Implementación de las matemáticas en la teoría de conjuntos.

Este artículo examina la implementación de conceptos matemáticos en la teoría de conjuntos . La implementación de varios conceptos matemáticos básicos se lleva a cabo en paralelo en ZFC (la teoría de conjuntos dominante) y en NFU , la versión de los Nuevos Fundamentos de Quine que RB Jensen demostró ser consistente en 1969 (aquí se entiende que incluye al menos los axiomas de Infinito y Elección ).

Lo que aquí se expone se aplica también a dos familias de teorías de conjuntos: por un lado, un conjunto de teorías que incluye la teoría de conjuntos de Zermelo, situada en el extremo inferior de la escala, y que llega hasta ZFC, extendida con hipótesis de cardinalidad mayor , como «existe un cardinal medible »; y por otro lado, una jerarquía de extensiones de NFU, que se analiza en el artículo «New Foundations» . Estas corresponden a diferentes concepciones generales del universo de la teoría de conjuntos, y son los enfoques para la implementación de conceptos matemáticos bajo estas dos concepciones generales los que se comparan y contrastan.

El objetivo principal de este artículo no es analizar las ventajas relativas de estas teorías como fundamentos de las matemáticas. El uso de dos teorías de conjuntos diferentes se justifica para ilustrar la viabilidad de múltiples enfoques en la aplicación de las matemáticas. Precisamente por este motivo, este artículo no ofrece definiciones «oficiales» de ningún concepto matemático.

Las siguientes secciones llevan a cabo ciertas construcciones en las dos teorías ZFC y NFU y comparan las implementaciones resultantes de ciertas estructuras matemáticas (como los números naturales ).

Las teorías matemáticas demuestran teoremas (y nada más). Por lo tanto, decir que una teoría permite la construcción de un objeto determinado significa que es un teorema de esa teoría que ese objeto existe. Esta es una afirmación sobre una definición de la forma "el x tal que${\displaystyle \phi }$existe", donde${\displaystyle \phi }$es una fórmula de nuestro lenguaje : la teoría prueba la existencia de "el x tal que${\displaystyle \phi }$" por si acaso es un teorema que dice "hay uno y solo un x tal que${\displaystyle \phi }$(Véase la teoría de las descripciones de Bertrand Russell ). En términos generales, la teoría «define» o «construye» este objeto en este caso. Si la afirmación no es un teorema, la teoría no puede demostrar que el objeto existe; si la afirmación es demostrablemente falsa en la teoría, demuestra que el objeto no puede existir; en términos generales, el objeto no puede construirse.

ZFC y NFU comparten el lenguaje de la teoría de conjuntos, por lo que las mismas definiciones formales "el x tal que${\displaystyle \phi }$" puede contemplarse en las dos teorías. Una forma específica de definición en el lenguaje de la teoría de conjuntos es la notación de constructor de conjuntos :${\displaystyle \{x\mid \phi \}}$significa "el conjunto A tal que para todo x,${\displaystyle x\in A\leftrightarrow \phi }$" (A no puede ser libre en${\displaystyle \phi }$Esta notación admite ciertas extensiones convencionales:${\displaystyle \{x\in B\mid \phi \}}$es sinónimo de${\displaystyle \{x\mid x\in B\wedge \phi \}}$;${\displaystyle \{f(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid \phi \}}$se define como${\displaystyle \{z\mid \exists x_{1},\ldots ,x_{n}\,(z=f(x_{1},\dots ,x_{n})\wedge \phi )\}}$, dónde${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$es una expresión ya definida.

Las expresiones definibles en notación de constructor de conjuntos tienen sentido tanto en ZFC como en NFU: puede ser que ambas teorías demuestren que una definición dada tiene éxito, o que ninguna lo haga (la expresión${\displaystyle \{x\mid x\not \in x\}}$No se refiere a nada en ninguna teoría de conjuntos con lógica clásica; en teorías de clases como NBG , esta notación sí se refiere a una clase, pero se define de manera diferente), o que una sí y la otra no. Además, un objeto definido de la misma manera en ZFC y NFU puede tener propiedades diferentes en ambas teorías (o puede haber una diferencia en lo que se puede demostrar cuando no existe una diferencia demostrable entre sus propiedades).

Además, la teoría de conjuntos importa conceptos de otras ramas de las matemáticas (en intención, de todas las ramas de las matemáticas). En algunos casos, hay diferentes maneras de importar los conceptos a ZFC y NFU. Por ejemplo, la definición usual del primer ordinal infinito${\displaystyle \omega }$en ZFC no es adecuado para NFU porque el objeto (definido en lenguaje puramente teórico de conjuntos como el conjunto de todos los ordinales finitos de von Neumann ) no puede demostrarse que existe en NFU. La definición usual de${\displaystyle \omega }$En NFU, (en lenguaje puramente de teoría de conjuntos) se define el conjunto de todos los buenos ordenamientos infinitos cuyos segmentos iniciales propios son finitos, un objeto que se puede demostrar que no existe en ZFC. En el caso de tales objetos importados, puede haber definiciones diferentes: una para su uso en ZFC y teorías relacionadas, y otra para su uso en NFU y teorías relacionadas. Para que tales "implementaciones" de conceptos matemáticos importados tengan sentido, es necesario poder demostrar que las dos interpretaciones paralelas poseen las propiedades esperadas: por ejemplo, las implementaciones de los números naturales en ZFC y NFU son diferentes, pero ambas son implementaciones de la misma estructura matemática, ya que ambas incluyen definiciones para todas las primitivas de la aritmética de Peano y satisfacen (las traducciones de) los axiomas de Peano. Entonces es posible comparar lo que sucede en las dos teorías como cuando solo se utiliza el lenguaje de la teoría de conjuntos, siempre que se entienda que las definiciones apropiadas para ZFC se usan en el contexto de ZFC y las definiciones apropiadas para NFU se entienden que se usan en el contexto de NFU.

Todo aquello cuya existencia se demuestra en una teoría, existe claramente en cualquier extensión de dicha teoría; además, el análisis de la prueba de que un objeto existe en una teoría dada puede demostrar que existe en versiones más débiles de esa teoría (por ejemplo, se puede considerar la teoría de conjuntos de Zermelo en lugar de ZFC para gran parte de lo que se hace en este artículo).

Estas construcciones aparecen primero porque son las más simples en la teoría de conjuntos, no porque sean las primeras que vienen a la mente en matemáticas (aunque la noción de conjunto finito es ciertamente fundamental). Si bien NFU también permite la construcción de elementos primordiales de un conjunto que aún no son miembros de un conjunto, el conjunto vacío es el único conjunto sin miembros:

${\displaystyle \left.\varnothing \right.\,{\overset {\mathrm {def.} }{=}}\left\{x:x\neq x\right\}}$

Para cada objeto${\displaystyle x}$, hay un conjunto${\displaystyle \{x\}}$con${\displaystyle x}$como su único elemento:

${\displaystyle \left\{x\right\}{\overset {\mathrm {def.} }{=}}\left\{y:y=x\right\}}$

Para objetos${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$, hay un conjunto${\displaystyle \{x,y\}}$que contiene${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$como sus únicos elementos:

${\displaystyle \left\{x,y\right\}{\overset {\mathrm {def.} }{=}}\left\{z:z=x\vee z=y\right\}}$

La unión de dos conjuntos se define de la forma habitual:

${\displaystyle \left.x\cup y\right.\,{\overset {\mathrm {def.} }{=}}\left\{z:z\in x\vee z\in y\right\}}$

Esta es una definición recursiva de desordenado.${\displaystyle n}$-tuplas para cualquier concreto${\displaystyle n}$(conjuntos finitos dados como listas de sus elementos:)

${\displaystyle \left\{x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1}\right\}{\overset {\mathrm {def.} }{=}}\left\{x_{1},\ldots ,x_{n}\right\}\cup \left\{x_{n+1}\right\}}$

En NFU, todas las definiciones de conjuntos dadas funcionan por comprensión estratificada; en ZFC, la existencia del par no ordenado está dada por el Axioma de Emparejamiento , la existencia del conjunto vacío se sigue por Separación de la existencia de cualquier conjunto, y la unión binaria de dos conjuntos existe por los axiomas de Emparejamiento y Unión (${\displaystyle x\cup y=\bigcup \{x,y\}}$).

Primero, consideremos el par ordenado . La razón por la que esto se menciona primero es técnica: los pares ordenados son necesarios para implementar relaciones y funciones , que a su vez son necesarias para implementar otros conceptos que pueden parecer anteriores. La primera definición del par ordenado fue la definición${\displaystyle (x,y){\overset {\mathrm {def} }{=}}\{\{\{x\},\emptyset \},\{\{y\}\}\}}$Propuesta por Norbert Wiener en 1914 en el contexto de la teoría de tipos de Principia Mathematica . Wiener observó que esto permitía la eliminación de los tipos de relaciones n -arias para n > 1 del sistema de esa obra. Ahora es más común utilizar la definición${\displaystyle (x,y){\overset {\mathrm {def.} }{=}}\{\{x\},\{x,y\}\}}$, debido a Kuratowski . Cualquiera de estas definiciones funciona tanto en ZFC como en NFU. En NFU, estas dos definiciones tienen una desventaja técnica: el par ordenado de Kuratowski es dos tipos más alto que sus proyecciones, mientras que el par ordenado de Wiener es tres tipos más alto. Es común postular la existencia de un par ordenado de nivel de tipo (un par${\displaystyle (x,y)}$que es del mismo tipo que sus proyecciones ) en NFU. Es conveniente usar el par de Kuratowski en ambos sistemas hasta que se pueda justificar formalmente el uso de pares a nivel de tipo. Los detalles internos de estas definiciones no tienen nada que ver con su función matemática real. Para cualquier noción${\displaystyle (x,y)}$de par ordenado, lo que importa es que satisfaga la condición definitoria

${\displaystyle (x,y)=(z,w)\ \equiv \ x=z\wedge y=w}$

…y que sea razonablemente fácil agrupar pares ordenados en conjuntos.

Las relaciones son conjuntos cuyos miembros son todos pares ordenados . Siempre que sea posible, una relación${\displaystyle R}$(entendido como un predicado binario ) se implementa como${\displaystyle \{(x,y)\mid xRy\}}$(que puede escribirse como${\displaystyle \{z\mid \pi _{1}(z)R\pi _{2}(z)\}}$). Cuando${\displaystyle R}$es una relación, la notación${\displaystyle xRy}$medio${\displaystyle \left(x,y\right)\in R}$.

En ZFC, algunas relaciones (como la relación de igualdad general o la relación de subconjunto en conjuntos) son "demasiado grandes" para ser conjuntos (pero pueden ser reificadas inofensivamente como clases propias ). En NFU, algunas relaciones (como la relación de pertenencia) no son conjuntos porque sus definiciones no están estratificadas: en${\displaystyle \{(x,y)\mid x\in y\}}$, ${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$necesitarían tener el mismo tipo (porque aparecen como proyecciones del mismo par), pero también tipos sucesivos (porque${\displaystyle x}$se considera como un elemento de${\displaystyle y}$).

Una relación funcional es un predicado binario.${\displaystyle F}$de tal manera que${\displaystyle \forall x,y,z\,\left(xFy\wedge xFz\to y=z\right).}$Dicha relación ( predicado ) se implementa como una relación (conjunto) exactamente como se describe en la sección anterior. Por lo tanto, el predicado${\displaystyle F}$se implementa mediante el conjunto${\displaystyle \left\{\left(x,y\right):xFy\right\}}$. Una relación${\displaystyle F}$es una función si y solo si${\displaystyle \forall x,y,z\,\left(\left(x,y\right)\in F\wedge \left(x,z\right)\in F\to y=z\right).}$Por lo tanto, es posible definir la función de valor.${\displaystyle F\!\left(x\right)}$como objeto único${\displaystyle y}$de tal manera que${\displaystyle xFy}$- es decir: ${\displaystyle x}$es${\displaystyle F}$-relacionado con${\displaystyle y}$de tal manera que la relación${\displaystyle f}$se mantiene entre${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$– o como objeto único${\displaystyle y}$de tal manera que${\displaystyle \left(x,y\right)\in F}$. La presencia en ambas teorías de predicados funcionales que no son conjuntos hace útil permitir la notación${\displaystyle F\!\left(x\right)}$ambos para conjuntos${\displaystyle F}$y para predicados funcionales importantes. Siempre que no se cuantifique sobre funciones en este último sentido, todos esos usos son, en principio, eliminables.

Fuera de la teoría formal de conjuntos, solemos especificar una función en términos de su dominio y codominio, como en la frase "Sea${\displaystyle f:A\to B}$ser una función". El dominio de una función es simplemente su dominio como relación, pero aún no hemos definido el codominio de una función. Para ello, introducimos la terminología de que una función es de${\displaystyle A}$a${\displaystyle B}$si su dominio es igual a${\displaystyle A}$y su alcance está contenido en${\displaystyle B}$De esta manera, cada función es una función desde su dominio hasta su rango, y una función${\displaystyle f}$de${\displaystyle A}$a${\displaystyle B}$también es una función de${\displaystyle A}$a${\displaystyle C}$para cualquier conjunto${\displaystyle C}$que contiene${\displaystyle B}$.

En efecto, independientemente del conjunto que consideremos como el codominio de una función, la función no cambia como conjunto, ya que por definición es simplemente un conjunto de pares ordenados. Es decir, una función no determina su codominio por nuestra definición. Si esto resulta poco atractivo, se puede definir una función como el par ordenado.${\displaystyle (f,B)}$, dónde${\displaystyle f}$es una relación funcional y${\displaystyle B}$es su codominio, pero no adoptamos este enfoque en este artículo (de manera más elegante, si primero se definen las ternas ordenadas, por ejemplo, como${\displaystyle (x,y,z)=(x,(y,z))}$- entonces se podría definir una función como la terna ordenada${\displaystyle (f,A,B)}$para incluir también el dominio). Nótese que el mismo problema existe para las relaciones: fuera de la teoría formal de conjuntos solemos decir "Sea${\displaystyle R\subseteq A\times B}$ser una relación binaria", pero formalmente${\displaystyle R}$es un conjunto de pares ordenados tal que${\displaystyle {\text{dom}}\,R\subseteq A}$y${\displaystyle {\text{ran}}\,R\subseteq B}$.

En NFU,${\displaystyle x}$tiene el mismo tipo que${\displaystyle F\!\left(x\right)}$, y${\displaystyle F}$es tres tipos más alto que${\displaystyle F\!\left(x\right)}$(un tipo superior, si se utiliza un par ordenado a nivel de tipo). Para resolver este problema, se podría definir${\displaystyle F\left[A\right]}$como${\displaystyle \left\{y:\exists x\,\left(x\in A\wedge y=F\!\left(x\right)\right)\right\}}$para cualquier conjunto${\displaystyle A}$, pero esto se escribe de forma más conveniente como${\displaystyle \left\{F\!\left(x\right):x\in A\right\}}$. Entonces, si${\displaystyle A}$es un conjunto y${\displaystyle F}$es cualquier relación funcional, el Axioma de Reemplazo asegura que${\displaystyle F\left[A\right]}$es un conjunto en ZFC . En NFU,${\displaystyle F\left[A\right]}$y${\displaystyle A}$ahora tienen el mismo tipo y${\displaystyle F}$es dos tipos más alto que${\displaystyle F\left[A\right]}$(del mismo tipo, si se utiliza un par ordenado a nivel de tipo).

La función${\displaystyle I}$de tal manera que${\displaystyle I\!\left(x\right)=x}$no es un conjunto en ZFC porque es "demasiado grande".${\displaystyle I}$Sin embargo, es un conjunto en NFU. La función (predicado)${\displaystyle S}$de tal manera que${\displaystyle S\!\left(x\right)=\left\{x\right\}}$no es ni una función ni un conjunto en ninguna de las dos teorías; en ZFC, esto es cierto porque tal conjunto sería demasiado grande, y, en NFU, esto es cierto porque su definición no estaría estratificada . Además,${\displaystyle S}$Se puede demostrar que no existe en NFU (véase la resolución de la paradoja de Cantor en New Foundations ).

Tanto en ZFC como en NFU , dos conjuntos A y B tienen el mismo tamaño (o son equinumerosos ) si y solo si existe una biyección f de A a B. Esto se puede escribir como${\displaystyle |A|=|B|}$, pero tenga en cuenta que (por el momento) esto expresa una relación entre A y B en lugar de una relación entre objetos aún no definidos.${\displaystyle |A|}$y${\displaystyle |B|}$Denotemos esta relación por${\displaystyle A\sim B}$en contextos como la definición misma de los cardinales, donde incluso la apariencia de presuponer cardinales abstractos debe evitarse.

De manera similar, defina${\displaystyle |A|\leq |B|}$como válido si y solo si hay una inyección de A a B.

Es sencillo demostrar que la relación de equinumericidad es una relación de equivalencia : la equinumericidad de A con A se demuestra mediante${\displaystyle i_{A}}$; si f testigos${\displaystyle |A|=|B|}$, entonces${\displaystyle f^{-1}}$testigos${\displaystyle |B|=|A|}$; y si f testigos${\displaystyle |A|=|B|}$y testigos g${\displaystyle |B|=|C|}$, entonces${\displaystyle g\circ f}$testigos${\displaystyle |A|=|C|}$.

Se puede demostrar que${\displaystyle |A|\leq |B|}$es un orden lineal en cardinales abstractos, pero no en conjuntos. La reflexividad es obvia y la transitividad se demuestra igual que para la equinumericidad. El teorema de Schröder-Bernstein , demostrable en ZFC y NFU de una manera completamente estándar, establece que

• ${\displaystyle |A|\leq |B|\wedge |B|\leq |A|\rightarrow |A|=|B|}$

(esto establece una antisimetría en los cardinales), y

• ${\displaystyle |A|\leq |B|\vee |B|\leq |A|}$

sigue de forma estándar en ambas teorías a partir del axioma de elección .

Los números naturales pueden considerarse como ordinales finitos o cardinales finitos. Aquí los consideraremos como números cardinales finitos. Este es el primer punto donde se evidencia una diferencia importante entre las implementaciones en ZFC y NFU .

El axioma de infinito de ZFC nos dice que hay un conjunto A que contiene${\displaystyle \emptyset }$y contiene${\displaystyle y\cup \{y\}}$para cada${\displaystyle y\in A}$. Este conjunto A no está determinado de forma única (puede hacerse más grande conservando esta propiedad de cierre): el conjunto N de números naturales es

• ${\displaystyle \{x\in A\mid \forall B\,(\emptyset \in B\wedge \forall y\,(y\in B\rightarrow y\cup \{y\}\in B)\rightarrow x\in B)\}}$

que es la intersección de todos los conjuntos que contienen el conjunto vacío y son cerrados bajo la operación "sucesor".${\displaystyle y\mapsto y\cup \{y\}}$.

En ZFC, un conjunto${\displaystyle A}$es finito si y solo si existe${\displaystyle n\in N}$de tal manera que${\displaystyle |n|=|A|}$: además, defina${\displaystyle |A|}$como este n para A finito . (Se puede demostrar que no hay dos números naturales distintos del mismo tamaño).

Las operaciones aritméticas habituales se pueden definir recursivamente y de una forma muy similar a como se define el conjunto de los números naturales. Por ejemplo, + (la operación de suma sobre números naturales) se puede definir como el conjunto más pequeño que contiene${\displaystyle ((x,\emptyset ),x)}$para cada número natural${\displaystyle x}$y contiene${\displaystyle ((x,y\cup \{y\}),z\cup \{z\})}$siempre que contenga${\displaystyle ((x,y),z)}$.

En NFU, no es obvio que se pueda utilizar este enfoque, ya que la operación sucesora${\displaystyle y\cup \{y\}}$no está estratificado y, por lo tanto, no se puede demostrar que el conjunto N, tal como se definió anteriormente, exista en NFU (es consistente que el conjunto de ordinales de von Neumann finitos exista en NFU, pero esto fortalece la teoría, ya que la existencia de este conjunto implica el Axioma de Conteo (para lo cual véase más abajo o el artículo de New Foundations )).

La definición estándar de los números naturales, que en realidad es la definición teórica de conjuntos más antigua de los números naturales , es como clases de equivalencia de conjuntos finitos bajo la condición de equinumerosidad. Esencialmente la misma definición es apropiada para NFU (esta no es la definición usual, pero los resultados son los mismos): definimos Fin , el conjunto de conjuntos finitos, como

${\displaystyle \{A\mid \forall F\,(\emptyset \in F\wedge \forall x,y\,(x\in F\rightarrow x\cup \{y\}\in F)\rightarrow A\in F)\}}$

Para cualquier conjunto${\displaystyle A\in Fin}$, definir${\displaystyle |A|}$como${\displaystyle \{B\mid A\sim B\}}$. Definimos N como el conjunto${\displaystyle \{|A|\mid A\in Fin\}}$.

El axioma de infinitud de NFU se puede expresar como${\displaystyle V\not \in Fin}$: esto es suficiente para establecer que cada número natural tiene un sucesor no vacío (el sucesor de${\displaystyle |A|}$ser${\displaystyle |A\cup \{x\}|}$para cualquier${\displaystyle x\not \in A}$) que es la parte difícil de demostrar que se cumplen los axiomas de Peano de la aritmética.

Las operaciones aritméticas se pueden definir de forma similar a la anterior (utilizando la definición de sucesor que se acaba de dar). También se pueden definir de forma natural desde el punto de vista de la teoría de conjuntos: si A y B son conjuntos finitos disjuntos, definimos |A|+|B| como${\displaystyle |A\cup B|}$. De forma más formal, definimos m+n para m y n en N como

${\displaystyle \{A\mid \exists B,C\,(B\in m\wedge C\in n\wedge B\cap C=\emptyset \wedge A=B\cup C)\}}$

(Pero tenga en cuenta que este estilo de definición también es factible para los numerales ZFC, aunque de forma más indirecta: la forma de la definición NFU facilita las manipulaciones de conjuntos, mientras que la forma de la definición ZFC facilita las definiciones recursivas, pero cualquiera de las dos teorías admite cualquiera de los dos estilos de definición).

Las dos implementaciones son bastante diferentes. En ZFC, se elige un representante de cada cardinalidad finita (las clases de equivalencia son demasiado grandes para ser conjuntos); en NFU, las clases de equivalencia son conjuntos, por lo que resultan una opción obvia para que los objetos representen las cardinalidades. Sin embargo, la aritmética de ambas teorías es idéntica: la misma abstracción se implementa mediante estos dos enfoques superficialmente diferentes.

Una técnica general para implementar abstracciones en la teoría de conjuntos es el uso de clases de equivalencia. Si una relación de equivalencia R nos dice que los elementos de su cuerpo A son similares en algún aspecto particular, entonces para cualquier conjunto x , consideremos el conjunto${\displaystyle [x]_{R}=\{y\in A\mid xRy\}}$como representación de una abstracción del conjunto x que respeta solo esas características (identificar elementos de A hasta R ).

Para cualquier conjunto A , un conjunto${\displaystyle P}$es una partición de A si todos los elementos de P no son vacíos, cualesquiera dos elementos distintos de P son disjuntos y${\displaystyle A=\bigcup P}$.

Para cada relación de equivalencia R con campo A ,${\displaystyle \{[x]_{R}\mid x\in A\}}$es una partición de A. Además, cada partición P de A determina una relación de equivalencia.${\displaystyle \{(x,y)\mid \exists A\in P\,(x\in A\wedge y\in A)\}}$.

Esta técnica tiene limitaciones tanto en ZFC como en NFU . En ZFC, dado que el universo no es un conjunto, parece posible abstraer características solo de elementos de dominios pequeños. Esto se puede sortear utilizando un truco debido a Dana Scott : si R es una relación de equivalencia en el universo, defina${\displaystyle [x]_{R}}$como el conjunto de todos los y tales que${\displaystyle yRx}$y el rango de y es menor o igual que el rango de cualquier${\displaystyle zRx}$. Esto funciona porque los rangos son conjuntos. Por supuesto, aún puede haber una clase adecuada de${\displaystyle [x]_{R}}$'s. En NFU, la principal dificultad es que${\displaystyle [x]_{R}}$es un tipo superior a x, por ejemplo el "mapa"${\displaystyle x\mapsto [x]_{R}}$no es en general una función (de conjunto) (aunque${\displaystyle \{x\}\mapsto [x]_{R}}$es un conjunto). Esto se puede eludir mediante el uso del Axioma de Elección para seleccionar un representante de cada clase de equivalencia para reemplazar${\displaystyle [x]_{R}}$, que será del mismo tipo que x , o eligiendo un representante canónico si hay una forma de hacerlo sin invocar Choice (el uso de representantes tampoco es desconocido en ZFC). En NFU, el uso de construcciones de clases de equivalencia para abstraer propiedades de conjuntos generales es más común, como por ejemplo en las definiciones de número cardinal y ordinal que se muestran a continuación.

Dos órdenes de pozo${\displaystyle W_{1}}$y${\displaystyle W_{2}}$son similares y escriben${\displaystyle W_{1}\sim W_{2}}$por si acaso existe una biyección f del campo de${\displaystyle W_{1}}$al campo de${\displaystyle W_{2}}$de tal manera que${\displaystyle xW_{1}y\leftrightarrow f(x)W_{2}f(y)}$para todo x e y .

Se demuestra que la similitud es una relación de equivalencia de forma muy similar a como se demostró anteriormente que la equinumerosidad era una relación de equivalencia.

En New Foundations (NFU), el tipo de orden de un buen ordenamiento W es el conjunto de todos los buenos ordenamientos que son similares a W. El conjunto de números ordinales es el conjunto de todos los tipos de orden de los buenos ordenamientos.

Esto no funciona en ZFC , porque las clases de equivalencia son demasiado grandes. Formalmente sería posible usar el truco de Scott para definir los ordinales de forma prácticamente idéntica, pero se suele utilizar más el método de von Neumann .

Para cualquier pedido parcial${\displaystyle \leq }$, el orden parcial estricto correspondiente < se define como${\displaystyle \{(x,y)\mid x\leq y\wedge x\neq y\}}$Los órdenes lineales estrictos y los órdenes de pozo estrictos se definen de manera similar.

Se dice que un conjunto A es transitivo si${\displaystyle \bigcup A\subseteq A}$: cada elemento de un elemento de A es también un elemento de A. Un ordinal (von Neumann) es un conjunto transitivo en el que la pertenencia es un orden estricto.

En ZFC, el tipo de orden de un buen ordenamiento W se define entonces como el único ordinal de von Neumann que es equinumérico con el campo de W y cuya pertenencia es isomorfa al buen ordenamiento estricto asociado con W. (La condición de equinumericidad distingue entre buenos ordenamientos con campos de tamaño 0 y 1, cuyos buenos ordenamientos estrictos asociados son indistinguibles).

En ZFC no puede existir un conjunto de todos los ordinales. De hecho, los ordinales de von Neumann constituyen una totalidad inconsistente en cualquier teoría de conjuntos: con supuestos teóricos de conjuntos moderados, se puede demostrar que cada elemento de un ordinal de von Neumann es un ordinal de von Neumann y que los ordinales de von Neumann están estrictamente bien ordenados por pertenencia. De ello se deduce que la clase de ordinales de von Neumann sería un ordinal de von Neumann si fuera un conjunto; pero entonces sería un elemento de sí mismo, lo cual contradice el hecho de que la pertenencia es un orden estricto de los ordinales de von Neumann.

La existencia de tipos de orden para todos los buenos ordenamientos no es un teorema de la teoría de conjuntos de Zermelo : requiere el axioma de reemplazo . Incluso el truco de Scott no puede utilizarse en la teoría de conjuntos de Zermelo sin una suposición adicional (como la suposición de que todo conjunto pertenece a un rango que es un conjunto, lo cual no fortalece esencialmente la teoría de conjuntos de Zermelo, pero no es un teorema de dicha teoría).

En NFU, la colección de todos los ordinales es un conjunto por comprensión estratificada. La paradoja de Burali-Forti se elude de una manera inesperada. Hay un orden natural en los ordinales definidos por${\displaystyle \alpha \leq \beta }$si y solo si alguno (y por lo tanto cualquiera)${\displaystyle W_{1}\in \alpha }$es similar a un segmento inicial de algún (y por lo tanto de cualquier)${\displaystyle W_{2}\in \beta }$. Además, se puede demostrar que este orden natural es un buen ordenamiento de los ordinales y, por lo tanto, debe tener un tipo de orden.${\displaystyle \Omega }$. Parecería que el tipo de orden de los ordinales es menor que ${\displaystyle \Omega }$con el orden natural sería${\displaystyle \Omega }$, contradiciendo el hecho de que${\displaystyle \Omega }$es el tipo de orden de todo el orden natural en los ordinales (y por lo tanto no de ninguno de sus segmentos iniciales propios). Pero esto se basa en la intuición de uno (correcta en ZFC) de que el tipo de orden del orden natural en los ordinales menores que${\displaystyle \alpha }$es${\displaystyle \alpha }$para cualquier ordinal${\displaystyle \alpha }$Esta afirmación no está estratificada, porque el tipo del segundo${\displaystyle \alpha }$es cuatro más alto que el tipo del primero (dos más alto si se utiliza un par de niveles de tipo). La afirmación que es verdadera y demostrable en NFU es que el tipo de orden del orden natural en los ordinales menores que${\displaystyle \alpha }$es${\displaystyle T^{4}(\alpha )}$para cualquier ordinal${\displaystyle \alpha }$, dónde${\displaystyle T(\alpha )}$es el tipo de pedido de${\displaystyle W^{\iota }=\{(\{x\},\{y\})\mid xWy\}}$para cualquier${\displaystyle W\in \alpha }$(es fácil demostrar que esto no depende de la elección de W; observe que T aumenta el tipo en uno). Por lo tanto, el tipo de orden de los ordinales menores que${\displaystyle \Omega }$con el orden natural es${\displaystyle T^{4}(\Omega )}$, y${\displaystyle T^{4}(\Omega )<\Omega }$. Todos los usos de${\displaystyle T^{4}}$aquí se puede reemplazar con${\displaystyle T^{2}}$si se utiliza un par a nivel de tipo.

Esto demuestra que la operación T no es trivial, lo cual tiene varias consecuencias. De ello se deduce inmediatamente que el mapa unitario${\displaystyle x\mapsto \{x\}}$no es un conjunto, ya que de lo contrario las restricciones de este mapa establecerían la similitud de W y${\displaystyle W^{\iota }}$para cualquier W bien ordenado , T es (externamente) biyectivo y preserva el orden. Debido a esto, el hecho${\displaystyle T^{4}(\Omega )<\Omega }$establece que${\displaystyle \Omega >T(\Omega )>T^{2}(\Omega )\ldots }$es una "secuencia descendente" en los ordinales que no puede ser un conjunto.

Los ordinales fijados por T se denominan ordinales cantorianos , y los ordinales que dominan únicamente a otros ordinales cantorianos (que se demuestra fácilmente que son cantorianos) se denominan fuertemente cantorianos . No puede existir un conjunto de ordinales cantorianos ni un conjunto de ordinales fuertemente cantorianos.

Los números cardinales se definen en NFU de una manera que generaliza la definición de número natural: para cualquier conjunto A ,${\displaystyle |A|\,{\overset {\mathrm {def} }{=}}\left\{B\mid B\sim A\right\}}$.

En ZFC , estas clases de equivalencia son demasiado grandes como de costumbre. Se podría usar el truco de Scott (y de hecho se usa en ZF ),${\displaystyle |A|}$se define generalmente como el tipo de orden más pequeño (en este caso, un ordinal de von Neumann) de un buen ordenamiento de A (que todo conjunto puede ser bien ordenado se deduce del Axioma de Elección de la forma habitual en ambas teorías).

Se observa que el orden natural en los números cardinales es un buen ordenamiento: se ha demostrado anteriormente que es reflexivo, antisimétrico (en los cardinales abstractos, que ahora están disponibles) y transitivo. Que sea un orden lineal se deduce del Axioma de Elección: si se ordenan dos conjuntos de manera uniforme, un segmento inicial de uno de ellos será isomorfo al otro, por lo que la cardinalidad de un conjunto será menor que la del otro. De manera similar, se deduce que es un buen ordenamiento del Axioma de Elección.

Con cada cardinal infinito, se asocian muchos tipos de orden por las razones habituales (en la teoría de conjuntos).

El teorema de Cantor muestra (en ambas teorías) que existen distinciones no triviales entre números cardinales infinitos. En ZFC , se demuestra que${\displaystyle |A|<|P(A)|.}$En NFU , la forma usual del teorema de Cantor es falsa (consideremos el caso A=V), pero el teorema de Cantor es una proposición mal tipificada. La forma correcta del teorema en NFU es${\displaystyle |P_{1}(A)|<|P(A)|}$, dónde${\displaystyle P_{1}(A)}$es el conjunto de subconjuntos de un elemento de A.${\displaystyle |P_{1}(V)|<|P(V)|}$muestra que hay "menos" singletons que conjuntos (la biyección obvia)${\displaystyle x\mapsto \{x\}}$de${\displaystyle P_{1}(V)}$Ya se ha visto que V no es un conjunto). En realidad, se puede demostrar en NFU + Choice que${\displaystyle |P_{1}(V)|<|P(V)|\ll |V|}$(dónde${\displaystyle \ll }$señala la existencia de muchos cardinales intermedios; ¡hay muchísimos urelementos!). Defina una operación T de elevación de tipo en cardinales análoga a la operación T en ordinales:${\displaystyle T(|A|)=|P_{1}(A)|}$; este es un endomorfismo externo de los cardinales, al igual que la operación T sobre los ordinales es un endomorfismo externo de los ordinales.

Se dice que un conjunto A es cantoriano por si acaso.${\displaystyle |A|=|P_{1}(A)|=T(|A|)}$; el cardenal${\displaystyle |A|}$También se dice que es un cardinal cantoriano. Se dice que un conjunto A es fuertemente cantoriano (y su cardinal también es fuertemente cantoriano) por si acaso la restricción del mapa unitario a A (${\displaystyle (x\mapsto \{x\})\lceil A}$) es un conjunto. Los buenos órdenes de conjuntos fuertemente cantorianos son siempre ordinales fuertemente cantorianos; esto no siempre es cierto para los buenos órdenes de conjuntos cantorianos (aunque el mejor orden más corto de un conjunto cantoriano será cantoriano). Un conjunto cantoriano es un conjunto que satisface la forma usual del teorema de Cantor.

En ambas teorías, las operaciones de la aritmética cardinal se definen de una manera motivada por la teoría de conjuntos.${\displaystyle |A|+|B|=\{C\cup D\mid C\sim A\wedge D\sim B\wedge C\cap D=\emptyset \}}$Uno quisiera definir${\displaystyle |A|\cdot |B|}$como${\displaystyle |A\times B|}$y esto se hace en ZFC , pero hay una obstrucción en NFU al usar el par de Kuratowski: se define${\displaystyle |A|\cdot |B|}$como${\displaystyle T^{-2}(|A\times B|)}$Debido al desplazamiento de tipo de 2 entre el par y sus proyecciones, lo que implica un desplazamiento de tipo de dos entre un producto cartesiano y sus factores. Es sencillo demostrar que el producto siempre existe (pero requiere atención porque el inverso de T no es total).

Definir la operación exponencial sobre cardinales requiere T de una manera esencial: si${\displaystyle B^{A}}$se definió como la colección de funciones de A a B , esto es tres tipos más alto que A o B , por lo que es razonable definir${\displaystyle |B|^{|A|}}$como${\displaystyle T^{-3}(|B^{A}|)}$para que sea del mismo tipo que A o B (${\displaystyle T^{-1}}$reemplaza${\displaystyle T^{-3}}$con pares de nivel de tipo). Un efecto de esto es que la operación exponencial es parcial: por ejemplo,${\displaystyle 2^{|V|}}$no está definido. En ZFC se define${\displaystyle |B|^{|A|}}$como${\displaystyle |B^{A}|}$Sin dificultad.

La operación exponencial es total y se comporta exactamente como se espera en cardinales cantorianos, ya que T fija dichos cardinales y es fácil demostrar que un espacio de funciones entre conjuntos cantorianos es cantoriano (al igual que los conjuntos potencia, los productos cartesianos y otros constructores de tipos habituales). Esto refuerza aún más la idea de que las cardinalidades "estándar" en NFU son las cardinalidades cantorianas (de hecho, las fuertemente cantorianas), del mismo modo que los ordinales "estándar" parecen ser los ordinales fuertemente cantorianos.

Ahora se pueden demostrar los teoremas habituales de la aritmética cardinal con el axioma de elección, incluyendo:${\displaystyle \kappa \cdot \kappa =\kappa }$. Del caso${\displaystyle |V|\cdot |V|=|V|}$Se puede derivar la existencia de un par ordenado a nivel de tipo:${\displaystyle |V|\cdot |V|=T^{-2}(|V\times V|)}$es igual a${\displaystyle |V|}$por si acaso${\displaystyle |V\times V|=T^{2}(|V|)=|P_{1}^{2}(V)|}$lo cual se evidenciaría mediante una correspondencia uno a uno entre pares de Kuratowski.${\displaystyle (a,b)}$y singletons dobles${\displaystyle \{\{c\}\}}$: redefinir${\displaystyle (a,b)}$como la c tal que${\displaystyle \{\{c\}\}}$está asociado con Kuratowski${\displaystyle (a,b)}$: esta es una noción de par ordenado a nivel de tipo.

Así pues, existen dos implementaciones diferentes de los números naturales en NFU (aunque son las mismas en ZFC ): ordinales finitos y cardinales finitos. Cada uno de ellos admite una operación T en NFU (básicamente la misma operación). Es fácil demostrar que${\displaystyle T(n)}$es un número natural si n es un número natural en NFU + Infinito + Elección (y así sucesivamente)${\displaystyle |N|}$y el primer ordinal infinito${\displaystyle \omega }$son cantorianos) pero no es posible probar en esta teoría que${\displaystyle T(n)=n}$Sin embargo, el sentido común indica que esto debería ser cierto, por lo que puede adoptarse como un axioma:

• Axioma de conteo de Rosser : Para cada número natural n ,${\displaystyle T(n)=n}$.

Una consecuencia natural de este axioma (y de hecho de su formulación original) es

• ${\displaystyle |\{1,\ldots ,n\}|=n}$para cada número natural n .

Todo lo que se puede probar en NFU sin contar es${\displaystyle |\{1,\ldots ,n\}|=T^{2}(n)}$.

Una consecuencia de Counting es que N es un conjunto fuertemente cantoriano (de nuevo, esta es una afirmación equivalente).

Representa las fracciones positivas como pares de números naturales positivos (se excluye el 0):${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$está representado por el par${\displaystyle (p,q)}$. Para hacer${\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {r}{s}}\leftrightarrow ps=qr}$, introduce la relación${\displaystyle \sim }$definido por${\displaystyle (p,q)\sim (r,s)\leftrightarrow ps=qr}$Es demostrable que se trata de una relación de equivalencia: definimos los números racionales positivos como clases de equivalencia de pares de números naturales positivos bajo esta relación. Las operaciones aritméticas con números racionales positivos y la relación de orden en los racionales positivos se definen igual que en la escuela primaria y se demuestra (con cierto esfuerzo) que poseen las propiedades esperadas.

Representamos las magnitudes (números reales positivos) como segmentos iniciales propios no vacíos de los racionales positivos sin elemento máximo. Las operaciones de suma y multiplicación sobre las magnitudes se implementan mediante la suma elemento a elemento de los elementos racionales positivos de las magnitudes. El orden se implementa como inclusión de conjuntos.

Representar los números reales como diferencias${\displaystyle m-n}$de magnitudes: formalmente hablando, un número real es una clase de equivalencia de pares${\displaystyle (m,n)}$de magnitudes bajo la relación de equivalencia${\displaystyle \sim }$definido por${\displaystyle (m,n)\sim (r,s)\leftrightarrow m+s=n+r}$Las operaciones de suma y multiplicación con números reales se definen tal como cabría esperar de las reglas algebraicas para sumar y multiplicar diferencias. El tratamiento del orden también es el mismo que en el álgebra elemental.

Este es un breve resumen de las construcciones. Cabe destacar que las construcciones son idénticas en ZFC y en NFU , salvo por la diferencia en la construcción de los números naturales: dado que todas las variables están restringidas a conjuntos fuertemente cantorianos, no es necesario preocuparse por las restricciones de estratificación. Sin el Axioma de Conteo, podría ser necesario introducir algunas aplicaciones de T en un análisis completo de estas construcciones.

En esta clase de construcciones, parece que ZFC tiene una ventaja sobre NFU : aunque las construcciones son claramente factibles en NFU , son más complicadas que en ZFC por razones relacionadas con la estratificación.

A lo largo de esta sección, suponga un par ordenado a nivel de tipo. Defina${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$como${\displaystyle (x_{1},(x_{2},\ldots ,x_{n}))}$La definición de la n -tupla general mediante el par de Kuratowski es más compleja, ya que es necesario mantener el mismo tipo para todas las proyecciones, y el desplazamiento de tipo entre la n -tupla y sus proyecciones aumenta a medida que n aumenta. En este caso, la n -tupla tiene el mismo tipo que cada una de sus proyecciones.

Los productos cartesianos generales se definen de forma similar:${\displaystyle A_{1}\times A_{2}\times \ldots \times A_{n}=A_{1}\times (A_{2}\times \ldots \times A_{n})}$

Las definiciones son las mismas en ZFC, pero sin preocuparse por la estratificación (la agrupación que se presenta aquí es opuesta a la que se usa con más frecuencia, pero esto se corrige fácilmente).

Ahora consideremos el producto cartesiano infinito.${\displaystyle \Pi _{i\in I}A_{i}}$En ZFC, esto se define como el conjunto de todas las funciones f con dominio I tales que${\displaystyle f(i)\in A_{i}}$(donde A se entiende implícitamente como una función que toma cada i a${\displaystyle A_{i}}$).

En NFU, esto requiere atención al tipo. Dado un conjunto I y una función con valores de conjunto A cuyo valor en${\displaystyle \{i\}}$en${\displaystyle P_{1}(I)}$está escrito${\displaystyle A_{i}}$, Definir${\displaystyle \Pi _{i\in I}A_{i}}$como el conjunto de todas las funciones f con dominio I tales que${\displaystyle f(i)\in A_{i}}$: observe que${\displaystyle f(i)\in A_{i}=A(\{i\})}$está estratificado debido a nuestra convención de que A es una función con valores en los elementos únicos de los índices. Tenga en cuenta que las familias de conjuntos más grandes (que no pueden ser indexadas por conjuntos de elementos únicos) no tendrán productos cartesianos bajo esta definición. Tenga en cuenta además que los conjuntos${\displaystyle A_{i}}$son del mismo tipo que el conjunto de índices I (ya que son un tipo superior a sus elementos); el producto, como un conjunto de funciones con dominio I (por lo tanto, del mismo tipo que I ) es un tipo superior (suponiendo un par ordenado a nivel de tipo).

Ahora consideremos el producto.${\displaystyle \Pi _{i\in I}|A_{i}|}$de los cardinales de estos conjuntos. La cardinalidad |${\displaystyle \Pi _{i\in I}A_{i}}$| es un tipo superior a los cardinales${\displaystyle |A_{i}|}$, por lo tanto, la definición correcta del producto infinito de cardinales es${\displaystyle T^{-1}(|\Pi _{i\in I}A_{i}|)}$(dado que el inverso de T no es total, es posible que esto no exista).

Repita esto para uniones disjuntas de familias de conjuntos y sumas de familias de cardinales. Nuevamente, sea A una función multivaluada con dominio${\displaystyle P_{1}(I)}$: escribir${\displaystyle A_{i}}$para${\displaystyle A(\{i\})}$La unión disjunta${\displaystyle \Sigma _{i\in I}A_{i}}$es el conjunto${\displaystyle \{(i,a)\mid a\in A_{i}\}}$Este conjunto es del mismo tipo que los conjuntos${\displaystyle A_{i}}$.

La definición correcta de la suma${\displaystyle \Sigma _{i\in I}|A_{i}|}$es así${\displaystyle |\Sigma _{i\in I}A_{i}|}$, ya que no hay desplazamiento de tipo.

Es posible extender estas definiciones para manejar conjuntos de índices que no sean conjuntos de elementos únicos, pero esto introduce un nivel de tipo adicional y no es necesario para la mayoría de los propósitos.

En ZFC, defina la unión disjunta${\displaystyle \Sigma _{i\in I}A_{i}}$como${\displaystyle \{(i,a)\mid a\in A_{i}\}}$, dónde${\displaystyle A_{i}}$abreviaturas${\displaystyle A(i)}$.

Los métodos de permutación pueden utilizarse para demostrar la consistencia relativa con NFU de la afirmación de que para cada conjunto fuertemente cantoriano A existe un conjunto I del mismo tamaño cuyos elementos son auto-singulares:${\displaystyle i=\{i\}}$para cada i en I.

En ZFC , defina la jerarquía acumulativa como la secuencia de conjuntos indexados ordinalmente que satisfacen las siguientes condiciones:${\displaystyle V_{0}=\emptyset }$;${\displaystyle V_{\alpha +1}=P(V_{\alpha })}$;${\displaystyle V_{\lambda }=\bigcup \{V_{\beta }\mid \beta <\lambda \}}$para ordinales límite${\displaystyle \lambda }$. Este es un ejemplo de una construcción por recursión transfinita . Se dice que el rango de un conjunto A es${\displaystyle \alpha }$si y solo si${\displaystyle A\in V_{\alpha +1}-V_{\alpha }}$La existencia de los rangos como conjuntos depende del axioma de reemplazo en cada paso límite (la jerarquía no se puede construir en la teoría de conjuntos de Zermelo ); por el axioma de fundación, cada conjunto pertenece a algún rango.

El cardenal${\displaystyle |P(V_{\omega +\alpha })|}$se llama${\displaystyle \beth _{\alpha }}$.

Esta construcción no se puede llevar a cabo en NFU porque la operación de conjunto de potencia no es una función de conjunto en NFU (${\displaystyle P(A)}$es un tipo superior a A a efectos de estratificación).

La secuencia de los cardenales${\displaystyle \beth _{\alpha }}$puede implementarse en NFU. Recuerde que${\displaystyle 2^{|A|}}$se define como${\displaystyle T^{-1}(|\{0,1\}^{A}|)}$, dónde${\displaystyle \{0,1\}}$es un conjunto conveniente de talla 2, y${\displaystyle |\{0,1\}^{A}|=|P(A)|}$. Dejar${\displaystyle \beth }$sea ​​el conjunto más pequeño de cardinales que contiene${\displaystyle |N|}$(la cardinalidad del conjunto de los números naturales), contiene la cardinalidad${\displaystyle 2^{|A|}}$siempre que contenga${\displaystyle |A|}$y que es cerrado bajo supremas de conjuntos de cardinales.

Una convención para la indexación ordinal de cualquier ordenamiento adecuado.${\displaystyle W_{\alpha }}$se define como el elemento x del campo de${\displaystyle W}$de tal manera que el tipo de orden de la restricción de${\displaystyle W}$a${\displaystyle \{y\mid yWx\}}$es${\displaystyle \alpha }$; luego definir${\displaystyle \beth _{\alpha }}$como el elemento con índice${\displaystyle \alpha }$en el orden natural sobre los elementos de${\displaystyle \beth }$El cardenal${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$es el elemento con índice${\displaystyle \alpha }$en el orden natural sobre todos los cardinales infinitos (que es un buen ordenamiento, véase más arriba). Nótese que${\displaystyle \aleph _{0}=|N|}$De esta definición se deduce inmediatamente. En todas estas construcciones, observe que el tipo del índice${\displaystyle \alpha }$es dos más alto (con par ordenado de nivel de tipo) que el tipo de${\displaystyle W_{\alpha }}$.

Cada conjunto A de ZFC tiene un cierre transitivo.${\displaystyle TC(A)}$(la intersección de todos los conjuntos transitivos que contiene A ). Por el axioma de fundación, la restricción de la relación de pertenencia al cierre transitivo de A es una relación bien fundada . La relación${\displaystyle \in \lceil TC(A)}$está vacío o tiene a A como su elemento superior, por lo que esta relación es una imagen de conjunto . Se puede demostrar en ZFC que toda imagen de conjunto es isomorfa a alguna${\displaystyle \in \lceil TC(A)}$.

Esto sugiere que (un segmento inicial de) la jerarquía acumulativa puede estudiarse considerando las clases de isomorfismo de las imágenes de conjuntos. Estas clases de isomorfismo son conjuntos y forman un conjunto en NFU . Existe una relación de conjunto natural análoga a la pertenencia a clases de isomorfismo de imágenes de conjuntos: si${\displaystyle x}$es una imagen de conjunto, escribe${\displaystyle [x]}$para su clase de isomorfismo y definir${\displaystyle [x]E[y]}$como sosteniendo si${\displaystyle [x]}$es la clase de isomorfismo de la restricción de y a la clausura descendente de uno de los elementos de la preimagen bajo y del elemento superior de y . La relación E es una relación de conjuntos, y es sencillo demostrar que está bien fundada y es extensional. Si la definición de E es confusa, se puede deducir de la observación de que está inducida precisamente por la relación que se cumple entre la imagen de conjuntos asociada con A y la imagen de conjuntos asociada con B cuando${\displaystyle A\in B}$en la teoría de conjuntos habitual.

Existe una operación T sobre clases de isomorfismo de imágenes de conjuntos análoga a la operación T sobre ordinales: si x es una imagen de conjuntos, también lo es.${\displaystyle x^{\iota }=\{(\{a\},\{b\})\mid (a,b)\in x\}}$. Definir${\displaystyle T([x])}$como${\displaystyle [x^{\iota }]}$Es fácil ver que${\displaystyle [x]E[y]\leftrightarrow T([x])=T([y])}$.

Un axioma de extensionalidad para esta teoría de conjuntos simulada se deduce de la extensionalidad de E. De su buena fundamentación se deduce un axioma de fundamento. Queda pendiente la cuestión de qué axioma de comprensión puede tener E. Consideremos cualquier colección de imágenes de conjuntos.${\displaystyle \{x^{\iota }\mid x\in S\}}$(colección de imágenes de conjuntos cuyos campos están formados enteramente por elementos únicos). Dado que cada${\displaystyle x^{\iota }}$es un tipo superior a x (usando un par ordenado a nivel de tipo), reemplazando cada elemento${\displaystyle \{a\}}$del campo de cada uno${\displaystyle x^{\iota }}$en la colección con${\displaystyle (x,\{a\})}$da como resultado una colección de imágenes de conjuntos isomorfas a la colección original pero con sus campos disjuntos. La unión de estas imágenes de conjuntos con un nuevo elemento superior produce una imagen de conjuntos cuyo tipo de isomorfismo tendrá como preimágenes bajo E exactamente los elementos de la colección original. Es decir, para cualquier colección de tipos de isomorfismo${\displaystyle [x^{\iota }]=T([x])}$, existe un tipo de isomorfismo${\displaystyle [y]}$cuya preimagen bajo E es exactamente esta colección.

En particular, habrá un tipo de isomorfismo [v] cuya preimagen bajo E es la colección de todos los T [ x ] (incluido T [ v ]). Dado que T [ v ] E v y E está bien fundado,${\displaystyle T[v]\neq v}$Esto se asemeja a la resolución de la paradoja de Burali-Forti que se analizó anteriormente y en el artículo de New Foundations , y de hecho es la resolución local de la paradoja de Mirimanoff del conjunto de todos los conjuntos bien fundados.

Existen rangos de clases de isomorfismo de imágenes de conjuntos, al igual que existen rangos de conjuntos en la teoría de conjuntos usual. Para cualquier colección de imágenes de conjuntos A , definimos S ( A ) como el conjunto de todas las clases de isomorfismo de imágenes de conjuntos cuya preimagen bajo E es un subconjunto de A; llamamos a A un conjunto "completo" si todo subconjunto de A es una preimagen bajo E. La colección de "rangos" es la colección más pequeña que contiene el conjunto vacío y es cerrada bajo la operación S (que es una especie de construcción de conjunto potencia) y bajo las uniones de sus subcolecciones. Es sencillo demostrar (de forma similar a la teoría de conjuntos usual) que los rangos están bien ordenados por inclusión, y por lo tanto los rangos tienen un índice en este buen orden: nos referimos al rango con índice${\displaystyle \alpha }$como${\displaystyle R_{\alpha }}$Es demostrable que${\displaystyle |R_{\alpha }|=\beth _{\alpha }}$para rangos completos${\displaystyle R_{\alpha }}$. La unión de los rangos completos (que será el primer rango incompleto) con la relación E se parece a un segmento inicial del universo de la teoría de conjuntos al estilo de Zermelo (no necesariamente como el universo completo de ZFC porque puede que no sea lo suficientemente grande). Es demostrable que si${\displaystyle R_{\alpha }}$es el primer rango incompleto, entonces${\displaystyle R_{T(\alpha )}}$es un rango completo y por lo tanto${\displaystyle T(\alpha )<\alpha }$. Por lo tanto, existe un "rango de la jerarquía acumulativa" con un "automorfismo externo" T que mueve el rango hacia abajo, exactamente la condición en un modelo no estándar de un rango en la jerarquía acumulativa bajo la cual se construye un modelo de NFU en el artículo de New Foundations . Hay detalles técnicos que verificar, pero hay una interpretación no solo de un fragmento de ZFC sino de NFU mismo en esta estructura, con${\displaystyle [x]\in _{NFU}[y]}$definido como${\displaystyle T([x])E[y]\wedge [y]\in R_{T(\alpha )+1}}$: esta "relación"${\displaystyle E_{NFU}}$no es una relación de conjunto pero tiene el mismo desplazamiento de tipo entre sus argumentos que la relación de pertenencia habitual.${\displaystyle \in }$.

Por lo tanto, dentro de NFU existe una construcción natural de la jerarquía acumulativa de conjuntos que internaliza la construcción natural de un modelo de NFU en la teoría de conjuntos al estilo de Zermelo.

Bajo el Axioma de Conjuntos Cantorianos descrito en el artículo de New Foundations , la parte fuertemente cantoriana del conjunto de clases de isomorfismo de imágenes de conjuntos con la relación E como pertenencia se convierte en un modelo (de clase propia) de ZFC (en el que hay n cardinales de Mahlo para cada n ; esta extensión de NFU es estrictamente más fuerte que ZFC). Este es un modelo de clase propia porque las clases de isomorfismo fuertemente cantorianas no forman un conjunto. 

Los métodos de permutación se pueden utilizar para crear, a partir de cualquier modelo de NFU, un modelo en el que cada tipo de isomorfismo fuertemente cantoriano de imágenes de conjuntos se realiza realmente como la restricción de la verdadera relación de pertenencia al cierre transitivo de un conjunto.

• Teoría axiomática de conjuntos

• Keith Devlin , 1994. El placer de los conjuntos , 2ª ed. Springer-Verlag.
• Holmes, Randall, 1998. Teoría elemental de conjuntos con un conjunto universal . Academia-Bruylant. La editorial ha autorizado amablemente la difusión de esta introducción a la NFU a través de la web. Todos los derechos reservados.
• Potter, Michael, 2004. Teoría de conjuntos y su filosofía , 2ª ed. Oxford Univ. Press.
• Suppes, Patrick, 1972. Teoría axiomática de conjuntos . Dover.
• Tourlakis, George, 2003. Lecciones de lógica y teoría de conjuntos, vol. 2. Cambridge Univ. Press.

• Metamath: Un sitio web dedicado a la derivación continua de las matemáticas a partir de los axiomas de ZFC y la lógica de primer orden .
• Enciclopedia de Filosofía de Stanford :
  • Los nuevos fundamentos de Quine —por Thomas Forster.
  • Teorías axiomáticas alternativas de conjuntos —por Randall Holmes.
• Randall Holmes: Página principal de New Foundations