Relación (matemáticas)

En matemáticas , una relación denota algún tipo de vínculo entre dos objetos de un conjunto , que puede o no existir. ^{[ 1 ]} Por ejemplo, " es menor que " es una relación en el conjunto de los números naturales ; se cumple, por ejemplo, entre los valores $1$ y $3$ (denotado como $1 < 3$ ), y de igual manera entre $3$ y $4$ (denotado como $3 < 4$ ), pero no entre los valores $3$ y $1$ ni entre $4$ y $4$ , es decir, $3 < 1$ y $4 < 4$ se evalúan como falsos. Como otro ejemplo, " es hermana de " es una relación en el conjunto de todas las personas, se cumple, por ejemplo, entre Marie Curie y Bronisława Dłuska , y viceversa. Los miembros de un conjunto pueden no estar relacionados "en cierto grado"; o están relacionados o no lo están.

Formalmente, una relación $R$ sobre un conjunto $X$ puede verse como un conjunto de pares ordenados $(x, y)$ de miembros de $X$ . ^{[ 2 ]} La relación $R$ se cumple entre $x$ $e$ y si $(x, y)$ es un miembro de $R$ . Por ejemplo, la relación " es menor que " en los números naturales es un conjunto infinito $R menos$ de pares de números naturales que contiene tanto $(1,3)$ como $(3,4)$ , pero no $(3,1)$ ni $(4,4)$ . La relación " es un divisor no trivial de " en el conjunto de números naturales de un dígito es suficientemente pequeña como para mostrarse aquí: $R dv = { (2,4), (2,6), (2,8), (3,6), (3,9), (4,8) }$ ; por ejemplo $, 2$ es un divisor no trivial de $8$ , pero no al revés, por lo tanto $(2,8) \in R dv$ , pero $(8,2) \notin R dv$ .

Si $R$ es una relación que se cumple para $x$ e $y$ , a menudo se escribe $xRy$ . Para la mayoría de las relaciones comunes en matemáticas, se introducen símbolos especiales, como " $<$ " para "es menor que" y " $|$ " para "es divisor de" y, el más popular, " $=$ " para "es igual a" . Por ejemplo, " $1 < 3$ ", " $1$ es menor que $3$ " y " $(1,3) \in R menos$ " significan lo mismo; algunos autores también escriben " $(1,3) \in (<)$ ".

Se investigan varias propiedades de las relaciones. Una relación $R$ es reflexiva si $xRx$ se cumple para todo $x$ , e irreflexiva si $xRx$ no se cumple para ningún $x$ . Es simétrica si $xRy$ siempre implica $yRx$ , y asimétrica si $xRy$ implica que $yRx$ es imposible. Es transitiva si $xRy$ y $yRz$ siempre implican $xRz$ . Por ejemplo, " es menor que " es irreflexiva, asimétrica y transitiva, pero no reflexiva ni simétrica. " es hermana de " no es reflexiva (por ejemplo, Pierre Curie no es hermano de sí mismo), ni simétrica, ni asimétrica; mientras que ser irreflexiva o no puede ser una cuestión de definición (¿es toda mujer hermana de sí misma?), ^{[ a ]} " es antecesora de " es transitiva, mientras que " es progenitora de " no lo es. Se conocen teoremas matemáticos sobre combinaciones de propiedades de las relaciones, como "una relación transitiva es irreflexiva si, y solo si, es asimétrica".

De particular importancia son las relaciones que satisfacen ciertas combinaciones de propiedades. Un orden parcial es una relación reflexiva, antisimétrica y transitiva, ^{[ 3 ]} una relación de equivalencia es una relación reflexiva, simétrica y transitiva, ^{[ 4 ]} una función es una relación única por la derecha y total por la izquierda (véase más adelante ). ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

Dado que las relaciones son conjuntos, pueden manipularse mediante operaciones de conjuntos, como la unión , la intersección y la complementación , lo que da lugar al álgebra de conjuntos . Además, el cálculo de relaciones incluye las operaciones de tomar la inversa y componer relaciones . ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}

El concepto anterior de relación ^{[ b ]} se ha generalizado para admitir relaciones entre miembros de dos conjuntos diferentes ( relación heterogénea , como " se encuentra en " entre el conjunto de todos los puntos y el de todas las líneas en geometría), relaciones entre tres o más conjuntos ( relación finita , como "la persona $x$ vive en la ciudad $y$ en el tiempo $z$ " ), y relaciones entre clases ^{[ c ]} (como " es un elemento de " en la clase de todos los conjuntos, véase Relación binaria § Conjuntos versus clases ).

Definición

Dado un conjunto $X$ , una relación $R$ sobre $X$ es un conjunto de pares ordenados de elementos de $X$ , formalmente: $R \subseteq { (x, y) | x, y \in X}$ . ^{[ 2 ]}^{[ 10 ]}

La afirmación $(x, y) \in R$ se lee " $x$ está relacionado con $y en R$ $"$ y se escribe en notación infija como $xRy$ . ^[⁷^]^[⁸^] El orden de los elementos es importante; si $x$ $\neq$ $y$ entonces $yRx$ puede ser verdadero o falso independientemente de $xRy$ . Por ejemplo, $3$ divide $a 9$ , pero $9$ no divide $a 3$ .

Representación de relaciones

Una relación $R$ en un conjunto finito $X$ puede representarse como:

Grafo dirigido : Cada miembro de $X$ corresponde a un vértice; existe una arista dirigida de $x$ a $y si$ y solo si $(x, y) \in R$ .
Matriz booleana : Los miembros de $X$ están dispuestos en una secuencia fija $x 1$ , ..., $x n$ ; la matriz tiene dimensiones $n \times n$ , donde el elemento en la fila $i$ , columna $j$ , es , si $(x i, x j) \in R$ , y , en caso contrario.
Gráfico 2D : Como generalización de una matriz booleana, una relación en el conjunto infinito $R$ de números reales puede representarse como una figura geométrica bidimensional: utilizando coordenadas cartesianas , dibuje un punto en $(x, y)$ siempre que $(x, y$ ) $\in$ $R.$

Una relación transitiva ^{[ d ]} $R$ en un conjunto finito $X$ también puede representarse como

Diagrama de Hasse : Cada elemento de $X$ corresponde a un vértice; se dibujan aristas dirigidas de tal manera que existe un camino dirigido de $x$ a $y$ $si y solo si (x, y) \in R.$ En comparación con una representación de grafo dirigido, un diagrama de Hasse requiere menos aristas, lo que resulta en una imagen menos enredada. Dado que la relación " existe un camino dirigido de $x$ a $y$ " es transitiva, solo las relaciones transitivas pueden representarse en diagramas de Hasse. Generalmente, el diagrama se diseña de manera que todas las aristas apunten hacia arriba y se omiten las flechas.

Por ejemplo, en el conjunto de todos los divisores de $12$ , definimos la relación $R div$ por

x R div y

si

x

es un divisor de

y

y

x \neq y

.

Formally, $X = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 }$ and $R div = { (1,2), (1,3), (1,4), (1,6), (1,12), (2,4), (2,6), (2,12), (3,6), (3,12), (4,12), (6,12) }$ . The representation of $R div$ as a Boolean matrix is shown in the middle table; the representation both as a Hasse diagram and as a directed graph is shown in the left picture.

The following are equivalent:

$x R div y$ is true.
$(x, y) \in R div$ .
A path from $x$ to $y$ exists in the Hasse diagram representing $R div$ .
An edge from $x$ to $y$ exists in the directed graph representing $R div$ .
In the Boolean matrix representing $R div$ , the element in line $x$ , column $y$ is "".

As another example, define the relation $R el$ on $R$ by

x R el y

if

x 2 + xy + y 2 = 1

.

The representation of $R el$ as a 2D-plot obtains an ellipse, see right picture. Since $R$ is not finite, neither a directed graph, nor a finite Boolean matrix, nor a Hasse diagram can be used to depict $R el$ .

Properties of relations

Some important properties that a relation $R$ over a set $X$ may have are:

Reflexive: for all $x \in X$ , $xRx$ . For example, $\geq$ is a reflexive relation but $>$ is not.

Irreflexive (or strict): for all $x \in X$ , not $xRx$ . For example, $>$ is an irreflexive relation, but $\geq$ is not.

The previous 2 alternatives are not exhaustive; e.g., the red relation $y = x 2$ given in the diagram below is neither irreflexive, nor reflexive, since it contains the pair $(0,0)$ , but not $(2,2)$ , respectively.

Symmetric: para todo $x, y \in X$ , si $xRy$ entonces $yRx$ . Por ejemplo, "es pariente consanguíneo de" es una relación simétrica, porque $x$ es pariente consanguíneo de $y$ si y solo si $y$ es pariente consanguíneo de $x$ .

Antisimétrico: Para todo $x, y \in X$ , si $xRy$ e $yRx,$ entonces $x = y$ . Por ejemplo, $\geq$ es una relación antisimétrica; también lo es $>$ , pero trivialmente (la condición en la definición siempre es falsa). ^{[ 11 ]}

Asimétrico: Para todo $x, y \in X$ , si $xRy$ entonces no $yRx$ . Una relación es asimétrica si y solo si es antisimétrica e irreflexiva. ^{[ 12 ]} Por ejemplo, $>$ es una relación asimétrica, pero $\geq$ no lo es.

Nuevamente, las tres alternativas anteriores están lejos de ser exhaustivas; como ejemplo sobre los números naturales, la relación $xRy$ definida por $x > 2$ no es simétrica (por ejemplo $, 5 R 1$ , pero no $1 R 5$ ) ni antisimétrica (por ejemplo $, 6 R 4$ , pero también $4 R 6$ ), y mucho menos asimétrica.

Transitivo: Para todo $x, y, z \in X$ , si $xRy$ e $yRz,$ entonces $xRz$ . Una relación transitiva es irreflexiva si y solo si es asimétrica. ^{[ 13 ]} Por ejemplo, "es antecesor de" es una relación transitiva, mientras que "es padre de" no lo es.

Conectado: para todo $x, y \in X$ , si $x \neq y$ entonces $xRy$ o $yRx$ . Por ejemplo, en los números naturales, $<$ es conexo, mientras que " es un divisor de " no lo es (por ejemplo, ni $5 R 7$ ni $7 R 5$ ).

Fuertemente conectados: para todo $x, y \in X$ , $xRy$ o $yRx$ . Por ejemplo, en los números naturales, $\leq$ es fuertemente conexo, pero $<$ no lo es. Una relación es fuertemente conexa si, y solo si, es conexa y reflexiva.

Propiedades únicas

Inyectivo ^{[ e ]} (también llamado único por la izquierda ^{[ 14 ]} ): Para todo $x, y, z \in X$ , si $xRy$ y $zRy$ entonces $x = z$ . Por ejemplo, las relaciones verde y azul en el diagrama son inyectivas, pero la roja no lo es (ya que relaciona tanto $-1$ como $1$ con $1$ ), ni tampoco la negra (ya que relaciona tanto $-1$ como $1$ con $0$ ).
Funcional ^{[ 15 ]}^{[ 16 ]}^{[ 17 ]}^{[ e ]} (también llamado derecho-único , ^{[ 14 ]} derecho-definido ^{[ 18 ]} o univalente ^{[ 9 ]} ): Para todo $x, y, z \in X$ , si $xRy$ y $xRz,$ entonces $y = z$ . Esta relación se denomina función parcial . Por ejemplo, las relaciones roja y verde del diagrama son funcionales, pero la azul no lo es (ya que relaciona $1$ con $-1$ y $1$ ), ni tampoco la negra (ya que relaciona 0 con -1 y 1).

Propiedades de la totalidad

Serie ^{[ e ]} (también llamada total o total izquierda ): Para todo $x \in X$ , existe algún $y \in X$ tal que $xRy$ . Por ejemplo, las relaciones roja y verde en el diagrama son totales, pero la azul no lo es (ya que no relaciona $-1$ con ningún número real), ni tampoco la negra (ya que no relaciona $2$ con ningún número real). Como otro ejemplo, $>$ es una relación serial sobre los enteros. Pero no es una relación serial sobre los enteros positivos, porque no hay ningún $y$ en los enteros positivos tal que $1 > y$ . ^{[ 19 ]} Sin embargo, $<$ es una relación serial sobre los enteros positivos, los números racionales y los números reales. Toda relación reflexiva es serial: para un $x$ dado , escoja $y = x$ .

Sobreyectiva ^{[ e ]} (también llamada derecha total ^{[ 14 ]} o sobre ): Para todo $y \in X$ , existe un $x \in X$ tal que $xRy$ . Por ejemplo, las relaciones verde y azul en el diagrama son sobreyectivas, pero la roja no lo es (ya que no relaciona ningún número real con $-1$ ), ni tampoco la negra (ya que no relaciona ningún número real con $2$ ).

Combinaciones de propiedades

Las relaciones que satisfacen ciertas combinaciones de las propiedades anteriores son particularmente útiles y, por lo tanto, han recibido nombres propios.

Relación de equivalencia: Una relación reflexiva, simétrica y transitiva. También es una relación simétrica, transitiva y serial, puesto que estas propiedades implican reflexividad.

Pedidos

Orden parcial: Una relación que es reflexiva, antisimétrica y transitiva.

Orden parcial estricto: Una relación irreflexiva, asimétrica y transitiva.

Pedido total: Una relación que es reflexiva, antisimétrica, transitiva y conexa. ^{[ 20 ]}

Pedido total estricto: Una relación que es irreflexiva, asimétrica, transitiva y conectada.

Propiedades únicas

De uno a uno ^{[ e ]}: Inyectivo y funcional. Por ejemplo, la relación verde en el diagrama es biyectiva, pero las rojas, azules y negras no lo son.
De uno a muchos ^{[ e ]}: Inyectiva y no funcional. Por ejemplo, la relación azul en el diagrama es de uno a muchos, pero las rojas, verdes y negras no lo son.
De muchos a uno ^{[ e ]}: Funcional y no inyectiva. Por ejemplo, la relación roja en el diagrama es de muchos a uno, pero las verdes, azules y negras no lo son.
De muchos a muchos ^{[ e ]}: No es inyectiva ni funcional. Por ejemplo, la relación negra en el diagrama es de muchos a muchos, pero las rojas, verdes y azules no lo son.

Propiedades de singularidad y totalidad

Una función ^{[ e ]}: Una relación funcional y total. Por ejemplo, las relaciones rojas y verdes del diagrama son funciones, pero las azules y negras no lo son.
Una inyección ^{[ e ]}: Una función inyectiva. Por ejemplo, la relación verde en el diagrama es inyectiva, pero las rojas, azules y negras no lo son.
Una sobreyección ^{[ e ]}: Una función sobreyectiva. Por ejemplo, la relación verde en el diagrama es sobreyectiva, pero las rojas, azules y negras no lo son.
Una biyección ^{[ e ]}: Una función que es inyectiva y sobreyectiva. Por ejemplo, la relación verde en el diagrama es una biyección, pero las rojas, azules y negras no lo son.

Operaciones en materia de relaciones

Unión ^{[ f ]}: Si $R$ y $S$ son relaciones sobre $X,$ entonces $R \cup S = { (x, y) | xRy o xSy}$ es la relación de unión de $R$ y $S.$ El elemento neutro de esta operación es la relación vacía. Por ejemplo, $\leq$ es la unión de $<$ y $=$ , y $\geq$ es la unión de $>$ y $=$ .

Intersección ^{[ f ]}: Si $R$ y $S$ son relaciones sobre $X,$ entonces $R \cap S = { (x, y) | xRy y xSy}$ es la relación de intersección de $R$ y $S.$ El elemento neutro de esta operación es la relación universal. Por ejemplo, "es una carta más baja del mismo palo que" es la intersección de "es una carta más baja que" y "pertenece al mismo palo que".

Composición ^{[ f ]}: Si $R$ y $S$ son relaciones sobre $X,$ entonces $S \circ R = { (x, z) | existe y \in X tal que xRy y ySz}$ (también denotado por $R; S$ ) es el producto relativo de $R$ y $S$ . El elemento identidad es la relación identidad. El orden de $R$ y $S$ en la notación $S \circ R$ , utilizada aquí, coincide con el orden de notación estándar para la composición de funciones . Por ejemplo, la composición "es madre de" $\circ$ "es padre de" produce "es abuelo materno de", mientras que la composición "es padre de" $\circ$ "es madre de" produce "es abuela de". Para el primer caso, si $x$ es el padre de $y$ e $y$ es la madre de $z$ , entonces $x$ es el abuelo materno de $z$ .

Recíproco ^{[ f ]}: Si $R$ es una relación sobre los conjuntos $X$ e $Y,$ entonces $R T = { (y, x) | xRy}$ es la relación recíproca de $R$ sobre $Y$ y $X.$ Por ejemplo, $=$ es la recíproca de sí misma, al igual que $\neq$ , y $<$ y $>$ son recíprocas entre sí, al igual que $\leq$ y $\geq$ .

Complemento ^{[ f ]}: Si $R$ es una relación sobre $X,$ entonces $R = { (x, y) | x, y \in X y no xRy}$ (también denotada por $R$ o $\neg R$ ) es la relación complementaria de $R$ . Por ejemplo, $=$ y $\neq$ son complementos entre sí, al igual que $\subseteq$ y $⊈$ , $\supseteq$ y $⊉$ , y $\in$ y $\notin$ , y, para órdenes totales , también $<$ y $\geq$ , y $>$ y $\leq$ . El complemento de la relación inversa $R T$ es el recíproco del complemento: ${\overline {R^{\mathsf {T}}}}={\bar {R}}^{\mathsf {T}}.$

Restricción ^{[ f ]}: Si $R$ es una relación sobre $X$ y $S$ es un subconjunto de $X,$ entonces $R | S = { (x, y) | xRy y x, y \in S}$ es larelación de restricción de $R$ a $S$ . La expresión $R | S = { (x, y) | xRy y x \in S}$ es larelación de restricción izquierda de $R$ a $S$ ; la expresión $R | S = { (x, y) | xRy y y \in S}$ se llamaRelación de restricción derecha de $R$ a $S.$ Si una relación esreflexiva, irreflexiva,simétrica,antisimétrica,asimétrica,transitiva,total,tricotómica, deorden parcial,de orden total,de orden débil estricto,de preorden total(orden débil) o unarelación de equivalencia, entonces también lo son sus restricciones. Sin embargo, elcierre transitivode una restricción es un subconjunto de la restricción del cierre transitivo, es decir, en general no es igual. Por ejemplo, restringir la relación " $x$ es padre de $y$ " a mujeres produce la relación " $x$ es madre de la mujer $y$ "; su cierre transitivo no relaciona a una mujer con su abuela paterna. Por otro lado, el cierre transitivo de "es padre de" es "es antepasada de"; su restricción a mujeres sí relaciona a una mujer con su abuela paterna.

Se dice que una relación $R$ sobre los conjuntos $X$ e $Y es$ Se dice que $R$ $\subseteq$ $S$ está contenido en una relación $S$ sobre $X$ e $Y$ , si $R$ es un subconjunto de $S$ , es decir, para todo $x$ $\in$ $X$ e $y$ $\in$ $Y$ , si $xRy$ , entonces $xSy$ . Si $R$ está contenido en $S$ y $S$ está contenido en $R$ , entonces $R$ y $S$ se llamaniguales,escrito $R$ $=$ $S.$ Si $R$ está contenido en $S$ pero $S$ no está contenido en $R$ , entoncesse dice que $R es igual.$ menor que $S$ , escrito $R ⊊ S$ . Por ejemplo, en losnúmeros racionales, la relación $>$ es menor que $\geq$ , e igual a la composición $> \circ >$ .

Teoremas sobre relaciones

Una relación es asimétrica si, y solo si, es antisimétrica e irreflexiva.
Una relación transitiva es irreflexiva si, y solo si, es asimétrica.
Una relación es reflexiva si, y solo si, su complemento es irreflexivo.
Una relación está fuertemente conectada si, y solo si, es conectada y reflexiva.
Una relación es igual a su recíproca si, y solo si, es simétrica.
Una relación está conectada si, y solo si, su complemento es antisimétrico.
Una relación está fuertemente conectada si, y solo si, su complemento es asimétrico. ^{[ 21 ]}
Si R y S son relaciones sobre un conjunto X , y R está contenido en S , entonces
- Si $R$ es reflexivo, conectado, fuertemente conectado, total por la izquierda o total por la derecha, entonces $S$ también lo es .
- Si $S$ es irreflexivo, asimétrico, antisimétrico, único por la izquierda o único por la derecha, entonces $R$ también lo es .
Una relación es reflexiva, irreflexiva, simétrica, asimétrica, antisimétrica, conexa, fuertemente conexa y transitiva si su recíproca lo es, respectivamente.

Ejemplos

Relaciones de orden , incluyendo órdenes estrictas :
- Más que
- Mayor o igual que
- Menos que
- Menor o igual que
- Divide (en partes iguales)
- Subconjunto de
Relaciones de equivalencia :
- Igualdad
- Paralelo con (para espacios afines )
- Está en biyección con
- Isomórfico
Relación de tolerancia , una relación reflexiva y simétrica:
- Relación de dependencia , una relación de tolerancia finita
- Relación de independencia , el complemento de alguna relación de dependencia.
Relaciones de parentesco

Generalizaciones

El concepto de relación anterior se ha generalizado para admitir relaciones entre miembros de dos conjuntos diferentes. Dados los conjuntos $X$ e $Y$ , una relación heterogénea $R$ sobre $X$ e $Y$ es un subconjunto de ${ (x, y) | x \in X, y \in Y}$ . ^{[ 2 ]}^{[ 22 ]} Cuando $X = Y$ , se obtiene el concepto de relación descrito anteriormente; a menudo se le llama relación homogénea (o endorrelación ) ^{[ 23 ]}^{[ 24 ]} para distinguirlo de su generalización. Las propiedades y operaciones anteriores que están marcadas " ^{[ e ]} " y " ^{[ f ]} ", respectivamente, se generalizan a relaciones heterogéneas. Un ejemplo de una relación heterogénea es "océano $x$ limita continente $y$ ". Los ejemplos más conocidos son funciones ^{[ g ]} con dominios y rangos distintos, como $sqrt : N \to R +$ .

Véase también

Estructura de incidencia , una relación heterogénea entre un conjunto de puntos y líneas.
La teoría del orden investiga las propiedades de las relaciones de orden.
álgebra de relaciones

Notas

↑ Si es así, entonces " es hermana de " también es transitivo.
↑ denominada "relación binaria homogénea (sobre conjuntos)" cuando es importante diferenciarla de sus generalizaciones.
↑ una generalización de conjuntos
↑ ver abajo
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Estas propiedades también se generalizan a relaciones heterogéneas.
1 2 3 4 5 6 7 Esta operación también se generaliza a relaciones heterogéneas.
↑ es decir, relaciones heterogéneas únicas por la derecha y totales por la izquierda

Referencias

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1 2 C. I. Lewis (1918) Un estudio de la lógica simbólica , págs. 269–279, vía Internet Archive
1 2 Schmidt 2010 , Cap. 5
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↑ Flaška et al. 2007 , p. 1 Lema 1.1 (iv). Esta fuente se refiere a las relaciones asimétricas como "estrictamente antisimétricas".
1 2 3 Kilp, Knauer y Mikhalev 2000 , pág. 3. Las mismas cuatro definiciones aparecen en los siguientes trabajos: Pahl y Damrath 2001 , pág. 506 , Best 1996 , págs. 19-21 , Riemann 1999 , págs. 21-22.
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[3] Si es así, entonces " es hermana de " también es transitivo.

[11] "relación binaria homogénea (sobre conjuntos)" cuando es importante diferenciarla de sus generalizaciones.

[12] una generalización de conjuntos

[14] ver abajo

[heterogeneous-18] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Estas propiedades también se generalizan a relaciones heterogéneas.

[heterogeneous_operation-26] 1 2 3 4 5 6 7 Esta operación también se generaliza a relaciones heterogéneas.

[31] s decir, relaciones heterogéneas únicas por la derecha y totales por la izquierda

[1] Stoll, Robert R. (1963). Teoría de conjuntos y lógica . San Francisco, CA: Dover Publications. ISBN 978-0-486-63829-4.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )

[FOOTNOTECodd1970-2] 1 2 3 Codd 1970

[FOOTNOTEHalmos1968Ch_14-4] Halmos 1968 , Cap. 14

[FOOTNOTEHalmos1968Ch_7-5] Halmos 1968 , Cap. 7

[6] "Definición de relación – Math Insight" . mathinsight.org . Consultado el 11 de diciembre de 2019 .

[FOOTNOTEHalmos1968Ch_8-7] Halmos 1968 , Cap. 8

[Schroder.1895-8] Ernst Schröder (1895) Álgebra und Logic der Relative , vía Internet Archive

[Lewis.1918-9] 1 2 C. I. Lewis (1918) Un estudio de la lógica simbólica , págs. 269–279, vía Internet Archive

[FOOTNOTESchmidt2010Chapt._5-10] 1 2 Schmidt 2010 , Cap. 5

[FOOTNOTEEnderton1977Ch_3._p._40-13] Enderton 1977 , Cap. 3, pág. 40

[FOOTNOTESmithEggenSt._Andre2006160-15] Smith, Eggen y St. Andre 2006 , pág. 160

[FOOTNOTENievergelt2002[httpsbooksgooglecombooksid_H_nJdagqL8CpgPA158_158]-16] Nievergelt 2002 , pág. 158

[FOOTNOTEFlaškaJežekKepkaKortelainen2007p.1_Lemma_1.1_(iv)._This_source_refers_to_asymmetric_relations_as_"strictly_antisymmetric".-17] Flaška et al. 2007 , p. 1 Lema 1.1 (iv). Esta fuente se refiere a las relaciones asimétricas como "estrictamente antisimétricas".

[kkm-19] 1 2 3 Kilp, Knauer y Mikhalev 2000 , pág. 3. Las mismas cuatro definiciones aparecen en los siguientes trabajos: Pahl y Damrath 2001 , pág. 506 , Best 1996 , págs. 19-21 , Riemann 1999 , págs. 21-22.

[20] Van Gasteren 1990, pág. 45.

[21] "Relación funcional - Enciclopedia de Matemáticas" . encyclopediaofmath.org . Consultado el 13 de junio de 2024 .

[22] "relación funcional en nLab" . ncatlab.org . Consultado el 13 de junio de 2024 .

[FOOTNOTEMäs2007-23] Mayo de 2007

[FOOTNOTEYaoWong1995-24] Yao y Wong 1995

[FOOTNOTERosenstein19824-25] Rosenstein 1982 , pág. 4

[FOOTNOTESchmidtStröhlein1993-27] Schmidt y Ströhlein 1993

[28] Enderton 1977 , Cap. 3, pág. 40

[FOOTNOTEMüller201222-29] Müller 2012 , pág. 22

[FOOTNOTEPahlDamrath2001496-30] Pahl y Damrath 2001 , pág. 496

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