matemáticas indias

Los textos del período védico proporcionan evidencia del uso de números grandes . Para la época del Yajurvedasaṃhitā (1200–900 a. C.), se incluían en los textos números tan ^{altos como 10¹²} . ^{[ 2 ]} Por ejemplo, el mantra (recitación sagrada) al final del annahoma ("rito de ofrenda de alimentos") realizado durante el aśvamedha , y pronunciado justo antes, durante y justo después del amanecer, invoca poderes de diez desde cien hasta un billón: ^{[ 2 ]}

Salve a śata ("cien", 10 ² ), salve a sahasra ("mil", 10 ³ ), salve a ayuta ("diez mil", 10 ⁴ ), salve a niyuta ("cien mil", 10 ⁵ ), salve a prayuta ("millón", 10 ⁶ ), salve a arbuda ("diez millones", 10 ⁷ ), salve a nyarbuda ("cien millones", 10 ⁸ ), salve a samudra ("mil millones", 10 ⁹ , literalmente "océano"), salve a madhya ("diez mil millones", 10 ¹⁰ , literalmente "medio"), salve a anta ("cien mil millones", 10 ¹¹ , literalmente "fin"), salve a parārdha ("un billón", 10 ¹² literalmente "más allá de las partes"), salve a uṣas (amanecer), salve al vyuṣṭi (el crepúsculo), salve a udeṣyat (el que va a levantarse), salve a udyat (el que se levanta), salve udita (al que acaba de levantarse), salve a svarga (el cielo), salve a martya (el mundo), salve a todos. ^{[ 2 ]}

Se mencionan fracciones, como en el Purusha Sukta (RV 10.90.4):

Puruṣa ascendió con tres cuartas partes: la cuarta parte restante estaba aquí.

El Satapatha Brahmana ( c. siglo VII a. C.) contiene reglas para construcciones geométricas rituales que son similares a los Sulba Sutras. ^{[ 23 ]}

Los Sutras de Śulba (literalmente, «Aforismos de las Acordes» en sánscrito védico ) (c. 700–400 a. C.) enumeran reglas para la construcción de altares de fuego sacrificiales. ^{[ 24 ]} La mayoría de los problemas matemáticos considerados en los Sutras de Śulba surgen de «un único requisito teológico», ^{[ 25 ]} el de construir altares de fuego que tienen diferentes formas pero ocupan la misma área. Los altares debían construirse con cinco capas de ladrillo cocido, con la condición adicional de que cada capa constara de 200 ladrillos y que no hubiera dos capas adyacentes con disposiciones congruentes de ladrillos. ^{[ 25 ]}

Según Hayashi, los Sutras de Śulba contienen "la expresión verbal más antigua que se conserva del teorema de Pitágoras en el mundo, aunque ya era conocido por los antiguos babilonios ".

La cuerda diagonal ( akṣṇayā-rajju ) de un oblongo (rectángulo) produce ambas cosas que las cuerdas del flanco ( pārśvamāni ) y las horizontales ( tiryaṇmānī ) producen por separado." ^{[ 26 ]}

Dado que la declaración es un sutra , necesariamente está condensada y no se explica con detalle lo que producen las cuerdas , pero el contexto implica claramente las áreas cuadradas construidas sobre sus longitudes, y así se lo habría explicado el maestro al alumno. ^{[ 26 ]}

Contienen listas de ternas pitagóricas , ^{[ 27 ]} que son casos particulares de ecuaciones diofánticas . ^{[ 28 ]} También contienen afirmaciones (que en retrospectiva sabemos que son aproximadas) sobre la cuadratura del círculo y el "rodeo del cuadrado". ^{[ 29 ]}

Baudhayana (c. siglo VIII a. C.) compuso el Baudhayana Sulba Sutra , el Sulba Sutra más conocido , que contiene ejemplos de ternas pitagóricas simples, como: (3, 4, 5) , (5, 12, 13) , (8, 15, 17) , (7, 24, 25) y (12, 35, 37) , ^{[ 30 ]} así como un enunciado del teorema de Pitágoras para los lados de un cuadrado: "La cuerda que se extiende a través de la diagonal de un cuadrado produce un área que duplica el tamaño del cuadrado original." ^{[ 30 ] [ 31 ]} También contiene el enunciado general del teorema de Pitágoras (para los lados de un rectángulo): "La cuerda extendida a lo largo de la diagonal de un rectángulo forma un área que forman juntos los lados vertical y horizontal." ^{[ 30 ]} Baudhayana da una expresión para la raíz cuadrada de dos : ^{[ 32 ]}

${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}-{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}=1.4142156\ldots }$

La expresión es precisa hasta cinco decimales, siendo el valor verdadero 1,41421356... ^{[ 33 ]} Esta expresión es similar en estructura a la expresión encontrada en una tablilla mesopotámica ^{[ 34 ]} del período paleobabilónico (1900–1600 a. C. ): ^{[ 32 ]}

${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}=1.41421297\ldots }$

que expresa √ 2 en el sistema sexagesimal, y que además es preciso hasta 5 cifras decimales.

Según el matemático S. G. Dani, la tablilla cuneiforme babilónica Plimpton 322, escrita alrededor del 1850 a. C. ^{[ 35 ]} , «contiene quince ternas pitagóricas con entradas bastante extensas, incluyendo (13500, 12709, 18541), que es una terna primitiva, ^{[ 36 ]} lo que indica, en particular, que existía un conocimiento sofisticado sobre el tema» en Mesopotamia en el 1850  a. C. «Dado que estas tablillas son anteriores al período de los Sulbasutras por varios siglos, teniendo en cuenta la aparición contextual de algunas de las ternas, es razonable esperar que existiera un conocimiento similar en la India». ^{[ 37 ]} Dani continúa diciendo:

Dado que el objetivo principal de los Sulvasutras era describir la construcción de altares y los principios geométricos que los sustentaban, es posible que el tema de las ternas pitagóricas, aun si se hubiera comprendido bien, no apareciera en ellos . La presencia de las ternas en los Sulvasutras es comparable a las matemáticas que se pueden encontrar en un libro introductorio de arquitectura u otra área aplicada similar, y no se correspondería directamente con el conocimiento general sobre el tema en aquella época. Dado que, lamentablemente, no se han encontrado otras fuentes contemporáneas, es posible que nunca se pueda resolver esta cuestión de manera satisfactoria. ^{[ 37 ]}

En total, se compusieron tres Sulba Sutras . Los dos restantes, el Manava Sulba Sutra, compuesto por Manava (activo entre el 750 y el 650 a. C.), y el Apastamba Sulba Sutra , compuesto por Apastamba (c. 600 a. C.), contenían resultados similares al Baudhayana Sulba Sutra .

Vyakarana

Durante el período védico se desarrolló la obra del gramático sánscrito Pāṇini (c. 520–460 a. C.). Su gramática incluye un precursor de la forma Backus-Naur (utilizada en la descripción de lenguajes de programación ). ^{[ 38 ]}

La antigua cultura india invirtió una energía prodigiosa en asegurar que estos textos se transmitieran de generación en generación con una fidelidad extraordinaria. ^{[ 45 ]} Por ejemplo, la memorización de los Vedas sagrados incluía hasta once formas de recitación del mismo texto. Posteriormente, los textos se "corregían" comparando las diferentes versiones recitadas. Entre las formas de recitación se encontraba el jaṭā-pāṭha (literalmente "recitación en malla"), en el que cada dos palabras adyacentes del texto se recitaban primero en su orden original, luego se repetían en orden inverso y, finalmente, se repetían en el orden original. ^{[ 46 ]} La recitación se desarrollaba así:

En otra forma de recitación, dhvaja-pāṭha ^{[ 46 ]} (literalmente "recitación de bandera"), se recitaba (y memorizaba) una secuencia de N palabras emparejando las dos primeras y las dos últimas palabras y luego procediendo de la siguiente manera:

La forma más compleja de recitación, ghana-pāṭha (literalmente "recitación densa"), según Filliozat, ^{[ 46 ]} tomó la forma:

La eficacia de estos métodos queda demostrada por la conservación del texto religioso indio más antiguo, el Rigveda (c. 1500 a. C.), como un texto único, sin variantes de lectura. ^{[ 46 ]} Se utilizaron métodos similares para memorizar textos matemáticos, cuya transmisión se mantuvo exclusivamente oral hasta el final del período védico (c. 500 a. C.).

La actividad matemática en la antigua India comenzó como parte de una "reflexión metodológica" sobre los sagrados Vedas , que tomó la forma de obras llamadas Vedāṇgas , o "Auxiliares del Veda" (siglos VII-IV a. C.). ^{[ 47 ]} La necesidad de conservar el sonido del texto sagrado mediante el uso de śikṣā ( fonética ) y chhandas ( métrica ); de conservar su significado mediante el uso de vyākaraṇa ( gramática ) y nirukta ( etimología ); y de realizar correctamente los ritos en el momento adecuado mediante el uso de kalpa ( ritual ) y jyotiṣa ( astrología ), dio origen a las seis disciplinas de los Vedāṇgas . ^{[ 47 ]} Las matemáticas surgieron como parte de las dos últimas disciplinas, ritual y astronomía (que también incluía la astrología). Dado que los Vedāṇgas precedieron inmediatamente al uso de la escritura en la antigua India, constituyeron la última literatura exclusivamente oral. Se expresaban en una forma mnemotécnica muy condensada, el sūtra (literalmente, "hilo"):

Los conocedores del sūtra saben que tiene pocos fonemas, carece de ambigüedad, contiene la esencia, lo abarca todo, no tiene pausas y es irreprochable. ^{[ 47 ]}

La extrema brevedad se logró mediante múltiples medios, que incluían el uso de puntos suspensivos "más allá de la tolerancia del lenguaje natural", ^{[ 47 ]} el uso de nombres técnicos en lugar de nombres descriptivos más largos, la abreviación de listas mencionando solo la primera y la última entrada, y el uso de marcadores y variables. ^{[ 47 ]} Los sūtras crean la impresión de que la comunicación a través del texto era "solo una parte de la instrucción completa. El resto de la instrucción debió haber sido transmitida por la llamada Guru-shishya parampara , 'sucesión ininterrumpida del maestro ( guru ) al estudiante ( śisya )', y no estaba abierta al público en general" y tal vez incluso se mantuvo en secreto. ^{[ 48 ]} La brevedad lograda en un sūtra se demuestra en el siguiente ejemplo del Baudhāyana Śulba Sūtra (700 a. C.).

En el período védico, el altar doméstico de fuego debía tener, según el ritual, una base cuadrada y estar constituido por cinco capas de ladrillos, con 21 ladrillos en cada capa. Un método para construir el altar consistía en dividir un lado del cuadrado en tres partes iguales usando una cuerda o soga, luego dividir el lado transversal (o perpendicular) en siete partes iguales, subdividiendo así el cuadrado en 21 rectángulos congruentes. Los ladrillos se diseñaban con la forma del rectángulo constituyente y se creaba la capa. Para formar la siguiente capa, se usaba la misma fórmula, pero los ladrillos se disponían transversalmente. ^{[ 49 ]} El proceso se repetía tres veces más (con direcciones alternas) para completar la construcción. En el Baudhāyana Śulba Sūtra , este procedimiento se describe con las siguientes palabras:

II.64. Después de dividir el cuadrilátero en siete, se divide la cuerda transversal en tres. II.65. En otra capa se colocan los ladrillos apuntando al norte. ^{[ 49 ]}

Según Filliozat, ^{[ 50 ]} el oficiante que construye el altar tiene a su disposición solo unas pocas herramientas y materiales: una cuerda (sánscrito, rajju , f.), dos clavijas (sánscrito, śanku , m.) y arcilla para hacer los ladrillos (sánscrito, iṣṭakā , f.). La concisión se logra en el sūtra al no mencionar explícitamente a qué califica el adjetivo "transversal"; sin embargo, de la forma femenina del adjetivo (sánscrito) utilizado, se infiere fácilmente que califica a "cuerda". De manera similar, en la segunda estrofa, los "ladrillos" no se mencionan explícitamente, pero se infieren nuevamente por la forma plural femenina de "apuntando al norte". Finalmente, la primera estrofa nunca dice explícitamente que la primera capa de ladrillos esté orientada en la dirección este-oeste, pero eso también está implícito por la mención explícita de "apuntando al norte" en la segunda estrofa; pues, si la orientación debía ser la misma en ambas capas, no se mencionaría en absoluto o solo se mencionaría en la primera estrofa. Todas estas inferencias las hace el oficiante al recordar la fórmula de memoria. ^{[ 49 ]}

Surya Siddhanta

Aunque se desconoce su autoría, el Surya Siddhanta (c. 400) contiene las raíces de la trigonometría moderna . Debido a que contiene muchas palabras de origen extranjero, algunos autores consideran que fue escrito bajo la influencia de Mesopotamia y Grecia. ^{[ 71 ]}

Este texto antiguo utiliza por primera vez las siguientes funciones trigonométricas:

• Seno ( Jya ).
• Coseno ( Kojya ).
• Seno inverso ( Otkram jya ).

Matemáticos indios posteriores, como Aryabhata, hicieron referencia a este texto, mientras que las traducciones posteriores al árabe y al latín tuvieron una gran influencia en Europa y Oriente Medio.

Calendario Chhedi

Este calendario Chhedi (594) contiene un uso temprano del moderno sistema de numeración hindú-arábigo posicional que ahora se utiliza universalmente.

Aryabhata I

Aryabhata (476–550) escribió el Aryabhatiya. En él describió los principios fundamentales de las matemáticas en 332 shlokas . El tratado contenía:

• Ecuaciones cuadráticas
• Trigonometría
• El valor de π , con cuatro decimales de precisión.

Aryabhata también escribió el Arya Siddhanta , que ahora está perdido. Las contribuciones de Aryabhata incluyen:

Trigonometría:

(Ver también  : tabla de senos de Aryabhata )

• Introdujo las funciones trigonométricas .
• Definió el seno ( jya ) como la relación moderna entre la mitad de un ángulo y la mitad de una cuerda.
• Definió el coseno ( kojya ).
• Definió el versine ( utkrama-jya ).
• Definió el seno inverso ( otkram jya ).
• Dio métodos para calcular sus valores numéricos aproximados.
• Contiene las primeras tablas de valores de seno, coseno y verseno, en intervalos de 3,75° desde 0° hasta 90°, con una precisión de 4 decimales.
• Contiene la fórmula trigonométrica sin( n + 1) x − sin nx = sin nx − sin( n − 1) x − (1/225)sin nx .
• Trigonometría esférica .

Aritmética:

• Fracciones continuas simples .

Álgebra:

• Soluciones de sistemas de ecuaciones cuadráticas.
• Soluciones de ecuaciones lineales con números enteros mediante un método equivalente al método moderno.
• Solución general de la ecuación lineal indeterminada.

Astronomía matemática:

• Cálculos precisos para constantes astronómicas, tales como:
  • Eclipse solar .
  • Eclipse lunar .
  • La fórmula para la suma de los cubos , que fue un paso importante en el desarrollo del cálculo integral. ^{[ 72 ]}

Varahamihira

Varahamihira (505–587) escribió el Pancha Siddhanta ( Los cinco cánones astronómicos ). Realizó importantes contribuciones a la trigonometría, incluyendo tablas de seno y coseno con una precisión de cuatro decimales y las siguientes fórmulas que relacionan las funciones seno y coseno :

• ${\displaystyle \sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1}$
• ${\displaystyle \sin(x)=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)}$
• ${\displaystyle {\frac {1-\cos(2x)}{2}}=\sin ^{2}(x)}$

En el siglo VII, comenzaron a surgir en las matemáticas indias dos campos distintos: la aritmética (que incluía la medición ) y el álgebra . Estos dos campos serían posteriormente denominados pāṭī-gaṇita (literalmente "matemáticas de algoritmos") y bīja-gaṇita (literalmente "matemáticas de semillas", donde "semillas" —como las semillas de las plantas— representan incógnitas con el potencial de generar, en este caso, las soluciones de ecuaciones). ^{[ 73 ]} Brahmagupta , en su obra astronómica Brāhma Sphuṭa Siddhānta (628 d. C.), incluyó dos capítulos (12 y 18) dedicados a estos campos. El capítulo 12, que contiene 66 versos en sánscrito, se dividió en dos secciones: «operaciones básicas» (que incluyen raíces cúbicas, fracciones, razón y proporción, e intercambio) y «matemáticas prácticas» (que incluyen mezclas, series matemáticas, figuras planas, apilamiento de ladrillos, aserrado de madera y apilamiento de grano). ^{[ 74 ]} En esta última sección, enunció su famoso teorema sobre las diagonales de un cuadrilátero cíclico : ^{[ 74 ]}

Teorema de Brahmagupta: Si un cuadrilátero cíclico tiene diagonales perpendiculares entre sí, entonces la línea perpendicular trazada desde el punto de intersección de las diagonales a cualquier lado del cuadrilátero siempre biseca el lado opuesto.

El capítulo 12 también incluía una fórmula para el área de un cuadrilátero cíclico (una generalización de la fórmula de Herón ), así como una descripción completa de los triángulos racionales ( es decir, triángulos con lados racionales y áreas racionales).

Fórmula de Brahmagupta: El área, A , de un cuadrilátero cíclico con lados de longitudes a , b , c , d , respectivamente, viene dada por

${\displaystyle A={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}\,}$

donde s , el semiperímetro , dado por${\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}.}$

Teorema de Brahmagupta sobre triángulos racionales: Un triángulo con lados racionales${\displaystyle a,b,c}$y el área racional tiene la forma:

${\displaystyle a={\frac {u^{2}}{v}}+v,\ \ b={\frac {u^{2}}{w}}+w,\ \ c={\frac {u^{2}}{v}}+{\frac {u^{2}}{w}}-(v+w)}$

para algunos números racionales${\displaystyle u,v,}$y${\displaystyle w}$. ^{[ 75 ]}

El capítulo 18 contenía 103 versículos sánscritos que comenzaban con reglas para operaciones aritméticas que involucraban cero y números negativos ^{[ 74 ]} y se considera el primer tratamiento sistemático del tema. Las reglas (que incluían${\displaystyle a+0=\ a}$y${\displaystyle a\times 0=0}$) eran todas correctas, con una excepción:${\displaystyle {\frac {0}{0}}=0}$. ^{[ 74 ]} Más adelante en el capítulo, dio la primera solución explícita (aunque todavía no completamente general) de la ecuación cuadrática :

${\displaystyle \ ax^{2}+bx=c}$

Al número absoluto multiplicado por cuatro veces el [coeficiente del] cuadrado, se le suma el cuadrado del [coeficiente del] término central; la raíz cuadrada de este, menos el [coeficiente del] término central, dividida por el doble del [coeficiente del] cuadrado, es el valor. ^{[ 76 ]}

Esto es equivalente a:

${\displaystyle x={\frac {{\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}}$

También en el capítulo 18, Brahmagupta pudo avanzar en la búsqueda de soluciones (integrales) de la ecuación de Pell , ^{[ 77 ].}

${\displaystyle \ x^{2}-Ny^{2}=1,}$

dónde${\displaystyle N}$es un entero no cuadrado. Lo hizo descubriendo la siguiente identidad: ^{[ 77 ]}

La identidad de Brahmagupta:${\displaystyle \ (x^{2}-Ny^{2})(x'^{2}-Ny'^{2})=(xx'+Nyy')^{2}-N(xy'+x'y)^{2}}$ que era una generalización de una identidad anterior de Diofanto : ^{[ 77 ]} Brahmagupta usó su identidad para probar el siguiente lema: ^{[ 77 ]}

Lema (Brahmagupta): Si${\displaystyle x=x_{1},\ \ y=y_{1}\ \ }$es una solución de${\displaystyle \ \ x^{2}-Ny^{2}=k_{1},}$y, ${\displaystyle x=x_{2},\ \ y=y_{2}\ \ }$es una solución de${\displaystyle \ \ x^{2}-Ny^{2}=k_{2},}$, entonces:

${\displaystyle x=x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2},\ \ y=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\ \ }$es una solución de${\displaystyle \ x^{2}-Ny^{2}=k_{1}k_{2}}$

Luego utilizó este lema para generar infinitas soluciones (enteras) de la ecuación de Pell, dada una solución, y enunciar el siguiente teorema:

Teorema (Brahmagupta): Si la ecuación${\displaystyle \ x^{2}-Ny^{2}=k}$tiene una solución entera para cualquiera de${\displaystyle \ k=\pm 4,\pm 2,-1}$Luego, la ecuación de Pell:

${\displaystyle \ x^{2}-Ny^{2}=1}$

También tiene una solución entera. ^{[ 78 ]}

Brahmagupta en realidad no demostró el teorema, sino que desarrolló ejemplos utilizando su método. El primer ejemplo que presentó fue: ^{[ 77 ]}

Ejemplo (Brahmagupta): Hallar números enteros${\displaystyle \ x,\ y\ }$de tal manera que:

${\displaystyle \ x^{2}-92y^{2}=1}$

En su comentario, Brahmagupta añadió: «Una persona que resuelva este problema en un año es un matemático». ^{[ 77 ]} La solución que proporcionó fue:

${\displaystyle \ x=1151,\ y=120}$

Bhaskara I

Bhaskara I (c. 600–680) amplió el trabajo de Aryabhata en sus libros titulados Mahabhaskariya , Aryabhatiya-bhashya y Laghu-bhaskariya . Produjo:

• Soluciones de ecuaciones indeterminadas.
• Una aproximación racional de la función seno .
• Una fórmula para calcular el seno de un ángulo agudo sin utilizar una tabla, con dos decimales de precisión.

Virasena

Virasena (siglo VIII) fue un matemático jainista en la corte del rey Rashtrakuta Amoghavarsha de Manyakheta , Karnataka. Escribió el Dhavala , un comentario sobre las matemáticas jainistas, que:

• Trata sobre el concepto de ardhaccheda , el número de veces que un número puede dividirse por la mitad, y enumera varias reglas que involucran esta operación. Esto coincide con el logaritmo binario cuando se aplica a potencias de dos , ^{[ 79 ] [ 80 ]} pero difiere en otros números, asemejándose más al orden 2-ádico .

Virasena también dio:

• La obtención del volumen de un tronco de pirámide mediante una especie de procedimiento infinito.

Se cree que gran parte del material matemático del Dhavala puede atribuirse a escritores anteriores, especialmente Kundakunda, Shamakunda, Tumbulura, Samantabhadra y Bappadeva, quienes escribieron entre el 200 y el 600  d. C. ^{[ 80 ]}

Mahavira

Mahavira Acharya (c. 800–870), originario de Karnataka , el último de los notables matemáticos jainistas, vivió en el siglo IX y fue patrocinado por el rey Rashtrakuta Amoghavarsha. Escribió un libro titulado Ganit Saar Sangraha sobre matemáticas numéricas, y también tratados sobre una amplia gama de temas matemáticos. Estos incluyen las matemáticas de:

• Cero
• Cuadrícula
• Cubos
• raíces cuadradas , raíces cúbicas y las series que se extienden más allá de estas
• Geometría plana
• Geometría sólida
• Problemas relacionados con la proyección de sombras
• Fórmulas derivadas para calcular el área de una elipse y un cuadrilátero inscritos en un círculo .

Mahavira también:

• Afirmó que la raíz cuadrada de un número negativo no existía.
• Dio la suma de una serie cuyos términos son cuadrados de una progresión aritmética , y dio reglas empíricas para el área y el perímetro de una elipse.
• Ecuaciones cúbicas resueltas.
• Ecuaciones cuárticas resueltas.
• Resolví algunas ecuaciones quíntuples y polinomios de orden superior .
• Se proporcionaron las soluciones generales de las ecuaciones polinómicas de orden superior:
  • ${\displaystyle \ ax^{n}=q}$
  • ${\displaystyle a{\frac {x^{n}-1}{x-1}}=p}$
• Resolví ecuaciones cuadráticas indeterminadas.
• Resolví ecuaciones cúbicas indeterminadas.
• Resolvió ecuaciones indeterminadas de orden superior.

Shridhara

Shridhara (c. 870–930), que vivió en Bengala , escribió los libros titulados Nav Shatika , Tri Shatika y Pati Ganita . Él dio:

• Una buena regla para calcular el volumen de una esfera .
• La fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas .

El Pati Ganita es una obra sobre aritmética y medición . Trata sobre diversas operaciones, entre ellas:

• Operaciones elementales
• Extracción de raíces cuadradas y cúbicas.
• Fracciones.
• Se dan ocho reglas para las operaciones que involucran el cero.
• Métodos de suma de diferentes series aritméticas y geométricas, que se convertirían en referencias estándar en trabajos posteriores.

Manjula

Las ecuaciones de Aryabhata fueron elaboradas en el siglo X por Manjula (también Munjala ), quien se dio cuenta de que la expresión ^{[ 81 ]}

${\displaystyle \ \sin w'-\sin w}$

podría expresarse aproximadamente como

${\displaystyle \ (w'-w)\cos w}$

Esto fue desarrollado posteriormente por su sucesor Bhaskara ii, encontrando así la derivada del seno. ^{[ 81 ]}

Aryabhata II

Aryabhata II (c. 920-1000) escribió un comentario sobre Shridhara y un tratado astronómico Maha-Siddhanta . El Maha-Siddhanta tiene 18 capítulos y analiza:

• Matemáticas numéricas ( Ank Ganit ).
• Álgebra.
• Soluciones de ecuaciones indeterminadas ( kuttaka ).

Shripati

Shripati Mishra (1019–1066) escribió los libros Siddhanta Shekhara , una obra importante sobre astronomía en 19 capítulos, y Ganit Tilaka , un tratado aritmético incompleto en 125 versos basado en una obra de Shridhara. Trabajó principalmente en:

• Permutaciones y combinaciones .
• Solución general del sistema de ecuaciones lineales indeterminadas simultáneas.

También fue autor de Dhikotidakarana , una obra de veinte versos sobre:

• Eclipse solar .
• Eclipse lunar .

El Dhruvamanasa es una obra de 105 versos sobre:

• Cálculo de longitudes planetarias
• eclipses .
• tránsitos planetarios .

Nemichandra Siddhanta Chakravati

Nemichandra Siddhanta Chakravati (c. 1100) fue autor de un tratado matemático titulado Gome-mat Saar .

Bhaskara II

Bhāskara II (1114–1185) fue un matemático y astrónomo que escribió varios tratados importantes, entre ellos el Siddhanta Shiromani , el Lilavati , el Bijaganita , el Gola Addhaya , el Griha Ganitam y el Karan Kautoohal . Varias de sus contribuciones fueron transmitidas posteriormente a Oriente Medio y Europa. Entre sus contribuciones se incluyen:

Aritmética:

• Cálculo de intereses
• Progresiones aritméticas y geométricas
• Geometría plana
• Geometría sólida
• La sombra del gnomon
• Soluciones de combinaciones
• Dio una demostración de que la división por cero es infinito .

Álgebra:

• El reconocimiento de un número positivo que tiene dos raíces cuadradas.
• Radicales .
• Operaciones con productos de naturaleza incierta.
• Las soluciones de:
  • Ecuaciones cuadráticas.
  • Ecuaciones cúbicas.
  • Ecuaciones cuárticas.
  • Ecuaciones con más de una incógnita.
  • Ecuaciones cuadráticas con más de una incógnita.
  • La forma general de la ecuación de Pell utilizando el método chakravala .
  • La ecuación cuadrática indeterminada general utilizando el método de Chakravala .
  • Ecuaciones cúbicas indeterminadas.
  • Ecuaciones cuárticas indeterminadas.
  • Ecuaciones polinómicas indeterminadas de orden superior.

Geometría:

• Dio una demostración del teorema de Pitágoras .

Cálculo:

• Concepto preliminar de diferenciación
• Descubrió el coeficiente diferencial .
• Enunciado en una versión temprana del teorema de Rolle , un caso especial del teorema del valor medio (uno de los teoremas más importantes del cálculo y el análisis).
• En su trabajo astronómico, Bhāskara da un resultado que parece un precursor de los métodos infinitesimales: si${\displaystyle x\approx y}$entonces${\displaystyle \sin(y)-\sin(x)\approx (y-x)\cos(y)}$Esto puede interpretarse como el descubrimiento de que el coseno es la derivada del seno, aunque él no desarrolló la noción de derivada. ^{[ 82 ]}
• Se calculó π , con una precisión de cinco decimales.
• Calculé el año solar con 9 decimales. ^{[ 83 ]}

Trigonometría:

• Desarrollos de la trigonometría esférica
• Las fórmulas trigonométricas:
  • ${\displaystyle \ \sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)}$
  • ${\displaystyle \ \sin(a-b)=\sin(a)\cos(b)-\sin(b)\cos(a)}$

La escuela Navya-Nyāya o Neológica de filosofía india fue fundada en el siglo XIII por el filósofo Gangesha Upadhyaya de Mithila . ^{[ 84 ]} Fue un desarrollo de la escuela Nyāya clásica. Otras influencias en Navya-Nyāya fueron la obra de los filósofos anteriores Vācaspati Miśra (900-980 d. C.) y Udayana (finales del siglo X).

El libro de Gangeśa, Tattvacintāmaṇi ("Joya del pensamiento de la realidad"), fue escrito en parte como respuesta al Khandanakhandakhādya de Śrīharśa, una defensa del Advaita Vedānta , que había ofrecido una serie de críticas exhaustivas a las teorías Nyāya del pensamiento y el lenguaje. ^{[ 85 ]} Navya-Nyāya desarrolló un lenguaje sofisticado y un esquema conceptual que le permitieron plantear, analizar y resolver problemas de lógica y epistemología. Consiste en nombrar cada objeto a analizar, identificar una característica distintiva para el objeto nombrado y verificar la pertinencia de la característica definitoria mediante pramanas . ^{[ 86 ]}

La escuela de astronomía y matemáticas de Kerala fue fundada por Madhava de Sangamagrama en Kerala, al sur de la India , e incluyó entre sus miembros a Parameshvara , Neelakanta Somayaji , Jyeshtadeva , Achyuta Pisharati , Melpathur Narayana Bhattathiri y Achyuta Panikkar. Floreció entre los siglos XIV y XVI, y los descubrimientos originales de la escuela parecen haber concluido con Narayana Bhattathiri (1559-1632). Al intentar resolver problemas astronómicos, los astrónomos de la escuela de Kerala crearon de forma independiente varios conceptos matemáticos importantes. Los resultados más importantes, el desarrollo en serie de funciones trigonométricas , se presentaron en verso sánscrito en un libro de Neelakanta llamado Tantrasangraha y en un comentario sobre esta obra, Tantrasangraha-vakhya, de autoría desconocida. Los teoremas se enunciaron sin demostración, pero las demostraciones de las series para el seno , el coseno y la tangente inversa se proporcionaron un siglo después en la obra Yuktibhāṣā (c.1500–c.1610), escrita en malayalam por Jyesthadeva . ^{[ 87 ]}

Su descubrimiento de estas tres importantes expansiones en serie del cálculo —varios siglos antes de que Isaac Newton y Gottfried Leibniz desarrollaran el cálculo en Europa— fue un logro. Sin embargo, la Escuela de Kerala no inventó el cálculo , ^{[ 88 ]} porque, si bien lograron desarrollar expansiones en serie de Taylor para las funciones trigonométricas importantes , no desarrollaron ni una teoría de la diferenciación o la integración , ni el teorema fundamental del cálculo . ^{[ 72 ]} Los resultados obtenidos por la Escuela de Kerala incluyen:

• La serie geométrica (infinita) :${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {\text{ for }}|x|<1}$^{[ 89 ]}
• Una demostración semi-rigurosa (véase la observación sobre "inducción" más adelante) del resultado:${\displaystyle 1^{p}+2^{p}+\cdots +n^{p}\approx {\frac {n^{p+1}}{p+1}}}$para n grande . ^{[ 87 ]}
• Uso intuitivo de la inducción matemática ; sin embargo, la hipótesis inductiva no se formuló ni se empleó en demostraciones. ^{[ 87 ]}
• Aplicaciones de ideas de (lo que se convertiría en) cálculo diferencial e integral para obtener series infinitas (de Taylor-Maclaurin) para sen x, cos x y arctan x. ^{[ 88 ]} El Tantrasangraha-vakhya da la serie en verso, que cuando se traduce a notación matemática, se puede escribir como: ^{[ 87 ]}

${\displaystyle r\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)={\frac {1}{1}}\cdot {\frac {ry}{x}}-{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {ry^{3}}{x^{3}}}+{\frac {1}{5}}\cdot {\frac {ry^{5}}{x^{5}}}-\cdots ,{\text{ where }}y/x\leq 1.}$

${\displaystyle r\sin x=x-x{\frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}+x{\frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}\cdot {\frac {x^{2}}{(4^{2}+4)r^{2}}}-\cdots }$

${\displaystyle r-\cos x=r{\frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}-r{\frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}{\frac {x^{2}}{(4^{2}-4)r^{2}}}+\cdots ,}$

donde, para r  =  1, la serie se reduce a la serie de potencias estándar para estas funciones trigonométricas, por ejemplo:

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }$

y

${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots }$

• Se utilizó la rectificación (cálculo de la longitud) del arco de un círculo para demostrar estos resultados. ( No se utilizó el método posterior de Leibniz, que empleaba la cuadratura, es decir, el cálculo del área bajo el arco del círculo ). ^{[ 87 ]}
• Uso de la expansión en serie de${\displaystyle \arctan x}$para obtener la fórmula de Leibniz para π : ^{[ 87 ]}

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots }$

• Una aproximación racional del error para la suma finita de su serie de interés. Por ejemplo, el error,${\displaystyle f_{i}(n+1)}$, (para n impar, e i = 1, 2, 3) para la serie:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\approx 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-\cdots +(-1)^{(n-1)/2}{\frac {1}{n}}+(-1)^{(n+1)/2}f_{i}(n+1)}$

${\displaystyle {\text{where }}f_{1}(n)={\frac {1}{2n}},\ f_{2}(n)={\frac {n/2}{n^{2}+1}},\ f_{3}(n)={\frac {(n/2)^{2}+1}{(n^{2}+5)n/2}}.}$

• Manipulación del término de error para derivar una serie de convergencia más rápida para${\displaystyle \pi }$: ^{[ 87 ]}

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\frac {3}{4}}+{\frac {1}{3^{3}-3}}-{\frac {1}{5^{3}-5}}+{\frac {1}{7^{3}-7}}-\cdots }$

• Utilizando la serie mejorada para derivar una expresión racional, ^{[ 87 ]} 104348/33215 para π correcto hasta nueve decimales, es decir  3.141592653.
• Uso de una noción intuitiva de límite para calcular estos resultados. ^{[ 87 ]}
• Un método semi-riguroso (véase la observación sobre límites más arriba) de diferenciación de algunas funciones trigonométricas. ^{[ 72 ]} Sin embargo, no formularon la noción de función , ni tenían conocimiento de las funciones exponenciales o logarítmicas.

Las obras de la escuela de Kerala fueron publicadas por primera vez para el mundo occidental por el inglés C. M. Whish en 1835. Según Whish, los matemáticos de Kerala habían " sentado las bases de un sistema completo de fluxiones " y estas obras abundaban " en formas y series fluxiónicas que no se encontraban en ninguna obra de países extranjeros " . ^{[ 90 ]}

Sin embargo, los resultados de Whish fueron casi completamente ignorados, hasta más de un siglo después, cuando los descubrimientos de la escuela de Kerala fueron investigados nuevamente por C. Rajagopal y sus asociados. Su trabajo incluye comentarios sobre las demostraciones de la serie arctan en Yuktibhāṣā presentadas en dos artículos, ^{[ 91 ] [ 92 ]} un comentario sobre la demostración de Yuktibhāṣā de las series seno y coseno ^{[ 93 ]} y dos artículos que proporcionan los versos sánscritos del Tantrasangrahavakhya para las series de arctan, seno y coseno (con traducción y comentario al inglés). ^{[ 94 ] [ 95 ]}

Parameshvara (c. 1370-1460) escribió comentarios sobre las obras de Bhaskara I , Aryabhata y Bhaskara II. Su Lilavati Bhasya , un comentario sobre Lilavati de Bhaskara II , contiene uno de sus descubrimientos importantes: una versión del teorema del valor medio . Nilakantha Somayaji (1444-1544) compuso el Tantra Samgraha (que "generó" un comentario anónimo posterior Tantrasangraha-vyakhya y un comentario adicional con el nombre Yuktidipaika , escrito en 1501). Elaboró ​​y amplió las contribuciones de Madhava.

Citrabhanu (c. 1530) fue un matemático del siglo XVI originario de Kerala que proporcionó soluciones enteras a 21 tipos de sistemas de dos ecuaciones algebraicas simultáneas con dos incógnitas. Estos tipos son todos los pares posibles de ecuaciones de las siguientes siete formas:

${\displaystyle {\begin{aligned}&x+y=a,\ x-y=b,\ xy=c,x^{2}+y^{2}=d,\\[8pt]&x^{2}-y^{2}=e,\ x^{3}+y^{3}=f,\ x^{3}-y^{3}=g\end{aligned}}}$

Para cada caso, Citrabhanu ofreció una explicación y justificación de su regla, así como un ejemplo. Algunas de sus explicaciones son algebraicas, mientras que otras son geométricas. Jyesthadeva (c. 1500–1575) fue otro miembro de la Escuela de Kerala. Su obra clave fue el Yukti-bhāṣā (escrito en malayalam, una lengua regional de Kerala). Jyesthadeva presentó demostraciones de la mayoría de los teoremas matemáticos y series infinitas descubiertos previamente por Madhava y otros matemáticos de la Escuela de Kerala.

Narayana Pandit fue un matemático del siglo XIV que compuso dos importantes obras matemáticas: un tratado de aritmética, Ganita Kaumudi , y un tratado de álgebra, Bijganita Vatamsa . Ganita Kaumudi es una de las obras más revolucionarias en el campo de la combinatoria, ya que desarrolla un método para la generación sistemática de todas las permutaciones de una secuencia dada. En su Ganita Kaumudi, Narayana propuso el siguiente problema sobre un rebaño de vacas y terneros:

Una vaca pare un ternero cada año. A partir de su cuarto año, cada ternero pare un ternero al comienzo de cada año. ¿Cuántas vacas y terneros habrá en total después de 20 años?

Traducido al lenguaje matemático moderno de secuencias de recurrencia :

N _n = N _n-1 + N _n-3 para n > 2 ,

con valores iniciales

N ₀ = N ₁ = N ₂ = 1 .

Los primeros términos son 1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, 41, 60, 88,... (secuencia A000930 en el OEIS ) . La razón límite entre términos consecutivos es la superrazón áurea . También se cree que Narayana es el autor de un elaborado comentario del Lilavati de Bhaskara II , titulado Ganita Kaumudia (o Karma-Paddhati ). ^{[ 96 ]}

• Keller, Agathe (2006), Expounding the Mathematical Seed. Vol. 1: The Translation: A Translation of Bhaskara I on the Mathematical Chapter of the Aryabhatiya , Basel, Boston, and Berlin: Birkhäuser Verlag, 172 pages, ISBN 978-3-7643-7291-0.
• Keller, Agathe (2006), Expounding the Mathematical Seed. Vol. 2: The Supplements: A Translation of Bhaskara I on the Mathematical Chapter of the Aryabhatiya , Basel, Boston, and Berlin: Birkhäuser Verlag, 206 pages, ISBN 978-3-7643-7292-7.
• Sarma, KV , ed. (1976), Āryabhaṭīya de Āryabhaṭa con el comentario de Sūryadeva Yajvan , edición crítica con introducción y apéndices, Nueva Delhi: Academia Nacional de Ciencias de la India.
• Sen, SN; Bag, AK, eds. (1983), Los Śulbasūtras de Baudhāyana, Āpastamba, Kātyāyana y Mānava , con texto, traducción al inglés y comentarios, Nueva Delhi: Academia Nacional de Ciencias de la India.
• Shukla, KS, ed. (1976), Āryabhaṭīya de Āryabhaṭa con el comentario de Bhāskara I y Someśvara , edición crítica con introducción, traducción al inglés, notas, comentarios e índices, Nueva Delhi: Academia Nacional de Ciencias de la India.
• Shukla, KS, ed. (1988), Āryabhaṭīya de Āryabhaṭa , edición crítica con introducción, traducción al inglés, notas, comentarios e índices, en colaboración con KV Sarma , Nueva Delhi: Academia Nacional de Ciencias de la India.