció la ley de la caída libre igual, así como los principios del movimiento inercial, dos conceptos centrales de lo que hoy se conoce como mecánica clásica . ^{[ 10 ]} Por la ley galileana de la inercia , así como el principio de invariancia galileana , también llamado relatividad galileana, para cualquier objeto que experimente inercia, hay una justificación empírica para saber solo que está en reposo relativo o en movimiento relativo —reposo o movimiento con respecto a otro objeto.

René Descartes desarrolló un sistema completo de cosmología heliocéntrica basado en el principio del movimiento de vórtices, la física cartesiana , cuya amplia aceptación contribuyó a la desaparición de la física aristotélica. Descartes utilizó el razonamiento matemático como modelo para la ciencia y desarrolló la geometría analítica , que con el tiempo permitió representar gráficamente ubicaciones en el espacio tridimensional ( coordenadas cartesianas ) y marcar su progresión a lo largo del tiempo. ^{[ 11 ]}

Christiaan Huygens , un talentoso matemático y físico, contemporáneo de Newton, fue el primero en idealizar con éxito un problema físico mediante un conjunto de parámetros matemáticos en Horologium Oscillatorum (1673), y el primero en matematizar completamente una explicación mecanicista de un fenómeno físico no observable en Traité de la Lumière (1690). Por ello, se le considera un precursor de la física teórica y uno de los fundadores de la física matemática moderna. ^{[ 12 ] [ 13 ]}

El marco teórico predominante en la ciencia durante los siglos XVI y principios del XVII se basaba en las matemáticas de la antigua Grecia , donde las figuras geométricas constituían los pilares para describir y comprender el espacio, y el tiempo se concebía a menudo como una entidad independiente. Con la introducción del álgebra en la geometría, y con ella la idea de un sistema de coordenadas, el tiempo y el espacio pudieron concebirse como ejes pertenecientes a un mismo plano. Este marco matemático esencial constituye la base de toda la física moderna y se utiliza en todos los marcos matemáticos desarrollados en los siglos posteriores.

A mediados del siglo XVII, conceptos importantes como el teorema fundamental del cálculo (demostrado en 1668 por el matemático escocés James Gregory ) y la obtención de extremos y mínimos de funciones mediante la diferenciación utilizando el teorema de Fermat (por el matemático francés Pierre de Fermat ) ya eran conocidos antes que Leibniz y Newton. ^{[ 14 ]} Isaac Newton (1642-1727) desarrolló el cálculo (aunque Gottfried Wilhelm Leibniz desarrolló conceptos similares fuera del contexto de la física) y el método de Newton para resolver problemas en matemáticas y física. Tuvo un éxito extraordinario en la aplicación del cálculo y otros métodos al estudio del movimiento. La teoría del movimiento de Newton, que culminó en su Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica ( Principios matemáticos de la filosofía natural ) en 1687, modeló tres leyes galileanas del movimiento junto con la ley de gravitación universal de Newton en un marco de espacio absoluto —hipotetizado por Newton como una entidad físicamente real de estructura geométrica euclidiana que se extiende infinitamente en todas direcciones—, al tiempo que presuponía un tiempo absoluto , lo que supuestamente justificaba el conocimiento del movimiento absoluto, el movimiento del objeto con respecto al espacio absoluto. ^{[ 15 ]} El principio de invariancia/relatividad galileana era meramente implícito en la teoría del movimiento de Newton. Habiendo reducido aparentemente las leyes de Kepler , así como las leyes terrestres del movimiento de Galileo, a una fuerza unificadora, Newton logró un gran rigor matemático, pero con laxitud teórica. ^{[ 16 ]}

En el siglo XVIII, el suizo Daniel Bernoulli (1700-1782) realizó importantes contribuciones a la dinámica de fluidos y a la teoría de cuerdas vibrantes . El también suizo Leonhard Euler (1707-1783) se destacó en el cálculo variacional , la dinámica, la dinámica de fluidos y otras áreas. Asimismo, fue notable el italiano Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) por su trabajo en mecánica analítica : formuló la mecánica lagrangiana y los métodos variacionales. El físico, astrónomo y matemático irlandés William Rowan Hamilton (1805-1865) también realizó una contribución fundamental a la formulación de la dinámica analítica, denominada dinámica hamiltoniana . La dinámica hamiltoniana desempeñó un papel crucial en la formulación de teorías modernas en física, incluyendo la teoría de campos y la mecánica cuántica. El físico matemático francés Joseph Fourier (1768 – 1830) introdujo la noción de series de Fourier para resolver la ecuación del calor , dando lugar a un nuevo enfoque para resolver ecuaciones diferenciales parciales mediante transformadas integrales .

A principios del siglo XIX, varios matemáticos de Francia, Alemania e Inglaterra contribuyeron a la física matemática. El francés Pierre-Simon Laplace (1749-1827) realizó contribuciones fundamentales a la astronomía matemática y la teoría del potencial . Siméon Denis Poisson (1781-1840) trabajó en mecánica analítica y teoría del potencial . En Alemania, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) realizó contribuciones clave a los fundamentos teóricos de la electricidad , el magnetismo , la mecánica y la dinámica de fluidos . En Inglaterra, George Green (1793-1841) publicó en 1828 Ensayo sobre la aplicación del análisis matemático a las teorías de la electricidad y el magnetismo , que, además de sus importantes contribuciones a las matemáticas, sentó las bases matemáticas de la electricidad y el magnetismo.

Un par de décadas antes de que Newton publicara su teoría corpuscular de la luz, el holandés Christiaan Huygens (1629-1695) desarrolló la teoría ondulatoria de la luz, publicada en 1690. En 1804, el experimento de la doble rendija de Thomas Young reveló un patrón de interferencia, como si la luz fuera una onda, y así se aceptó la teoría ondulatoria de la luz de Huygens, así como su inferencia de que las ondas de luz eran vibraciones del éter luminífero . Jean-Augustin Fresnel modeló el comportamiento hipotético del éter. El físico inglés Michael Faraday introdujo el concepto teórico de campo, no de acción a distancia. A mediados del siglo XIX, el escocés James Clerk Maxwell (1831-1879) redujo la electricidad y el magnetismo a la teoría del campo electromagnético de Maxwell, que otros simplificaron hasta llegar a las cuatro ecuaciones de Maxwell . Inicialmente, se descubrió que la óptica era consecuencia del campo de Maxwell. Posteriormente, se descubrió que la radiación y, por consiguiente , el espectro electromagnético que conocemos hoy en día, también eran consecuencia de este campo electromagnético.

El físico inglés Lord Rayleigh [1842–1919] trabajó en el sonido . Los irlandeses William Rowan Hamilton (1805–1865), George Gabriel Stokes (1819–1903) y Lord Kelvin (1824–1907) produjeron varias obras importantes: Stokes fue un líder en óptica y dinámica de fluidos; Kelvin hizo descubrimientos sustanciales en termodinámica ; Hamilton realizó un trabajo notable en mecánica analítica , descubriendo un nuevo y poderoso enfoque conocido hoy como mecánica hamiltoniana . Contribuciones muy relevantes a este enfoque se deben a su colega matemático alemán Carl Gustav Jacobi (1804–1851), en particular refiriéndose a las transformaciones canónicas . El alemán Hermann von Helmholtz (1821–1894) hizo contribuciones sustanciales en los campos del electromagnetismo , las ondas, los fluidos y el sonido. En Estados Unidos, la obra pionera de Josiah Willard Gibbs (1839-1903) sentó las bases de la mecánica estadística . El alemán Ludwig Boltzmann (1844-1906) logró resultados teóricos fundamentales en este campo . Juntos, estos científicos sentaron las bases de la teoría electromagnética, la dinámica de fluidos y la mecánica estadística.

Hacia la década de 1880, surgió una paradoja prominente: un observador dentro del campo electromagnético de Maxwell lo medía a una velocidad aproximadamente constante, independientemente de su velocidad relativa a otros objetos dentro del campo. Así, aunque la velocidad del observador se perdía continuamente con respecto al campo electromagnético, se conservaba con respecto a otros objetos en dicho campo. Sin embargo, no se detectó ninguna violación de la invariancia galileana en las interacciones físicas entre objetos. Dado que el campo electromagnético de Maxwell se modeló como oscilaciones del éter , los físicos infirieron que el movimiento dentro del éter producía una deriva etérea , desplazando el campo electromagnético y explicando la velocidad faltante del observador con respecto a él. La transformación galileana había sido el proceso matemático utilizado para traducir las posiciones en un sistema de referencia a predicciones de posiciones en otro sistema de referencia, todo ello representado en coordenadas cartesianas ; pero este proceso fue reemplazado por la transformación de Lorentz , modelada por el holandés Hendrik Lorentz . En 1908, Hermann Minkowski , antiguo profesor de matemáticas de Einstein , aplicó el álgebra lineal para modelar el espacio tridimensional junto con el eje unidimensional del tiempo, tratando el eje temporal como una cuarta dimensión espacial (un espaciotiempo de cuatro dimensiones), y declaró la inminente desaparición de la separación entre espacio y tiempo. ^{[ 17 ]}

En 1887, los experimentadores Michelson y Morley no lograron detectar la deriva del éter. Se planteó la hipótesis de que el movimiento hacia el éter también provocaba su acortamiento, tal como se modelaba en la contracción de Lorentz . Se postuló que, de este modo, el éter mantenía el campo electromagnético de Maxwell alineado con el principio de invariancia galileana en todos los sistemas de referencia inerciales , mientras que la teoría del movimiento de Newton permanecía intacta.

El físico teórico y filósofo austriaco Ernst Mach criticó el espacio absoluto postulado por Newton. El matemático Jules-Henri Poincaré (1854-1912) cuestionó incluso el tiempo absoluto. En 1905, Pierre Duhem publicó una crítica demoledora de los fundamentos de la teoría del movimiento de Newton. ^{[ 16 ]} También en 1905, Albert Einstein publicó su teoría especial de la relatividad , explicando de nuevo tanto la invariancia del campo electromagnético como la invariancia galileana al descartar todas las hipótesis sobre el éter, incluida la existencia del éter mismo. Refutando el marco de la teoría de Newton —espacio absoluto y tiempo absoluto— la relatividad especial se refiere al espacio relativo y al tiempo relativo , por lo que la longitud se contrae y el tiempo se dilata a lo largo de la trayectoria de un objeto.

Las coordenadas cartesianas utilizaban arbitrariamente coordenadas rectilíneas. Carl Friedrich Gauss , inspirado por la obra de Descartes, introdujo la geometría curva, sustituyendo los ejes rectilíneos por curvos. Gauss también introdujo otra herramienta clave de la física moderna: la curvatura. Sin embargo, su trabajo se limitaba a dos dimensiones; extenderlo a tres o más dimensiones introducía una gran complejidad y la necesidad de tensores (aún no inventados) . Fue Bernhard Riemann quien extendió la geometría curva a N dimensiones con la geometría diferencial , ahora conocida como geometría riemanniana .

Einstein inicialmente lo llamó "conocimiento superfluo", pero luego usó el espaciotiempo de Minkowski como espacio tangente en su teoría general de la relatividad , ^{[ 18 ]} extendiendo la invariancia a todos los sistemas de referencia —ya sean percibidos como inerciales o acelerados— y atribuyó esto a Minkowski, ya fallecido. La relatividad general reemplaza las coordenadas cartesianas con coordenadas gaussianas y reemplaza el espacio euclidiano, aunque vacío, que Newton afirmaba recorrer instantáneamente mediante el vector de la hipotética fuerza gravitatoria de Newton —una acción instantánea a distancia— con un campo gravitatorio . El campo gravitatorio es el propio espaciotiempo de Minkowski , la topología 4D del éter de Einstein modelada en una variedad lorentziana que "se curva" geométricamente, según el tensor de curvatura de Riemann . El concepto de gravedad de Newton: "dos masas se atraen" se reemplaza por el argumento geométrico: "la masa transforma las curvaturas del espaciotiempo y las partículas en caída libre con masa se mueven a lo largo de una curva geodésica en el espaciotiempo". Las innovaciones en geometría fueron precedidas por la geometría no euclidiana y las exploraciones de la curvatura realizadas por C.F. Gauss . Incluso la energía sin masa ejerce un efecto gravitatorio debido a que su equivalencia de masa "curva" localmente la geometría de las cuatro dimensiones unificadas del espacio y el tiempo.

Otro desarrollo revolucionario del siglo XX fue la teoría cuántica , que surgió de las contribuciones fundamentales de Max Planck (1856-1947) (sobre la radiación del cuerpo negro ) y el trabajo de Einstein sobre el efecto fotoeléctrico . En 1912, el matemático Henri Poincaré publicó Sur la théorie des quanta . ^{[ 19 ] [ 20 ]} En este artículo introdujo la primera definición no ingenua de cuantización. El desarrollo de la física cuántica temprana estuvo seguido por un marco heurístico ideado por Arnold Sommerfeld (1868-1951) y Niels Bohr (1885-1962), pero este pronto fue reemplazado por la mecánica cuántica desarrollada por Max Born (1882-1970), Louis de Broglie (1892-1987), Werner Heisenberg (1901-1976), Paul Dirac (1902-1984), Erwin Schrödinger (1887-1961), Satyendra Nath Bose (1894-1974) y Wolfgang Pauli (1900-1958).

Este revolucionario marco teórico se basa en una interpretación probabilística de los estados, la evolución y las mediciones en términos de operadores autoadjuntos en un espacio vectorial de dimensión infinita. Este espacio se denomina espacio de Hilbert (introducido por los matemáticos David Hilbert (1862-1943), Erhard Schmidt (1876-1959) y Frigyes Riesz (1880-1956) en busca de la generalización del espacio euclidiano y el estudio de ecuaciones integrales), y definido rigurosamente dentro de la versión axiomática moderna por John von Neumann en su célebre libro Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica , donde construyó una parte relevante del análisis funcional moderno en espacios de Hilbert, la teoría espectral (introducida por David Hilbert, quien investigó formas cuadráticas con infinitas variables. Muchos años después, se reveló que su teoría espectral está asociada con el espectro del átomo de hidrógeno. Esta aplicación lo sorprendió). Paul Dirac utilizó construcciones algebraicas para elaborar un modelo relativista del electrón , prediciendo su momento magnético y la existencia de su antipartícula, el positrón .

Entre los principales contribuyentes a la física matemática del siglo XX se incluyen (ordenados por fecha de nacimiento):

• William Thomson (Lord Kelvin) (1824–1907)
• Oliver Heaviside (1850-1925)
• Julio Enrique Poincaré (1854-1912)
• David Hilbert (1862–1943)
• Arnold Sommerfeld (1868-1951)
• Constantin Carathéodory (1873–1950)
• Albert Einstein (1879–1955)
• Emmy Noether (1882–1935)
• Max Born (1882–1970)
• George David Birkhoff (1884–1944)
• Hermann Weyl (1885–1955)
• Satyendra Nath Bose (1894-1974)
• Luis de Broglie (1892-1987)
• Norbert Wiener (1894–1964)
• John Lighton Synge (1897–1995)
• Mario Schenberg (1914-1990)
• Wolfgang Pauli (1900–1958)
• Paul Dirac (1902–1984)
• Eugene Wigner (1902–1995)
• Andréi Kolmogorov (1903-1987)
• Lars Onsager (1903–1976)
• Juan von Neumann (1903-1957)
• Sin-Itiro Tomonaga (1906-1979)
• Hideki Yukawa (1907-1981)
• Nikolay Nikolayevich Bogolyubov (1909-1992)
• Subrahmanyan Chandrasekhar (1910-1995)
• Mark Kac (1914–1984)
• Julián Schwinger (1918-1994)
• Richard Phillips Feynman (1918–1988)
• Irving Ezra Segal (1918–1998)
• Ryogo Kubo (1920-1995)
• Arthur Strong Wightman (1922–2013)
• Chen-Ning Yang (1922–2025)
• Rudolf Haag (1922–2016)
• Freeman John Dyson (1923–2020)
• Martín Gutzwiller (1925-2014)
• Abdus Salam (1926–1996)
• Jürgen Moser (1928–1999)
• Michael Francis Atiyah (1929-2019)
• Joel Louis Lebowitz (1930–)
• Roger Penrose (1931–)
• Elliott Hershel Lieb (1932–)
• Yakir Aharonov (1932–)
• Sheldon Glashow (1932–)
• Steven Weinberg (1933–2021)
• Ludvig Dmitrievich Faddeev (1934-2017)
• David Ruelle (1935–)
• Yakov Grigorevich Sinaí (1935–)
• Vladimir Igorevich Arnold (1937-2010)
• Arthur Michael Jaffe (1937–)
• Roman Wladimir Jackiw (1939–)
• Leonard Susskind (1940–)
• Rodney James Baxter (1940–)
• Michael Victor Berry (1941–)
• Giovanni Gallavotti (1941–)
• Stephen William Hawking (1942–2018)
• Jerrold Eldon Marsden (1942–2010)
• Michael C. Reed (1942–)
• John Michael Kosterlitz (1943–)
• Israel Michael Sigal (1945–)
• Alexander Markovich Polyakov (1945–)
• Barry Simon (1946–)
• Herbert Spohn (1946–)
• John Lawrence Cardy (1947–)
• Giorgio Parisi (1948-)
• Abhay Ashtekar (1949-)
• Edward Witten (1951–)
• F. Duncan Haldane (1951–)
• Ashoke Sen (1956–)
• Juan Martín Maldacena (1968–)

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