Representación matricial de las ecuaciones de Maxwell

En electromagnetismo , una rama de la física fundamental , las representaciones matriciales de las ecuaciones de Maxwell son una formulación de dichas ecuaciones que utiliza matrices , números complejos y cálculo vectorial . Estas representaciones son para un medio homogéneo , una aproximación para un medio no homogéneo . Se presentó una representación matricial para un medio no homogéneo mediante un par de ecuaciones matriciales. ^{[ 1 ]} Una sola ecuación que utiliza matrices de 4 × 4 es necesaria y suficiente para cualquier medio homogéneo. Para un medio no homogéneo, se requieren necesariamente matrices de 8 × 8. ^{[ 2 ]}

Las ecuaciones de Maxwell en el formalismo estándar del cálculo vectorial, en un medio no homogéneo con fuentes, son: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathbf {\nabla } }\cdot {\mathbf {D} }\left({\mathbf {r} },t\right)=\rho \,\\&{\mathbf {\nabla } }\times {\mathbf {H} }\left({\mathbf {r} },t\right)-{\frac {\partial }{\partial t}}{\mathbf {D} }\left({\mathbf {r} },t\right)={\mathbf {J} }\,\\&{\mathbf {\nabla } }\times {\mathbf {E} }\left({\mathbf {r} },t\right)+{\frac {\partial }{\partial t}}{\mathbf {B} }\left({\mathbf {r} },t\right)=0\,\\&{\mathbf {\nabla } }\cdot {\mathbf {B} }\left({\mathbf {r} },t\right)=0\,.\end{aligned}}}$

Se supone que el medio es lineal , es decir

${\displaystyle {\mathbf {D} }=\varepsilon \mathbf {E} \,,\quad \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} }$,

donde escalar${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon (\mathbf {r} ,t)}$es la permitividad del medio y escalar${\displaystyle \mu =\mu (\mathbf {r} ,t)}$la permeabilidad del medio (véase la ecuación constitutiva ). Para un medio homogéneo${\displaystyle \varepsilon }$y${\displaystyle \mu }$son constantes. La velocidad de la luz en el medio viene dada por

${\displaystyle v({\mathbf {r} },t)={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon ({\mathbf {r} },t)\,\mu ({\mathbf {r} },t)\,}}}}$.

En el vacío,${\displaystyle \varepsilon _{0}=\,}$8,85 × 10 ⁻¹² C ² ·N ⁻¹ ·m ⁻² y${\displaystyle \mu _{0}=4\pi \,}$× 10 ⁻⁷ H·m ⁻¹

Una forma posible de obtener la representación matricial requerida es utilizar el vector de Riemann-Silberstein ^{[ 4 ] [ 5 ]} dado por

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {F} }^{+}\left({\mathbf {r} },t\right)&={\frac {1}{\sqrt {2\,}}}\left[{\sqrt {\varepsilon ({\mathbf {r} },t)\,}}\,{\mathbf {E} }\left({\mathbf {r} },t\right)+{\rm {i}}\,{\frac {1}{\sqrt {\mu ({\mathbf {r} },t)\,}}}{\mathbf {B} }\left({\mathbf {r} },t\right)\right]\\{\mathbf {F} }^{-}\left({\mathbf {r} },t\right)&={\frac {1}{\sqrt {2\,}}}\left[{\sqrt {\varepsilon ({\mathbf {r} },t)\,}}\,{\mathbf {E} }\left({\mathbf {r} },t\right)-{\rm {i}}\,{\frac {1}{\sqrt {\mu ({\mathbf {r} },t)\,}}}{\mathbf {B} }\left({\mathbf {r} },t\right)\right]\,.\end{aligned}}}$

Si para un medio determinado${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon (\mathbf {r} ,t)}$y${\displaystyle \mu =\mu (\mathbf {r} ,t)}$son constantes escalares (o pueden tratarse como constantes escalares locales bajo ciertas aproximaciones), entonces los vectores${\displaystyle {\mathbf {F} }^{\pm }(\mathbf {r} ,t)}$satisfacer

${\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {i}}\,{\frac {\partial }{\partial t}}{\mathbf {F} }^{\pm }\left({\mathbf {r} },t\right)&=\pm v\,{\mathbf {\nabla } }\times {\mathbf {F} }^{\pm }\left({\mathbf {r} },t\right)-{\frac {1}{\sqrt {2\epsilon \,}}}({\rm {i}}\,{\mathbf {J} })\\{\mathbf {\nabla } }\cdot {\mathbf {F} }^{\pm }\left({\mathbf {r} },t\right)&={\frac {1}{\sqrt {2\varepsilon \,}}}(\rho )\,.\end{aligned}}}$

Así, utilizando el vector de Riemann-Silberstein, es posible reescribir las ecuaciones de Maxwell para un medio con constante${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon (\mathbf {r} ,t)}$y${\displaystyle \mu =\mu (\mathbf {r} ,t)}$como un par de ecuaciones constitutivas.

Para obtener una única ecuación matricial en lugar de un par, se construyen las siguientes nuevas funciones utilizando los componentes del vector de Riemann-Silberstein ^{[ 6 ].}

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi ^{+}({\mathbf {r} },t)&=\left[{\begin{array}{c}-F_{x}^{+}+{\rm {i}}F_{y}^{+}\\F_{z}^{+}\\F_{z}^{+}\\F_{x}^{+}+{\rm {i}}F_{y}^{+}\end{array}}\right]\,\quad \Psi ^{-}({\mathbf {r} },t)=\left[{\begin{array}{c}-F_{x}^{-}-{\rm {i}}F_{y}^{-}\\F_{z}^{-}\\F_{z}^{-}\\F_{x}^{-}-{\rm {i}}F_{y}^{-}\end{array}}\right]\,.\end{aligned}}}$

Los vectores para las fuentes son

${\displaystyle {\begin{aligned}W^{+}&=\left({\frac {1}{\sqrt {2\epsilon }}}\right)\left[{\begin{array}{c}-J_{x}+{\rm {i}}J_{y}\\J_{z}-v\rho \\J_{z}+v\rho \\J_{x}+{\rm {i}}J_{y}\end{array}}\right]\,\quad W^{-}=\left({\frac {1}{\sqrt {2\epsilon }}}\right)\left[{\begin{array}{c}-J_{x}-{\rm {i}}J_{y}\\J_{z}-v\rho \\J_{z}+v\rho \\J_{x}-{\rm {i}}J_{y}\end{array}}\right]\,.\end{aligned}}}$

Entonces,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ^{+}&=-v\left\{{\mathbf {M} }\cdot {\mathbf {\nabla } }\right\}\Psi ^{+}-W^{+}\,\\{\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ^{-}&=-v\left\{{\mathbf {M} }^{*}\cdot {\mathbf {\nabla } }\right\}\Psi ^{-}-W^{-}\,\end{aligned}}}$

donde * denota la conjugación compleja y la tripleta, M = [ M _x , M _y , M _z ] es un vector cuyos elementos componentes son matrices abstractas de 4×4 dadas por

${\displaystyle M_{x}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle M_{y}={\rm {i}}{\begin{bmatrix}0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\+1&0&0&0\\0&+1&0&0\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle M_{z}={\begin{bmatrix}+1&0&0&0\\0&+1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}\,.}$

Las matrices M componentes se pueden formar utilizando:

${\displaystyle \Omega ={\begin{bmatrix}{\mathbf {0} }&-{\mathbf {I} _{2}}\\{\mathbf {I} _{2}}&{\mathbf {0} }\end{bmatrix}}\,\qquad \beta ={\begin{bmatrix}{\mathbf {I} _{2}}&{\mathbf {0} }\\{\mathbf {0} }&-{\mathbf {I} _{2}}\end{bmatrix}}\,,}$

dónde${\displaystyle \mathbf {I} _{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\,,}$

de donde, obtener:

${\displaystyle M_{x}=-\beta \Omega ,\qquad M_{y}={\rm {i}}\Omega ,\qquad M_{z}=\beta \,.}$

Alternativamente, se puede utilizar la matriz${\displaystyle J=-\Omega \,.}$Que solo se diferencian por un signo. Para nuestro propósito, está bien usar tanto Ω como J. Sin embargo, tienen un significado diferente: J es contravariante y Ω es covariante . La matriz Ω corresponde a los corchetes de Lagrange de la mecánica clásica y J corresponde a los corchetes de Poisson .

Nótese la relación importante${\displaystyle \Omega =J^{-1}\,.}$

Cada una de las cuatro ecuaciones de Maxwell se obtiene a partir de la representación matricial. Esto se logra sumando y restando la fila I con la fila IV y la fila II con la fila III, respectivamente. Las tres primeras ecuaciones proporcionan las componentes y , x y z del rotacional , y la última proporciona las condiciones de divergencia .

Las matrices M son todas no singulares y todas son hermíticas . Además, satisfacen el álgebra usual ( tipo cuaternión ) de las matrices de Dirac , incluyendo:

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{x}M_{z}=-M_{z}M_{x}\,\\M_{y}M_{z}=-M_{z}M_{y}\,\\\\M_{x}^{2}=M_{y}^{2}=M_{z}^{2}=I\,\\\\M_{x}M_{y}=-M_{y}M_{x}={\rm {i}}M_{z}\,\\M_{y}M_{z}=-M_{z}M_{y}={\rm {i}}M_{x}\,\\M_{z}M_{x}=-M_{x}M_{z}={\rm {i}}M_{y}\,.\end{aligned}}}$

Los conjuntos (Ψ ^± , M ) no son únicos. Diferentes elecciones de Ψ ^± darían lugar a diferentes M , de modo que la terna M continúa satisfaciendo el álgebra de las matrices de Dirac. El Ψ ^± mediante el vector de Riemann-Silberstein tiene ciertas ventajas sobre las otras opciones posibles. ^{[ 5 ]} El vector de Riemann-Silberstein es bien conocido en la electrodinámica clásica y posee ciertas propiedades y usos interesantes. ^{[ 5 ]}

Para obtener la representación matricial de 4×4 de las ecuaciones de Maxwell, se han omitido las derivadas espaciales y temporales de ε( r , t ) y μ( r , t ) en las dos primeras ecuaciones. ε y μ se han tratado como constantes locales .

En un medio no homogéneo, las variaciones espaciales y temporales de ε = ε( r , t ) y μ = μ( r , t ) no son cero. Es decir, ya no son constantes locales . En lugar de usar ε = ε( r , t ) y μ = μ( r , t ), es ventajoso usar las dos funciones de laboratorio derivadas , a saber, la función de resistencia y la función de velocidad.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{ Velocity function:}}\,v({\mathbf {r} },t)&={\frac {1}{\sqrt {\epsilon ({\mathbf {r} },t)\mu ({\mathbf {r} },t)}}}\\{\text{Resistance function:}}\,h({\mathbf {r} },t)&={\sqrt {\frac {\mu ({\mathbf {r} },t)}{\epsilon ({\mathbf {r} },t)}}}\,.\end{aligned}}}$

En términos de estas funciones:

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{vh}}\,,\quad \mu ={\frac {h}{v}}}$.

Estas funciones aparecen en la representación matricial a través de sus derivadas logarítmicas ;

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {u} }({\mathbf {r} },t)&={\frac {1}{2v({\mathbf {r} },t)}}{\mathbf {\nabla } }v({\mathbf {r} },t)={\frac {1}{2}}{\mathbf {\nabla } }\left\{\ln v({\mathbf {r} },t)\right\}=-{\frac {1}{2}}{\mathbf {\nabla } }\left\{\ln n({\mathbf {r} },t)\right\}\\{\mathbf {w} }({\mathbf {r} },t)&={\frac {1}{2h({\mathbf {r} },t)}}{\mathbf {\nabla } }h({\mathbf {r} },t)={\frac {1}{2}}{\mathbf {\nabla } }\left\{\ln h({\mathbf {r} },t)\right\}\,\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle n({\mathbf {r} },t)={\frac {c}{v({\mathbf {r} },t)}}}$

es el índice de refracción del medio.

Las siguientes matrices surgen naturalmente en la representación matricial exacta de la ecuación de Maxwell en un medio

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {\Sigma } }=\left[{\begin{array}{cc}{\mathbf {\sigma } }&{\mathbf {0} }\\{\mathbf {0} }&{\mathbf {\sigma } }\end{array}}\right]\,\qquad {\mathbf {\alpha } }=\left[{\begin{array}{cc}{\mathbf {0} }&{\mathbf {\sigma } }\\{\mathbf {\sigma } }&{\mathbf {0} }\end{array}}\right]\,\qquad {\mathbf {I} }=\left[{\begin{array}{cc}{\mathbf {1} }&{\mathbf {0} }\\{\mathbf {0} }&{\mathbf {1} }\end{array}}\right]\,\end{aligned}}}$

donde Σ son las matrices de espín de Dirac y α son las matrices utilizadas en la ecuación de Dirac , y σ es la terna de matrices de Pauli.

${\displaystyle {\mathbf {\sigma } }=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})=\left[{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&-{\rm {i}}\\{\rm {i}}&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\right]}$

Finalmente, la representación matricial es

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\begin{array}{cc}{\mathbf {I} }&{\mathbf {0} }\\{\mathbf {0} }&{\mathbf {I} }\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cc}\Psi ^{+}\\\Psi ^{-}\end{array}}\right]-{\frac {{\dot {v}}({\mathbf {r} },t)}{2v({\mathbf {r} },t)}}\left[{\begin{array}{cc}{\mathbf {I} }&{\mathbf {0} }\\{\mathbf {0} }&{\mathbf {I} }\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cc}\Psi ^{+}\\\Psi ^{-}\end{array}}\right]+{\frac {{\dot {h}}({\mathbf {r} },t)}{2h({\mathbf {r} },t)}}\left[{\begin{array}{cc}{\mathbf {0} }&{\rm {i}}\beta \alpha _{y}\\{\rm {i}}\beta \alpha _{y}&{\mathbf {0} }\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cc}\Psi ^{+}\\\Psi ^{-}\end{array}}\right]\\&=-v({\mathbf {r} },t)\left[{\begin{array}{ccc}\left\{{\mathbf {M} }\cdot {\mathbf {\nabla } }+{\mathbf {\Sigma } }\cdot {\mathbf {u} }\right\}&&-{\rm {i}}\beta \left({\mathbf {\Sigma } }\cdot {\mathbf {w} }\right)\alpha _{y}\\-{\rm {i}}\beta \left({\mathbf {\Sigma } }^{*}\cdot {\mathbf {w} }\right)\alpha _{y}&\left\{{\mathbf {M} }^{*}\cdot {\mathbf {\nabla } }+{\mathbf {\Sigma } }^{*}\cdot {\mathbf {u} }\right\}\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cc}\Psi ^{+}\\\Psi ^{-}\end{array}}\right]-\left[{\begin{array}{cc}{\mathbf {I} }&{\mathbf {0} }\\{\mathbf {0} }&{\mathbf {I} }\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}W^{+}\\W^{-}\end{array}}\right]\,\end{aligned}}}$

La representación anterior contiene trece matrices de 8 × 8. Diez de ellas son hermíticas . Las excepcionales son las que contienen las tres componentes de w ( r , t ), el gradiente logarítmico de la función de resistencia. Estas tres matrices, para la función de resistencia, son antihermíticas .

Las ecuaciones de Maxwell se han expresado en forma matricial para un medio con permitividad variable ε = ε( r , t ) y permeabilidad μ = μ( r , t ), en presencia de fuentes. Esta representación utiliza una única ecuación matricial, en lugar de un par de ecuaciones matriciales. En esta representación, utilizando matrices de 8 × 8, ha sido posible separar la dependencia del acoplamiento entre las componentes superiores (Ψ ⁺ ) y las componentes inferiores (Ψ ⁻ ) a través de las dos funciones de laboratorio. Además, la representación matricial exacta tiene una estructura algebraica muy similar a la ecuación de Dirac. ^{[ 2 ]} Las ecuaciones de Maxwell pueden derivarse del principio de Fermat de la óptica geométrica mediante el proceso de "wavización" análogo a la cuantización de la mecánica clásica . ^{[ 7 ]}

Uno de los primeros usos de las formas matriciales de las ecuaciones de Maxwell fue el estudio de ciertas simetrías y sus similitudes con la ecuación de Dirac.

La forma matricial de las ecuaciones de Maxwell se utiliza como candidata para la función de onda del fotón . ^{[ 8 ]}

Históricamente, la óptica geométrica se basa en el principio de Fermat del tiempo mínimo . La óptica geométrica puede derivarse completamente de las ecuaciones de Maxwell. Esto se hace tradicionalmente utilizando la ecuación de Helmholtz . La derivación de la ecuación de Helmholtz a partir de las ecuaciones de Maxwell es una aproximación, ya que se desprecian las derivadas espaciales y temporales de la permitividad y la permeabilidad del medio. Se ha desarrollado un nuevo formalismo de la óptica de haces de luz, partiendo de las ecuaciones de Maxwell en forma matricial: una única entidad que contiene las cuatro ecuaciones de Maxwell. Esta prescripción seguramente proporcionará una comprensión más profunda de la óptica de haces y la polarización de manera unificada. ^{[ 9 ]} El hamiltoniano óptico de haces derivado de esta representación matricial tiene una estructura algebraica muy similar a la ecuación de Dirac , lo que lo hace susceptible a la técnica de Foldy-Wouthuysen . ^{[ 10 ]} Este enfoque es muy similar al desarrollado para la teoría cuántica de la óptica de haces de partículas cargadas. ^{[ 11 ]}