Fórmula de Mattig

La fórmula de Mattig fue una fórmula importante en cosmología observacional y astronomía extragaláctica que establece una relación entre la coordenada radial y el corrimiento al rojo de una fuente dada. Depende del modelo cosmológico utilizado y se emplea para calcular la distancia de luminosidad en función del corrimiento al rojo. ^{[ 1 ]}

Esta fórmula presupone una energía oscura nula y, por lo tanto, ya no es aplicable en modelos cosmológicos modernos como el modelo Lambda-CDM (que requiere una integración numérica para obtener la relación distancia-desplazamiento al rojo). Sin embargo, la fórmula de Mattig tuvo una importancia histórica considerable al ser la primera fórmula analítica para la relación distancia-desplazamiento al rojo para una densidad de materia arbitraria, lo que impulsó una investigación significativa en las décadas de 1960 y 1970 que intentaba medir dicha relación.

Derivada por W. Mattig en un artículo de 1958, ^{[ 2 ]} la formulación matemática de la relación es, ^{[ 3 ]}

${\displaystyle r_{1}={\frac {c}{R_{0}H_{0}}}{\frac {q_{0}z+(q_{0}-1)(-1+{\sqrt {1+2q_{0}z}})}{q_{0}^{2}(1+z)}}}$

Dónde,${\displaystyle r_{1}={\frac {d_{p}}{R}}={\frac {d_{c}}{R_{0}}}}$es la distancia de coordenadas radiales (distancia propia en la actualidad) de la fuente al observador, mientras que${\displaystyle d_{p}}$es la distancia adecuada y${\displaystyle d_{c}}$es la distancia comóvil .

${\displaystyle q_{0}=\Omega _{0}/2}$es el parámetro de desaceleración mientras${\displaystyle \Omega _{0}}$es la densidad de materia en el universo en la actualidad.

${\displaystyle R_{0}}$es factor de escala en la actualidad mientras${\displaystyle R}$es factor de escala en cualquier otro momento.

${\displaystyle H_{0}}$es la constante de Hubble en la actualidad y

${\displaystyle z}$es como siempre el corrimiento al rojo .

Esta ecuación solo es válida si${\displaystyle q_{0}>0}$. Cuando${\displaystyle q_{0}\leq 0}$el valor de${\displaystyle r_{1}}$no se puede calcular. Eso se deduce del hecho de que la derivación no supone una constante cosmológica y, sin una constante cosmológica,${\displaystyle q_{0}}$nunca es negativo.

A partir de la coordenada radial podemos calcular la distancia de luminosidad utilizando la siguiente fórmula:

${\displaystyle D_{L}\ =\ R_{0}r_{1}(1+z)={\frac {c}{H_{0}q_{0}^{2}}}\left[q_{0}z+(q_{0}-1)(-1+{\sqrt {1+2q_{0}z}})\right]}$

Cuando${\displaystyle q_{0}=0}$obtenemos otra expresión para la distancia de luminosidad usando la expansión de Taylor ,

${\displaystyle D_{L}={\frac {c}{H_{0}}}\left(z+{\frac {z^{2}}{2}}\right)}$

Pero en 1977 Terrell ideó una fórmula que es válida para todos${\displaystyle q_{0}\geq 0}$, ^{[ 4 ]}

${\displaystyle D_{L}={\frac {c}{H_{0}}}z\left[1+{\frac {z(1-q_{0})}{1+q_{0}z+{\sqrt {1+2q_{0}z}}}}\right]}$