Grupo (matemáticas)

Uno de los grupos más conocidos es el conjunto de los números enteros.$${\displaystyle \mathbb {Z} =\{\ldots ,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\ldots \}}$$ junto con la suma . ^{[ 3 ]} Para cualesquiera dos números enteros${\displaystyle a}$y​${\displaystyle b}$⁠ , la suma${\displaystyle a+b}$también es un número entero; esta propiedad de cierre dice que${\displaystyle +}$es una operación binaria en${\displaystyle \mathbb {Z} }$Las siguientes propiedades de la suma de enteros sirven como modelo para los axiomas de grupo en la definición que aparece a continuación. ^{[ 4 ]}

• Para todos los números enteros${\displaystyle a}$⁠ ,${\displaystyle b}$y​ ${\displaystyle c}$⁠ , uno tiene ⁠${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$Expresado en palabras , añadiendo${\displaystyle a}$a${\displaystyle b}$primero, y luego agregar el resultado a${\displaystyle c}$da el mismo resultado final que añadir${\displaystyle a}$a la suma de${\displaystyle b}$y​ ${\displaystyle c}$Esta propiedad se conoce como asociatividad . ^{[ 4 ]}
• Si${\displaystyle a}$es cualquier número entero, entonces${\displaystyle 0+a=a}$y​${\displaystyle a+0=a}$El cero se denomina elemento neutro de la suma porque al sumarlo a cualquier número entero se obtiene el mismo número entero. ^{[ 4 ]}
• Para cada número entero${\displaystyle a}$⁠ , hay un número entero${\displaystyle b}$de tal manera que${\displaystyle a+b=0}$y​${\displaystyle b+a=0}$⁠ . El número entero${\displaystyle b}$se denomina elemento inverso del entero${\displaystyle a}$y se denota ⁠ ${\displaystyle -a}$⁠ . ^{[ 4 ]}

Los números enteros, junto con la operación${\displaystyle +}$⁠ , forman un objeto matemático perteneciente a una clase amplia que comparte aspectos estructurales similares. Para comprender adecuadamente estas estructuras como un colectivo, se desarrolla la siguiente definición.

Un grupo es un conjunto${\displaystyle G}$junto con una operación binaria en${\displaystyle G}$⁠ , aquí denotado " ⁠${\displaystyle \cdot }$" , que combina cualesquiera dos elementos${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$de${\displaystyle G}$para formar un elemento de${\displaystyle G}$⁠ , denotado ⁠${\displaystyle a\cdot b}$⁠ , de modo que se cumplanlos siguientes tres requisitos, conocidos como axiomas de grupo : ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ a ]}

Asociatividad

Para todos${\displaystyle a}$,​​${\displaystyle b}$,​​${\displaystyle c}$en​​${\displaystyle G}$⁠ , uno tiene ⁠${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$.​

Elemento de identidad

Existe un elemento${\displaystyle e}$en${\displaystyle G}$de tal manera que, para cada${\displaystyle a}$en​${\displaystyle G}$⁠ , uno tiene ⁠${\displaystyle e\cdot a=a}$y​​${\displaystyle a\cdot e=a}$.​

tal elemento${\displaystyle e}$es único. Se le llama elemento de identidad (o a veces elemento neutro ) del grupo.

Elemento inverso

Para cada${\displaystyle a}$en​${\displaystyle G}$⁠ , existe un elemento${\displaystyle b}$en${\displaystyle G}$de tal manera que${\displaystyle a\cdot b=e}$y​${\displaystyle b\cdot a=e}$, donde${\displaystyle e}$es el elemento identidad.

Para cada uno${\displaystyle a}$⁠ , el elemento${\displaystyle b}$es único; se le llama el inverso de${\displaystyle a}$y se suele denotar ⁠${\displaystyle a^{-1}}$.​

Nota: La unicidad de la identidad y la unicidad de los elementos inversos no forman parte de los axiomas; son consecuencias de los tres axiomas.

Formalmente, un grupo es un par ordenado formado por un conjunto y una operación binaria sobre este conjunto que satisface los axiomas del grupo . El conjunto se denomina conjunto subyacente del grupo, y la operación se denomina operación de grupo o ley de grupo .

Un grupo y su conjunto subyacente son, por lo tanto, dos objetos matemáticos distintos . Para evitar notaciones engorrosas, es común abusar de la notación utilizando el mismo símbolo para denotar ambos. Esto también refleja una forma informal de pensar: que el grupo es lo mismo que el conjunto, salvo que se ha enriquecido con una estructura adicional proporcionada por la operación.

Por ejemplo, consideremos el conjunto de los números reales .${\displaystyle \mathbb {R} }$⁠ , que tiene las operaciones de suma${\displaystyle a+b}$y multiplicación​${\displaystyle ab}$⁠ . Formalmente,${\displaystyle \mathbb {R} }$es un conjunto,${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$es un grupo, y${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\cdot )}$es un campo . Pero es común escribir${\displaystyle \mathbb {R} }$para designar cualquiera de estos tres objetos.

El grupo aditivo del campo${\displaystyle \mathbb {R} }$es el grupo cuyo conjunto subyacente es${\displaystyle \mathbb {R} }$y cuya operación es la suma. El grupo multiplicativo del campo${\displaystyle \mathbb {R} }$es el grupo${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }}$cuyo conjunto subyacente es el conjunto de números reales distintos de cero${\displaystyle \mathbb {R} \smallsetminus \{0\}}$y cuya operación es la multiplicación.

En términos más generales, se habla de un grupo aditivo cuando la operación de grupo se denota como suma; en este caso, la identidad se denota típicamente como ⁠${\displaystyle 0}$⁠ , y el inverso de un elemento${\displaystyle x}$se denota ⁠${\displaystyle -x}$⁠ . De manera similar, se habla de un grupo multiplicativo cuando la operación de grupo se denota como multiplicación; en este caso, la identidad se denota típicamente ⁠${\displaystyle 1}$⁠ , y el inverso de un elemento${\displaystyle x}$se denota ⁠${\displaystyle x^{-1}}$⁠ . En un grupo multiplicativo, el símbolo de operación se suele omitir por completo, de modo que la operación se denota por yuxtaposición,${\displaystyle ab}$en lugar de${\displaystyle a\cdot b}$.​

La definición de un grupo no requiere que${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$para todos los elementos${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$en​${\displaystyle G}$Si se cumple esta condición adicional, se dice que la operación es conmutativa y el grupo se denomina grupo abeliano . Es convención común que para un grupo abeliano se puede usar la notación aditiva o multiplicativa, pero para un grupo no abeliano solo se usa la notación multiplicativa.

Para grupos cuyos elementos no son números, se suelen utilizar otras notaciones. Para un grupo cuyos elementos son funciones , la operación suele ser la composición de funciones .${\displaystyle f\circ g}$⁠ ; entonces la identidad puede denotarse id. En los casos más específicos de grupos de transformaciones geométricas , grupos de simetría , grupos de permutaciones y grupos de automorfismos , el símbolo${\displaystyle \circ }$A menudo se omite, como en el caso de los grupos multiplicativos. Pueden encontrarse muchas otras variantes de notación.

Los elementos del grupo de simetría del cuadrado ,${\displaystyle \mathrm {D} _ {4}}$Los vértices se identifican por color o número.

${\displaystyle \mathrm {id} }$(manteniéndolo como está)

${\displaystyle r_{1}}$(rotación de 90° en el sentido de las agujas del reloj)

${\displaystyle r_{2}}$(rotación de 180°)

${\displaystyle r_{3}}$(rotación de 270° en el sentido de las agujas del reloj)

${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$(reflexión vertical)

${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$(reflexión horizontal)

${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$(reflexión diagonal)

${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$(reflexión contradiagonal)

Dos figuras en el plano son congruentes si una puede transformarse en la otra mediante una combinación de rotaciones , reflexiones y traslaciones . Cualquier figura es congruente consigo misma. Sin embargo, algunas figuras son congruentes consigo mismas de más de una manera, y estas congruencias adicionales se denominan simetrías . Un cuadrado tiene ocho simetrías. Estas son: ^{[ 8 ]}

• la operación de identidad que deja todo sin cambios, denotada${\displaystyle \operatorname {id} }$;
• rotaciones del cuadrado alrededor de su centro en sentido horario de 90°, 180° y 270°, denotadas por ⁠${\displaystyle r_{1}}$⁠ ,${\displaystyle r_{2}}$y​${\displaystyle r_{3}}$, respectivamente;
• reflexiones sobre la línea media horizontal y vertical ( ⁠${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$y​​${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$⁠ ), o a través de las dos diagonales ( ⁠${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$y​​${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$⁠ ).

Estas simetrías son funciones. Cada una envía un punto del cuadrado al punto correspondiente bajo la simetría. Por ejemplo,${\displaystyle r_{1}}$envía un punto a su rotación de 90° en el sentido de las agujas del reloj alrededor del centro del cuadrado, y${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$envía un punto a su reflexión a través de la línea media vertical del cuadrado. La composición de dos de estas simetrías da otra simetría. Estas simetrías determinan un grupo llamado grupo diedral de grado cuatro, denotado ⁠${\displaystyle \mathrm {D} _ {4}}$El conjunto subyacente del grupo es el conjunto de simetrías mencionado anteriormente, y la operación del grupo es la composición de funciones. Dos simetrías se combinan componiéndolas como funciones, es decir, aplicando la primera al cuadrado y la segunda al resultado de la primera aplicación. El resultado de realizar la primera${\displaystyle a}$y luego${\displaystyle b}$se escribe simbólicamente de derecha a izquierda como${\displaystyle b\circ a}$("aplicar la simetría"${\displaystyle b}$después de realizar la simetría${\displaystyle a}$⁠ "). Esta es la notación habitual para la composición de funciones. ^{[ 9 ]}

Una tabla de Cayley enumera los resultados de todas las composiciones posibles. Por ejemplo, girando 270° en el sentido de las agujas del reloj ( ⁠${\displaystyle r_{3}}$⁠ ) ​​y luego reflejando horizontalmente ( ⁠${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$⁠ ) ​​es lo mismo que realizar una reflexión a lo largo de la diagonal ( ⁠${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$) . Utilizando los símbolos anteriores, resaltados en azul en la tabla de Cayley: $${\displaystyle f_{\mathrm {h} }\circ r_{3}=f_{\mathrm {d} }.}$$

Dadas estas simetrías y la operación descrita, los axiomas del grupo pueden entenderse de la siguiente manera:

• Operación binaria : La composición es una operación binaria. Es decir,${\displaystyle a\circ b}$es una simetría para cualesquiera dos simetrías${\displaystyle a}$y​${\displaystyle b}$⁠ . Por ejemplo,$${\displaystyle r_{3}\circ f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {c} }.}$$Es decir, girar 270° en el sentido de las agujas del reloj después de reflejar horizontalmente equivale a reflejar a lo largo de la contradiagonal ( ⁠${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$⁠ ). De hecho, cualquier otra combinación de dos simetrías sigue dando como resultado una simetría, como se puede comprobar utilizando la tabla de Cayley.
• Asociatividad : El axioma de asociatividad trata de componer más de dos simetrías: Comenzando con tres elementos .${\displaystyle a}$,​​${\displaystyle b}$y​​${\displaystyle c}$de​​${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$⁠ , hay dos maneras posibles de usar estas tres simetrías en este orden para determinar una simetría del cuadrado. Una de estas maneras es componer primero${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$en una sola simetría, y luego componer esa simetría con ⁠${\displaystyle c}$⁠ . La otra forma es componer primero${\displaystyle b}$y​${\displaystyle c}$⁠ , luego componer la simetría resultante con ⁠${\displaystyle a}$⁠ . Estas dos formas siempre deben dar el mismo resultado, es decir,$${\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c).}$$Por ejemplo,${\displaystyle (f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {v} })\circ r_{2}=f_{\mathrm {d} }\circ (f_{\mathrm {v} }\circ r_{2})}$Se puede comprobar utilizando la tabla de Cayley:$${\displaystyle {\begin{aligned}(f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {v} })\circ r_{2}&=r_{3}\circ r_{2}=r_{1}\\f_{\mathrm {d} }\circ (f_{\mathrm {v} }\circ r_{2})&=f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {h} }=r_{1}.\end{aligned}}}$$
• Elemento de identidad : El elemento de identidad es${\displaystyle \mathrm {id} }$⁠ , ya que no cambia ninguna simetría${\displaystyle a}$cuando se compone con él ya sea a la izquierda o a la derecha.
• Elemento inverso : Cada simetría tiene un inverso :${\displaystyle \mathrm {id} }$⁠ , las reflexiones ⁠${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$,​​${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$,​​${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$,​​${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$y la rotación de 180°${\displaystyle r_{2}}$son su propio inverso, porque al realizarlas dos veces el cuadrado vuelve a su orientación original. Las rotaciones${\displaystyle r_{3}}$y${\displaystyle r_{1}}$son inversas entre sí, porque girar 90° y luego girar 270° (o viceversa) produce una rotación de 360° que deja el cuadrado sin cambios. Esto se puede comprobar fácilmente en la tabla.

A diferencia del grupo de enteros anterior, donde el orden de la operación es irrelevante, en ⁠ sí importa.${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$⁠ , como, por ejemplo,${\displaystyle f_{\mathrm {h} }\circ r_{1}=f_{\mathrm {c} }}$pero​${\displaystyle r_{1}\circ f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {d} }}$⁠ . En otras palabras,${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$no es abeliano.

Los axiomas de grupo implican que el elemento identidad es único; es decir, existe solo un elemento identidad: cualesquiera dos elementos identidad${\displaystyle e}$y${\displaystyle f}$de un grupo son iguales, porque los axiomas del grupo implican${\displaystyle e=e\cdot f=f}$⁠ . Por lo tanto, es habitual hablar del elemento de identidad del grupo. ^{[ 29 ]}

Los axiomas de grupo también implican que el inverso de cada elemento es único. Sea un elemento de grupo.${\displaystyle a}$tener ambos${\displaystyle b}$y${\displaystyle c}$como inversas. Entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=b\cdot e&&{\text{(}}e{\text{ is the identity element)}}\\&=b\cdot (a\cdot c)&&{\text{(}}c{\text{ and }}a{\text{ are inverses of each other)}}\\&=(b\cdot a)\cdot c&&{\text{(associativity)}}\\&=e\cdot c&&{\text{(}}b{\text{ is an inverse of }}a{\text{)}}\\&=c&&{\text{(}}e{\text{ is the identity element and }}b=c{\text{)}}\end{aligned}}}$

Por lo tanto, es costumbre hablar del inverso de un elemento. ^{[ 29 ]}

Elementos dados${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$de un grupo${\displaystyle G}$Existe una solución única.${\displaystyle x}$en${\displaystyle G}$a la ecuación${\displaystyle a\cdot x=b}$, es decir${\displaystyle a^{-1}\cdot b}$. ^{[ c ] [ 30 ]} De ello se deduce que para cada${\displaystyle a}$en${\displaystyle G}$, la función${\displaystyle G\to G}$que mapea cada${\displaystyle x}$a${\displaystyle a\cdot x}$es una biyección ; se llama multiplicación izquierda por${\displaystyle a}$o traducción de izquierda por${\displaystyle a}$.

De manera similar, dado${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$en${\displaystyle G}$la solución única${\displaystyle x}$a${\displaystyle x\cdot a=b}$es${\displaystyle b\cdot a^{-1}}$. Para cada${\displaystyle a}$, la función${\displaystyle G\to G}$que mapea cada${\displaystyle x}$a${\displaystyle x\cdot a}$es una biyección llamada multiplicación derecha por${\displaystyle a}$o traducción correcta por${\displaystyle a}$.

Los axiomas de grupo para la identidad y los inversos pueden "debilitarse" para afirmar únicamente la existencia de una identidad izquierda y sus inversos izquierdos . A partir de estos axiomas unilaterales , se puede demostrar que la identidad izquierda es también una identidad derecha y que un inverso izquierdo es también un inverso derecho para el mismo elemento. Dado que definen exactamente las mismas estructuras que los grupos, en conjunto los axiomas no son más débiles. ^{[ 31 ]}

En particular, asumiendo la asociatividad y la existencia de una identidad izquierda.${\displaystyle e}$(es decir ,${\displaystyle e\cdot f=f}$) y una inversa izquierda${\displaystyle f^{-1}}$para cada elemento${\displaystyle f}$(es decir ,${\displaystyle f^{-1}\cdot f=e}$⁠ ), se deduce que todo inverso izquierdo es también un inverso derecho del mismo elemento como sigue. ^{[ 31 ]} En efecto, se tiene

${\displaystyle {\begin{aligned}f\cdot f^{-1}&=e\cdot (f\cdot f^{-1})&&{\text{(left identity)}}\\&=((f^{-1})^{-1}\cdot f^{-1})\cdot (f\cdot f^{-1})&&{\text{(left inverse)}}\\&=(f^{-1})^{-1}\cdot ((f^{-1}\cdot f)\cdot f^{-1})&&{\text{(associativity)}}\\&=(f^{-1})^{-1}\cdot (e\cdot f^{-1})&&{\text{(left inverse)}}\\&=(f^{-1})^{-1}\cdot f^{-1}&&{\text{(left identity)}}\\&=e&&{\text{(left inverse)}}\end{aligned}}}$

De manera similar, la identidad izquierda es también una identidad derecha: ^{[ 31 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}f\cdot e&=f\cdot (f^{-1}\cdot f)&&{\text{(left inverse)}}\\&=(f\cdot f^{-1})\cdot f&&{\text{(associativity)}}\\&=e\cdot f&&{\text{(right inverse)}}\\&=f&&{\text{(left identity)}}\end{aligned}}}$

Estos resultados no se mantienen si se elimina alguno de estos axiomas (asociatividad, existencia de identidad izquierda y existencia de inversa izquierda). Para una estructura con una definición menos estricta (como un semigrupo ), se puede tener, por ejemplo, que una identidad izquierda no sea necesariamente una identidad derecha.

El mismo resultado se puede obtener simplemente asumiendo la existencia de una identidad derecha y una inversa derecha.

Sin embargo, asumir únicamente la existencia de una identidad izquierda y una inversa derecha (o viceversa) no es suficiente para definir un grupo. Por ejemplo, consideremos el conjunto${\displaystyle G=\{e,f\}}$con el operador${\displaystyle \,\!\cdot }$satisfactorio${\displaystyle e\cdot e=f\cdot e=e}$y​${\displaystyle e\cdot f=f\cdot f=f}$⁠ . Esta estructura sí tiene una identidad izquierda (a saber, ⁠${\displaystyle e}$⁠ ), y cada elemento tiene un inverso derecho (que es${\displaystyle e}$para ambos elementos). Además, esta operación es asociativa (ya que el producto de cualquier número de elementos siempre es igual al elemento situado más a la derecha en ese producto, independientemente del orden en que se apliquen estas operaciones). Sin embargo,${\displaystyle (G,\cdot )}$no es un grupo, ya que carece de una identidad propia.

Los homomorfismos de grupo ^{[ e ]} son ​​funciones que respetan la estructura de grupo; pueden usarse para relacionar dos grupos. Un homomorfismo de un grupo${\displaystyle (G,\cdot )}$a un grupo${\displaystyle (H,*)}$es una función${\displaystyle \varphi :G\to H}$de tal manera que

${\displaystyle \varphi (a\cdot b)=\varphi (a)*\varphi (b)}$para todos los elementos${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$en​${\displaystyle G}$.​

Sería natural exigir también que${\displaystyle \varphi }$respetar las identidades ,${\displaystyle \varphi (1_{G})=1_{H}}$⁠ , y sus inversas,${\displaystyle \varphi (a^{-1})=\varphi (a)^{-1}}$a pesar de${\displaystyle a}$en​${\displaystyle G}$Sin embargo, estos requisitos adicionales no necesitan incluirse en la definición de homomorfismos, ya que están implícitos en el requisito de respetar la operación de grupo. ^{[ 32 ]}

El homomorfismo de identidad de un grupo${\displaystyle G}$es el homomorfismo${\displaystyle \iota _{G}:G\to G}$que mapea cada elemento de${\displaystyle G}$a sí mismo. Un homomorfismo inverso de un homomorfismo.${\displaystyle \varphi :G\to H}$es un homomorfismo${\displaystyle \psi :H\to G}$de tal manera que${\displaystyle \psi \circ \varphi =\iota _{G}}$y​${\displaystyle \varphi \circ \psi =\iota _{H}}$⁠ , es decir, de tal manera que${\displaystyle \psi {\bigl (}\varphi (g){\bigr )}=g}$a pesar de${\displaystyle g}$en${\displaystyle G}$y tal que${\displaystyle \varphi {\bigl (}\psi (h){\bigr )}=h}$a pesar de${\displaystyle h}$en​${\displaystyle H}$Un isomorfismo es un homomorfismo que tiene un homomorfismo inverso; equivalentemente, es un homomorfismo biyectivo . Grupos${\displaystyle G}$y${\displaystyle H}$Se denominan isomorfos si existe un isomorfismo .${\displaystyle \varphi :G\to H}$⁠ . En este caso,${\displaystyle H}$se puede obtener de${\displaystyle G}$simplemente renombrando sus elementos según la función .${\displaystyle \varphi }$⁠ ; entonces cualquier afirmación verdadera para${\displaystyle G}$es cierto para${\displaystyle H}$⁠ , siempre y cuando se cambie el nombre de cualquier elemento específico mencionado en la declaración.

La colección de todos los grupos, junto con los homomorfismos entre ellos, forman una categoría , la categoría de grupos . ^{[ 33 ]}

Un homomorfismo inyectivo${\displaystyle \phi :G'\to G}$factores canónicamente como un isomorfismo seguido de una inclusión,${\displaystyle G'\;{\stackrel {\sim }{\to }}\;H\hookrightarrow G}$para algún subgrupo${\displaystyle H}$de​​${\displaystyle G}$⁠ . Los homomorfismos inyectivos son los monomorfismos en la categoría de grupos.

De manera informal, un subgrupo es un grupo${\displaystyle H}$contenido dentro de uno más grande ,${\displaystyle G}$: tiene un subconjunto de los elementos de${\displaystyle G}$⁠ , con la misma operación. ^{[ 34 ]} Concretamente, esto significa que el elemento identidad de${\displaystyle G}$debe estar contenido en${\displaystyle H}$y siempre que${\displaystyle h_{1}}$y${\displaystyle h_{2}}$ambos están en${\displaystyle H}$⁠ , entonces también lo son${\displaystyle h_{1}\cdot h_{2}}$y​${\displaystyle h_{1}^{-1}}$⁠ , por lo tanto, los elementos de ⁠${\displaystyle H}$⁠ , equipado con el funcionamiento del grupo en${\displaystyle G}$restringido a${\displaystyle H}$⁠ , de hecho forman un grupo. En este caso, el mapa de inclusión${\displaystyle H\to G}$es un homomorfismo.

En el ejemplo de las simetrías de un cuadrado, la identidad y las rotaciones constituyen un subgrupo .${\displaystyle R=\{\mathrm {id} ,r_{1},r_{2},r_{3}\}}$⁠ , resaltado en rojo en la tabla de Cayley del ejemplo: cualesquiera dos rotaciones compuestas siguen siendo una rotación, y una rotación puede deshacerse mediante (es decir, es inversa a) las rotaciones complementarias 270° por 90°, 180° por 180° y 90° por 270°. La prueba del subgrupo proporciona una condición necesaria y suficiente para un subconjunto no vacío ⁠${\displaystyle H}$de un grupo${\displaystyle G}$⁠ ser un subgrupo: basta con comprobar que${\displaystyle g^{-1}\cdot h\in H}$para todos los elementos${\displaystyle g}$y${\displaystyle h}$en​${\displaystyle H}$Conocer los subgrupos de un grupoes importante para comprender el grupo en su conjunto. ^{[ f ]}

Dado cualquier subconjunto${\displaystyle S}$de un grupo${\displaystyle G}$⁠ , el subgrupo generado por${\displaystyle S}$consta de todos los productos de elementos de${\displaystyle S}$y sus inversos. Es el subgrupo más pequeño de${\displaystyle G}$que contiene${\displaystyle S}$⁠ . ^{[ 35 ]} En el ejemplo de simetrías de un cuadrado, el subgrupo generado por${\displaystyle r_{2}}$y${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$consta de estos dos elementos, el elemento identidad ⁠${\displaystyle \mathrm {id} }$, y el elemento${\displaystyle f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {v} }\cdot r_{2}}$⁠ . Nuevamente, este es un subgrupo, porque la combinación de cualesquiera dos de estos cuatro elementos o sus inversos (que, en este caso particular, son estos mismos elementos) produce un elemento de este subgrupo.

En muchas situaciones es deseable considerar dos elementos de un grupo como iguales si difieren en un elemento de un subgrupo dado. Por ejemplo, en el grupo de simetría de un cuadrado, una vez que se realiza cualquier reflexión, las rotaciones por sí solas no pueden devolver el cuadrado a su posición original, por lo que se puede pensar que las posiciones reflejadas del cuadrado son todas equivalentes entre sí, y no equivalentes a las posiciones sin reflejar; las operaciones de rotación son irrelevantes para la cuestión de si se ha realizado una reflexión. Las clases laterales se utilizan para formalizar esta idea: un subgrupo${\displaystyle H}$determina las clases laterales izquierda y derecha, que pueden considerarse como traslaciones de${\displaystyle H}$por un elemento de grupo arbitrario${\displaystyle g}$⁠ . En términos simbólicos, las clases laterales izquierda y derecha de ⁠${\displaystyle H}$⁠ , que contiene un elemento ⁠${\displaystyle g}$⁠ , son

${\displaystyle gH=\{g\cdot h\mid h\in H\}}$y​${\displaystyle Hg=\{h\cdot g\mid h\in H\}}$⁠ , respectivamente. ^{[ 36 ]}

Las clases laterales izquierdas de cualquier subgrupo${\displaystyle H}$formar una partición de${\displaystyle G}$; es decir, la unión de todas las clases laterales izquierdas es igual a${\displaystyle G}$y dos clases laterales izquierdas son iguales o tienen una intersección vacía . ^{[ 37 ]} El primer caso${\displaystyle g_{1}H=g_{2}H}$sucede precisamente cuando${\displaystyle g_{1}^{-1}\cdot g_{2}\in H}$⁠ , es decir, cuando los dos elementos difieren en un elemento de ⁠${\displaystyle H}$Consideraciones similares se aplican a las clases laterales derechas de${\displaystyle H}$⁠ . Las clases laterales izquierdas de${\displaystyle H}$puede o no ser lo mismo que sus clases laterales derechas. Si lo son (es decir, si todos${\displaystyle g}$en${\displaystyle G}$satisfacer​${\displaystyle gH=Hg}$) , entonces${\displaystyle H}$Se dice que es un subgrupo normal .

En​${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$⁠ , el grupo de simetrías de un cuadrado, con su subgrupo${\displaystyle R}$de rotaciones, las clases laterales izquierdas${\displaystyle gR}$son iguales a${\displaystyle R}$, si${\displaystyle g}$es un elemento de${\displaystyle R}$por sí mismo, o de otro modo igual a${\displaystyle U=f_{\mathrm {c} }R=\{f_{\mathrm {c} },f_{\mathrm {d} },f_{\mathrm {v} },f_{\mathrm {h} }\}}$(resaltado en verde en la tabla de Cayley de ⁠${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$) . El subgrupo${\displaystyle R}$es normal, porque${\displaystyle f_{\mathrm {c} }R=U=Rf_{\mathrm {c} }}$y de forma similar para los demás elementos del grupo. (De hecho, en el caso de${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$⁠ , las clases laterales generadas por las reflexiones son todas iguales: ⁠${\displaystyle f_{\mathrm {h} }R=f_{\mathrm {v} }R=f_{\mathrm {d} }R=f_{\mathrm {c} }R}$. )

Supongamos que${\displaystyle N}$es un subgrupo normal de un grupo${\displaystyle G}$y​ $${\displaystyle G/N=\{gN\mid g\in G\}}$$ denota su conjunto de clases laterales. Entonces existe una ley de grupo única en${\displaystyle G/N}$para el cual el mapa${\displaystyle G\to G/N}$enviando cada elemento${\displaystyle g}$a${\displaystyle gN}$es un homomorfismo. Explícitamente, el producto de dos clases laterales${\displaystyle gN}$y${\displaystyle hN}$es​${\displaystyle (gh)N}$⁠ , la coset${\displaystyle eN=N}$sirve como la identidad de${\displaystyle G/N}$⁠ , y el inverso de${\displaystyle gN}$en el grupo cociente es${\displaystyle (gN)^{-1}=\left(g^{-1}\right)N}$⁠ . El grupo ⁠${\displaystyle G/N}$⁠ , se lee como " ⁠${\displaystyle G}$módulo​​${\displaystyle N}$⁠ ", ^{[ 38 ]} se denomina grupo cociente o grupo factorial . El grupo cociente puede caracterizarse alternativamente por una propiedad universal .

Los elementos del grupo cociente${\displaystyle \mathrm {D} _{4}/R}$son${\displaystyle R}$y​${\displaystyle U=f_{\mathrm {v} }R}$La operación de grupo sobre el cociente se muestra en la tabla. Por ejemplo ,${\displaystyle U\cdot U=f_{\mathrm {v} }R\cdot f_{\mathrm {v} }R=(f_{\mathrm {v} }\cdot f_{\mathrm {v} })R=R}$⁠ . Ambos subgrupos${\displaystyle R=\{\mathrm {id} ,r_{1},r_{2},r_{3}\}}$y el cociente${\displaystyle \mathrm {D} _{4}/R}$son abelianos, pero${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$No lo es. A veces, un grupo puede reconstruirse a partir de un subgrupo y un cociente (más algunos datos adicionales), mediante la construcción de producto semidirecto ;${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$es un ejemplo.

El primer teorema de isomorfismo implica que cualquier homomorfismo sobreyectivo${\displaystyle \phi :G\to H}$factores canónicamente como un homomorfismo cociente seguido de un isomorfismo :${\displaystyle G\to G/\ker \phi \;{\stackrel {\sim }{\to }}\;H}$⁠ . Los homomorfismos sobreyectivos son los epimorfismos en la categoría de grupos.

Todo grupo es isomorfo a un cociente de un grupo libre , en muchos sentidos.

Por ejemplo, el grupo diedral${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$se genera mediante la rotación derecha${\displaystyle r_{1}}$y la reflexión${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$en una línea vertical (cada elemento de${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$es un producto finito de copias de estos y sus inversos). Por lo tanto, existe un homomorfismo sobreyectivo .${\displaystyle \phi }$del grupo libre${\displaystyle \langle r,f\rangle }$en dos generadores para${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$envío${\displaystyle r}$a${\displaystyle r_{1}}$y${\displaystyle f}$a​${\displaystyle f_{1}}$⁠ . Elementos en${\displaystyle \ker \phi }$se denominan relaciones ; ejemplos incluyen :${\displaystyle r^{4},f^{2},(r\cdot f)^{2}}$⁠ . De hecho, resulta que${\displaystyle \ker \phi }$es el subgrupo normal más pequeño de${\displaystyle \langle r,f\rangle }$que contiene estos tres elementos; en otras palabras, todas las relaciones son consecuencias de estos tres. El cociente del grupo libre por este subgrupo normal se denota ⁠${\displaystyle \langle r,f\mid r^{4}=f^{2}=(r\cdot f)^{2}=1\rangle }$⁠ . Esto se llama una presentación de${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$por generadores y relaciones, porque el primer teorema de isomorfismo para${\displaystyle \phi }$produce un isomorfismo${\displaystyle \langle r,f\mid r^{4}=f^{2}=(r\cdot f)^{2}=1\rangle \to \mathrm {D} _{4}}$⁠ . ^{[ 39 ]}

Una presentación de un grupo puede utilizarse para construir el grafo de Cayley , una representación gráfica de un grupo discreto . ^{[ 40 ]}

Muchos sistemas numéricos, como los enteros y los racionales , poseen una estructura de grupo inherente. En algunos casos, como en el de los racionales, tanto la suma como la multiplicación dan lugar a estructuras de grupo. Estos sistemas numéricos son precursores de estructuras algebraicas más generales conocidas como anillos y cuerpos . Otros conceptos algebraicos abstractos, como módulos , espacios vectoriales y álgebras, también forman grupos.

Aritmética modular para un módulo${\displaystyle n}$define dos elementos cualesquiera${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$que difieren en un múltiplo de${\displaystyle n}$ser equivalente, denotado por ⁠${\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}}$Cada número entero es equivalente a uno de los números enteros de${\displaystyle 0}$a​${\displaystyle n-1}$⁠ , y las operaciones de aritmética modular modifican la aritmética normal reemplazando el resultado de cualquier operación por su representante equivalente . La suma modular, definida de esta manera para los enteros desde${\displaystyle 0}$a​${\displaystyle n-1}$⁠ , forma un grupo, denotado como${\displaystyle \mathrm {Z} _{n}}$o​${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,+)}$⁠ , con${\displaystyle 0}$como elemento de identidad y${\displaystyle n-a}$como el elemento inverso de ⁠${\displaystyle a}$.​

Un ejemplo familiar es la suma de las horas en la esfera de un reloj , donde se elige el 12 en lugar del 0 como representante de la identidad. Si la manecilla de las horas está en${\displaystyle 9}$y es avanzado${\displaystyle 4}$horas, termina en ⁠${\displaystyle 1}$⁠ , como se muestra en la ilustración. Esto se expresa diciendo que${\displaystyle 9+4}$es congruente con${\displaystyle 1}$"módulo ⁠${\displaystyle 12}$⁠ " o, en símbolos, $${\displaystyle 9+4\equiv 1{\pmod {12}}.}$$

Para cualquier número primo${\displaystyle p}$⁠ , también existe el grupo multiplicativo de enteros módulo ⁠${\displaystyle p}$⁠ . ^{[ 45 ]} Sus elementos pueden representarse por${\displaystyle 1}$a​${\displaystyle p-1}$⁠ . La operación de grupo, multiplicación módulo ⁠${\displaystyle p}$⁠ , reemplaza el producto habitual por su representante, el resto de la división por ⁠${\displaystyle p}$⁠ . Por ejemplo, para ⁠${\displaystyle p=5}$⁠ , los cuatro elementos del grupo pueden representarse mediante ⁠${\displaystyle 1,2,3,4}$⁠ . En este grupo, ⁠${\displaystyle 4\cdot 4\equiv 1{\pmod {5}}}$⁠ , porque el producto habitual${\displaystyle 16}$es equivalente a${\displaystyle 1}$: cuando se divide por${\displaystyle 5}$produce un resto de ⁠${\displaystyle 1}$⁠ . La primacía de${\displaystyle p}$garantiza que el producto usual de dos representantes no sea divisible por ⁠${\displaystyle p}$⁠ , y por lo tanto que el producto modular es distinto de cero. ^{[ m ]} El elemento identidad está representado por ⁠ ${\displaystyle 1}$⁠ , y la asociatividad se deduce de la propiedad correspondiente de los enteros. Finalmente, el axioma del elemento inverso requiere que, dado un entero${\displaystyle a}$no divisible por${\displaystyle p}$⁠ , existe un número entero${\displaystyle b}$de tal manera que $${\displaystyle a\cdot b\equiv 1{\pmod {p}},}$$ es decir, de tal manera que${\displaystyle p}$divide equitativamente${\displaystyle a\cdot b-1}$⁠ . El inverso${\displaystyle b}$se puede encontrar utilizando la identidad de Bézout y el hecho de que el máximo común divisor${\displaystyle \gcd(a,p)}$igual a ${\displaystyle 1}$⁠ . ^{[ 46 ]} En el caso${\displaystyle p=5}$arriba, el inverso del elemento representado por${\displaystyle 4}$es lo representado por ⁠${\displaystyle 4}$⁠ , y el inverso del elemento representado por${\displaystyle 3}$está representado por ⁠ ${\displaystyle 2}$⁠ , como ⁠${\displaystyle 3\cdot 2=6\equiv 1{\pmod {5}}}$Por lo tanto, se cumplen todos los axiomas del grupo. Este ejemplo es similar a${\displaystyle \left(\mathbb {Q} \smallsetminus \left\{0\right\},\cdot \right)}$arriba: consta exactamente de esos elementos en el anillo${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$que tienen un inverso multiplicativo. ^{[ 47 ]} Estos grupos, denotados ⁠${\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{\times }}$⁠ , son cruciales para la criptografía de clave pública . ^{[ n ]}

Un grupo cíclico es un grupo cuyos elementos son todos potencias de un elemento particular .${\displaystyle a}$⁠ . ^{[ 48 ]} En notación multiplicativa, los elementos del grupo son $${\displaystyle \dots ,a^{-3},a^{-2},a^{-1},a^{0},a,a^{2},a^{3},\dots ,}$$ dónde${\displaystyle a^{2}}$significa​${\displaystyle a\cdot a}$⁠ ,${\displaystyle a^{-3}}$significa​${\displaystyle a^{-1}\cdot a^{-1}\cdot a^{-1}=(a\cdot a\cdot a)^{-1}}$, etc. ^{[ o ]} Tal elemento${\displaystyle a}$se denomina generador o elemento primitivo del grupo. En notación aditiva, el requisito para que un elemento sea primitivo es que cada elemento del grupo pueda escribirse como $${\displaystyle \dots ,(-a)+(-a),-a,0,a,a+a,\dots .}$$

En los grupos${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,+)}$introducido anteriormente, el elemento${\displaystyle 1}$es primitivo, por lo que estos grupos son cíclicos. De hecho, cada elemento se puede expresar como una suma cuyos términos son todos iguales .${\displaystyle 1}$⁠ . Cualquier grupo cíclico con${\displaystyle n}$Los elementos son isomorfos a este grupo. Un segundo ejemplo de grupos cíclicos es el grupo de${\displaystyle n}$raíces complejas de la unidad , dadas por números complejos${\displaystyle z}$satisfactorio​${\displaystyle z^{n}=1}$Estos números se pueden visualizar como los vértices de una línea regular .${\displaystyle n}$-gon, como se muestra en azul en la imagen para ⁠${\displaystyle n=6}$⁠ . La operación de grupo es la multiplicación de números complejos. En la imagen, multiplicando con${\displaystyle z}$corresponde a una rotación en sentido contrario a las agujas del reloj de 60°. ^{[ 49 ]} De la teoría de campos , el grupo${\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{\times }}$es cíclico para primo${\displaystyle p}$: por ejemplo, si${\displaystyle p=5}$⁠ ,${\displaystyle 3}$es un generador ya que${\displaystyle 3^{1}=3}$,​​${\displaystyle 3^{2}=9\equiv 4}$,​​${\displaystyle 3^{3}\equiv 2}$y​​${\displaystyle 3^{4}\equiv 1}$.​

Algunos grupos cíclicos tienen un número infinito de elementos. En estos grupos, para cada elemento distinto de cero${\displaystyle a}$⁠ , todos los poderes de${\displaystyle a}$son distintos; a pesar del nombre "grupo cíclico", las potencias de los elementos no siguen un ciclo. Un grupo cíclico infinito es isomorfo a ⁠${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$⁠ , el grupo de enteros bajo la suma introducido anteriormente. ^{[ 50 ]} Como estos dos prototipos son ambos abelianos, también lo son todos los grupos cíclicos.

El estudio de los grupos abelianos finitamente generados está bastante consolidado, incluyendo el teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados ; y reflejando este estado de cosas, muchas nociones relacionadas con grupos, como centro y conmutador , describen hasta qué punto un grupo dado no es abeliano. ^{[ 51 ]}

Los grupos de simetría son grupos que consisten en simetrías de objetos matemáticos dados, principalmente entidades geométricas, como el grupo de simetría del cuadrado dado como ejemplo introductorio más arriba, aunque también surgen en álgebra, como las simetrías entre las raíces de ecuaciones polinómicas tratadas en la teoría de Galois (véase más adelante). ^{[ 53 ]} Conceptualmente, la teoría de grupos puede pensarse como el estudio de la simetría. ^{[ p ]} Las simetrías en matemáticas simplifican enormemente el estudio de objetos geométricos o analíticos . Se dice que un grupo actúa sobre otro objeto matemático .${\displaystyle X}$⁠ si cada elemento del grupo puede asociarse a alguna operación en ⁠${\displaystyle X}$y la composición de estas operaciones sigue la ley de grupo. Por ejemplo, un elemento del grupo triangular (2,3,7) actúa sobre un recubrimiento triangular del plano hiperbólico permutando los triángulos. ^{[ 52 ]} Mediante una acción de grupo, el patrón de grupo se conecta con la estructura del objeto sobre el que se actúa.

En química, los grupos puntuales describen las simetrías moleculares , mientras que los grupos espaciales describen las simetrías cristalinas en cristalografía . Estas simetrías subyacen al comportamiento químico y físico de estos sistemas, y la teoría de grupos permite simplificar el análisis mecánico cuántico de estas propiedades. ^{[ 54 ]} Por ejemplo, la teoría de grupos se utiliza para demostrar que las transiciones ópticas entre ciertos niveles cuánticos no pueden ocurrir simplemente debido a la simetría de los estados involucrados. ^{[ 55 ]}

La teoría de grupos ayuda a predecir los cambios en las propiedades físicas que ocurren cuando un material experimenta una transición de fase , por ejemplo, de una forma cristalina cúbica a una tetraédrica. Un ejemplo son los materiales ferroeléctricos , donde el cambio de un estado paraeléctrico a uno ferroeléctrico ocurre a la temperatura de Curie y está relacionado con un cambio del estado paraeléctrico de alta simetría al estado ferroeléctrico de menor simetría, acompañado por un modo de fonón blando , un modo de red vibracional que se anula en frecuencia durante la transición. ^{[ 56 ]}

Esta ruptura espontánea de simetría ha encontrado una aplicación adicional en la física de partículas elementales, donde su ocurrencia está relacionada con la aparición de bosones de Goldstone . ^{[ 57 ]}

Los grupos de simetría finita, como los grupos de Mathieu, se utilizan en la teoría de la codificación , que a su vez se aplica en la corrección de errores de datos transmitidos y en reproductores de CD . ^{[ 61 ]} Otra aplicación es la teoría diferencial de Galois , que caracteriza funciones con antiderivadas de una forma prescrita, proporcionando criterios de teoría de grupos para determinar cuándo las soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales se comportan adecuadamente. ^{[ q ]} Las propiedades geométricas que permanecen estables bajo acciones de grupo se investigan en la teoría de invariantes (geométricos) . ^{[ 62 ]}

Los grupos de matrices consisten en matrices junto con la multiplicación de matrices . El grupo lineal general${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$consta de todos los elementos invertibles .${\displaystyle n}$-por-​​${\displaystyle n}$Matrices con entradas reales. [ ^{63 ]} Sus subgrupos se denominan grupos matriciales o grupos lineales . ^El ejemplo del grupo diedral mencionado anteriormente puede considerarse un grupo matricial (muy pequeño). Otro grupo matricial importante es el grupo ortogonal especial .${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$⁠ . Describe todas las rotaciones posibles en${\displaystyle n}$dimensiones. Las matrices de rotación de este grupo se utilizan en gráficos por computadora . ^{[ 64 ]}

La teoría de la representación es tanto una aplicación del concepto de grupo como importante para una comprensión más profunda de los grupos. ^{[ 65 ] [ 66 ]} Estudia el grupo a través de sus acciones grupales en otros espacios. Una amplia clase de representaciones de grupos son las representaciones lineales en las que el grupo actúa sobre un espacio vectorial, como el espacio euclidiano tridimensional .${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$⁠ . Una representación de un grupo${\displaystyle G}$en un${\displaystyle n}$- El espacio vectorial real dimensional es simplemente un homomorfismo de grupos. ${\displaystyle \rho :G\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$ del grupo al grupo lineal general. De esta forma, la operación de grupo, que puede darse de forma abstracta, se traduce en la multiplicación de matrices, lo que la hace accesible a cálculos explícitos. ^{[ r ]}

Una acción grupal proporciona medios adicionales para estudiar el objeto sobre el que se actúa. ^{[ s ]} Por otro lado, también proporciona información sobre el grupo. Las representaciones de grupo son un principio organizador en la teoría de grupos finitos, grupos de Lie, grupos algebraicos y grupos topológicos , especialmente grupos (localmente) compactos . ^{[ 65 ] [ 67 ]}

Los grupos de Galois se desarrollaron para ayudar a resolver ecuaciones polinómicas capturando sus características de simetría. ^{[ 68 ] [ 69 ]} Por ejemplo, las soluciones de la ecuación cuadrática${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$son dados por $${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$$ Cada solución se puede obtener reemplazando el${\displaystyle \pm }$firmar por${\displaystyle +}$o​${\displaystyle -}$Se conocen fórmulas análogas para ecuaciones cúbicas y, pero no existen en general para grados 5 y superiores. [ ^{70 ]} En la fórmula cuadrática , cambiar el signo (permutar las dos soluciones resultantes) puede considerarse una operación de grupo (muy simple). Los grupos de Galois ^análogos actúan sobre las soluciones de ecuaciones polinómicas de grado superior y están estrechamente relacionados con la existencia de fórmulas para su solución. Las propiedades abstractas de estos grupos (en particular su resolubilidad ) proporcionan un criterio para la capacidad de expresar las soluciones de estos polinomios utilizando únicamente suma, multiplicación y raíces , de forma similar a la fórmula anterior. ^{[ 71 ]}