Glosario de teoría del orden

Este es un glosario de algunos términos utilizados en diversas ramas de las matemáticas relacionados con los campos del orden , la retícula y la teoría de dominios . Cabe destacar que también hay disponible una lista estructurada de temas sobre el orden . Otros recursos útiles podrían ser los siguientes artículos de resumen:

• propiedades de completitud de órdenes parciales
• Leyes de distributividad de la teoría del orden

En lo que sigue, los pedidos parciales generalmente se denotarán simplemente por sus conjuntos portadores. Siempre que el significado previsto sea claro a partir del contexto,${\displaystyle \,\leq \,}$será suficiente para denotar el símbolo relacional correspondiente, incluso sin introducción previa. Además, < denotará el orden estricto inducido por${\displaystyle \,\leq .}$

• Acíclico . Una relación binaria es acíclica si no contiene "ciclos": equivalentemente, su cierre transitivo es antisimétrico . ^{[ 1 ]}
• Adjunto . Véase conexión de Galois .
• Topología de Alexandrov . Para un conjunto preordenado P , cualquier conjunto superior O es Alexandrov-abierto . Inversamente, una topología es Alexandrov si cualquier intersección de conjuntos abiertos es abierta.
• Conjunto parcialmente ordenado algebraico . Un conjunto parcialmente ordenado es algebraico si tiene una base de elementos compactos.
• Anticadena . Una anticadena es un conjunto parcialmente ordenado en el que no existen dos elementos comparables, es decir, no hay dos elementos distintos x e y tales que x ≤ y . En otras palabras, la relación de orden de una anticadena es simplemente la relación de identidad.
• Relación aproximada . Ver relación muy por debajo .
• Relación antisimétrica . Una relación homogénea R en un conjunto X es antisimétrica , si x R y e y R x implica x = y , para todos los elementos x , y en X.
• Antitono . Una función antitono f entre conjuntos parcialmente ordenados P y Q es una función tal que, para todos los elementos x , y de P , x ≤ y (en P ) implica f ( y ) ≤ f ( x ) (en Q ). Otro nombre para esta propiedad es inversión de orden . En análisis , en presencia de órdenes totales , tales funciones a menudo se denominan monótonamente decrecientes , pero esta no es una descripción muy conveniente cuando se trata de órdenes no totales. La noción dual se denomina monótona o preservadora de orden .
• Relación asimétrica . Unarelación homogénea R en un conjunto X es asimétrica si x R y implica no y R x , para todos los elementos x , y en X.
• Átomo . Un átomo en un conjunto parcialmente ordenado P con el elemento mínimo 0, es un elemento que es mínimo entre todos los elementos que son distintos de 0.
• Atómico . Un poset atómico P con elemento mínimo 0 es aquel en el que, para cada elemento distinto de cero x de P , existe un átomo a de P con a ≤ x .

• Base . Ver poset continuo .
• Relación binaria . Una relación binaria sobre dos conjuntos.${\displaystyle X{\text{ y }}Y}$es un subconjunto de su producto cartesiano${\displaystyle X\times Y.}$
• Álgebra booleana . Un álgebra booleana es un retículo distributivo con elemento mínimo 0 y elemento máximo 1, en el que cada elemento x tiene un complemento ¬ x , tal que x ∧ ¬ x = 0 y x ∨ ¬ x = 1.
• Conjunto parcialmente ordenado acotado . Un conjunto parcialmente ordenado acotado es aquel que tiene un elemento mínimo y un elemento máximo.
• Conjunto parcialmente ordenado completo . Un conjunto parcialmente ordenado es completo si cada uno de sus subconjuntos con algún límite superior también tiene un mínimo de dicho límite superior. La noción dual no es común.

• Cadena . Una cadena es un conjunto totalmente ordenado o un subconjunto totalmente ordenado de un poset. Véase también orden total .
• Cadena completa . Un conjunto parcialmente ordenado en el que cada cadena tiene un límite superior mínimo .
• Operador de cierre . Un operador de cierre en el poset P es una función C  : P → P que es monótona, idempotente y satisface C ( x ) ≥ x para todo x en P .
• Compacto . Un elemento x de un poset es compacto si es muy inferior a sí mismo, es decir, x << x . También se dice que tal x es finito .
• Comparables . Dos elementos x e y de un poset P son comparables si x ≤ y o y ≤ x .
• Grafo de comparabilidad . El grafo de comparabilidad de un poset ( P , ≤) es el grafo con conjunto de vértices P en el que las aristas son aquellos pares de elementos distintos de P que son comparables bajo ≤ (y, en particular, bajo su reducción reflexiva <).
• Álgebra booleana completa . Un álgebra booleana que es un retículo completo.
• Álgebra de Heyting completa . Un álgebra de Heyting que es un retículo completo se llama álgebra de Heyting completa. Esta noción coincide con los conceptos de marco y lugar .
• Retículo completo . Un retículo completo es un conjunto parcialmente ordenado en el que existen uniones (supremas) e intersecciones (ínfimos) arbitrarias (posiblemente infinitas).
• Orden parcial completo . Un orden parcial completo, o cpo , es un orden parcial completo dirigido (qv) con el elemento más pequeño.
• Relación completa . Sinónimo de relación conectada .
• Semirretículo completo . La noción de semirretículo completo se define de diferentes maneras. Como se explica en el artículo sobre completitud (teoría del orden) , cualquier conjunto parcialmente ordenado para el que existan todos los supremos o todos los ínfimos es ya un retículo completo. Por lo tanto, la noción de semirretículo completo se usa a veces para coincidir con la de retículo completo. En otros casos, los semirretículos completos (de encuentro) se definen como cpos completos acotados , que es posiblemente la clase más completa de conjuntos parcialmente ordenados que no son ya retículos completos.
• Retículo completamente distributivo . Un retículo completo es completamente distributivo si las uniones arbitrarias se distribuyen sobre las intersecciones arbitrarias.
• Completación . Una completación de un poset es una incrustación ordenada del poset en un retículo completo.
• Finalización por cortes . Sinónimo de finalización Dedekind–MacNeille .
• Relación conectada . Una relación total o completa R en un conjunto X tiene la propiedad de que para todos los elementos x , y de X , se cumple al menos una de las siguientes: x R y o y R x .
• Conjunto parcialmente ordenado continuo . Un conjunto parcialmente ordenado es continuo si tiene una base , es decir, un subconjunto B de P tal que cada elemento x de P es el supremo de un conjunto dirigido contenido en { y en B | y << x }.
• Función continua . Véase Scott-continuo .
• Recíproco . El recíproco <° de un orden < es aquel en el que x <° y siempre que y < x.
• Recubrimiento . Se dice que un elemento y de un poset P recubre un elemento x de P (y se llama recubrimiento de x ) si x < y y no hay ningún elemento z de P tal que x < z < y .
• cpo . Ver pedido parcial completo .

• dcpo . Ver orden parcial completa dirigida .
• Completación de Dedekind-MacNeille . La completación de Dedekind-MacNeille de un conjunto parcialmente ordenado es el retículo completo más pequeño que lo contiene.
• Orden denso . Unposet denso P es aquel en el que, para todos los elementos x e y en P con x < y , existe un elemento z en P tal que x < z < y . Un subconjunto Q de P es denso en P si para cualesquiera elementos x < y en P , existe un elemento z en Q tal que x < z < y .
• Desordenamiento . Una permutación de los elementos de un conjunto, de tal manera que ningún elemento aparece en su posición original.
• Conjunto dirigido . Unsubconjunto no vacío X de un poset P se llama dirigido si, para todos los elementos x e y de X , existe un elemento z de X tal que x ≤ z e y ≤ z . La noción dual se llama filtrado .
• Orden parcial completo dirigido . Se dice que un poset D es un poset completo dirigido, o dcpo , si todo subconjunto dirigido de D tiene un supremo.
• Distributiva . Un retículo L se llama distributivo si, para todo x , y y z en L , encontramos que x ∧ ( y ∨ z ) = ( x ∧ y ) ∨ ( x ∧ z ). Se sabe que esta condición es equivalente a su dual de orden. Un semirretículo de intersección es distributivo si para todo elemento a , b y x , a ∧ b ≤ x implica la existencia de elementos a' ≥ a y b' ≥ b tales que a' ∧ b' = x . Véase también completamente distributivo .
• Dominio . Dominio es un término general para objetos como los que se estudian en la teoría de dominios . Si se utiliza, requiere una definición adicional.
• Conjunto inferior . Ver conjunto inferior .
• Dual . Para un conjunto parcialmente ordenado ( P , ≤), el orden dual P ^d = ( P , ≥) se define estableciendo x ≥ y si y solo si y ≤ x . El orden dual de P se denota a veces por P ^op , y también se denomina orden opuesto o recíproco . Cualquier noción de la teoría del orden induce una noción dual, definida al aplicar la afirmación original al orden dual de un conjunto dado. Esto intercambia ≤ y ≥, encuentra y une, cero y unidad.

• Extensión . Para órdenes parciales ≤ y ≤′ en un conjunto X , ≤′ es una extensión de ≤ siempre que para todos los elementos x e y de X , x ≤ y implica que x ≤′ y .

• Filtro . Un subconjunto X de un poset P se llama filtro si es un conjunto superior filtrado. La noción dual se llama ideal .
• Filtrado . Un subconjunto no vacío X de un poset P se llama filtrado si, para todos los elementos x e y de X , existe un elemento z de X tal que z ≤ x y z ≤ y . La noción dual se llama dirigida .
• Elemento finito . Ver compacto .
• Marco . Un marco F es un retículo completo, en el cual, para cada x en F y cada subconjunto Y de F , la ley distributiva infinita x ∧${\displaystyle \bigvee }$Y =${\displaystyle \bigvee }${ x ∧ y | y en Y } se cumple. Los marcos también se conocen como locales y como álgebras de Heyting completas .

• Conexión de Galois . Dados dos conjuntos parcialmente ordenados P y Q , un par de funciones monótonas F : P → Q y G : Q → P se denomina conexión de Galois si F ( x ) ≤ y es equivalente a x ≤ G ( y ), para todo x en P e yen Q . F se denomina adjunto inferior de G y G se denomina adjunto superior de F .
• Elemento mayor . Para un subconjunto X de un conjunto parcialmente ordenado P , un elemento a de X se denomina elemento mayor de X si x ≤ a para todo elemento x en X. La noción dual se denomina elemento menor .
• Conjunto base . El conjunto base de un poset ( X , ≤) es el conjunto X sobre el cual se define el orden parcial ≤.

• Álgebra de Heyting . Un álgebra de Heyting H es un retículo acotado en el que la función f _a : H → H , dada por f _a ( x ) = a ∧ x , es el adjunto inferior de una conexión de Galois , para cada elemento a de H . El adjunto superior de f _a se denota entonces por g _a , con g _a ( x ) = a ⇒; x . Toda álgebra booleana es un álgebra de Heyting.
• Diagrama de Hasse . Un diagrama de Hasse es un tipo de diagrama matemático utilizado para representar un conjunto parcialmente ordenado finito, en forma de un dibujo de su reducción transitiva .
• Relación homogénea . Una relación homogénea en un conjunto${\displaystyle X}$es un subconjunto de${\displaystyle X\times X.}$Dicho de otro modo, es una relación binaria sobre${\displaystyle X}$y ella misma.

• Ideal . Un ideal es un subconjunto X de un poset P que es un conjunto inferior dirigido. La noción dual se llama filtro .
• Álgebra de incidencia . El álgebra de incidencia de un conjunto parcialmente ordenado es el álgebra asociativa de todas las funciones escalares definidas en intervalos, donde la suma y la multiplicación escalar se definen punto por punto, y la multiplicación se define como una convolución determinada; consulte el álgebra de incidencia para obtener más detalles.
• Ínfimo . Para un conjunto parcialmente ordenado P y un subconjunto X de P , el mayor elemento en el conjunto de cotas inferiores de X (si existe, lo cual puede no ser el caso) se llama ínfimo , intersección o mayor cota inferior de X. Se denota por inf X o${\displaystyle \bigwedge }$X . El ínfimo de dos elementos se puede escribir como inf{ x , y } o x ∧ y . Si el conjunto X es finito, se habla de un ínfimo finito . La noción dual se llama supremo .
• Intervalo . Para dos elementos a y b de un conjunto parcialmente ordenado P , el intervalo [ a , b ] es el subconjunto { x en P | a ≤ x ≤ b } de P. Si a ≤ b no se cumple, el intervalo estará vacío.
• Conjunto parcialmente ordenado finito de intervalos . Un conjunto parcialmente ordenado P es finito de intervalos si todo intervalo de la forma {x en P | x ≤ a} es un conjunto finito. ^{[ 2 ]}
• Inverso . Véase converso .
• Irreflexiva . Una relación R en un conjunto X es irreflexiva si no existe ningún elemento x en X tal que x R x .
• Isótono . Ver monótono .

• Unirse . Ver supremo .

• Retículo . Un retículo es un conjunto parcialmente ordenado en el que existen todas las uniones (supremas) e intersecciones (ínfimos) finitas no vacías.
• Elemento mínimo . Para un subconjunto X de un conjunto parcialmente ordenado P , un elemento a de X se denomina elemento mínimo de X si a ≤ x para todo elemento x en X. La noción dual se denomina elemento máximo .
• La longitud de una cadena es el número de elementos menos uno. Una cadena con 1 elemento tiene longitud 0, una con 2 elementos tiene longitud 1, etc.
• Lineal . Ver pedido total .
• Extensión lineal . Una extensión lineal de un orden parcial es una extensión que es un orden lineal, o un orden total.
• Locale . Un locale es un álgebra de Heyting completa . Los locales también se denominan marcos y aparecen en la dualidad de Stone y en la topología sin sentido .
• Conjunto parcialmente ordenado localmente finito . Un conjunto parcialmente ordenado P es localmente finito si cada intervalo [ a , b ] = { x en P | a ≤ x ≤ b } es un conjunto finito.
• Límite inferior . Un límite inferior de un subconjunto X de un conjunto parcialmente ordenado P es un elemento b de P tal que b ≤ x para todo x en X. La noción dual se llama límite superior .
• Conjunto inferior . Un subconjunto X de un poset P se llama conjunto inferior si, para todo elemento x en X y p en P , p ≤ x implica que p está contenido en X. La noción dual se llama conjunto superior .

• Cadena maximal . Una cadena en un conjunto parcialmente ordenado (poset) a la que no se puede añadir ningún elemento sin perder la propiedad de estar totalmente ordenada. Esta propiedad es más fuerte que la de una cadena saturada, ya que excluye la existencia de elementos menores o mayores que todos los elementos de la cadena. Una cadena saturada finita es maximal si y solo si contiene un elemento mínimo y un elemento máximo del poset.
• Elemento maximal . Un elemento maximal de un subconjunto X de un poset P es un elemento m de X tal que m ≤ x implica m = x , para todo x en X. La noción dual se llama elemento minimal .
• Elemento máximo . Sinónimo de elemento mayor. Para un subconjunto X de un conjunto parcialmente ordenado P , un elemento a de X se denomina elemento máximo de X si x ≤ a para todo elemento x en X. Un elemento máximo es necesariamente máximo , pero lo contrario no tiene por qué ser cierto.
• Reúnase . Véase ínfimo .
• Elemento mínimo . Un elemento mínimo de un subconjunto X de un poset P es un elemento m de X tal que x ≤ m implica m = x , para todo x en X. La noción dual se llama elemento maximal .
• Elemento mínimo . Sinónimo de elemento mínimo. Para un subconjunto X de un conjunto parcialmente ordenado P , un elemento a de X se denomina elemento mínimo de X si x ≥ a para todo elemento x en X. Un elemento mínimo es necesariamente mínimo , pero lo contrario no tiene por qué ser cierto.
• Monótona . Una función f entre conjuntos parcialmente ordenados P y Q es monótona si, para todos los elementos x , y de P , x ≤ y (en P ) implica f ( x ) ≤ f ( y ) (en Q ). Otros nombres para esta propiedad son isótona y preservadora del orden . En análisis , en presencia de órdenes totales , tales funciones a menudo se denominan monótonamente crecientes , pero esta no es una descripción muy conveniente cuando se trata de órdenes no totales. La noción dual se denomina antitónica o de inversión de orden .

• Dual de orden . El dual de orden de un conjunto parcialmente ordenado es el mismo conjunto con la relación de orden parcial reemplazada por su recíproca.
• Incrustaciones de orden . Una función f entre conjuntos parcialmente ordenados P y Q es una incrustación de orden si, para todos los elementos x , y de P , x ≤ y (en P ) es equivalente a f ( x ) ≤ f ( y ) (en Q ).
• Isomorfismo de orden . Una aplicación f : P → Q entre dos conjuntos parcialmente ordenados P y Q se denomina isomorfismo de orden si es biyectiva y tanto f como f ⁻¹ son funciones monótonas . De forma equivalente, un isomorfismo de orden es una incrustación de orden sobreyectiva.
• Preservando el orden . Ver monótono .
• Inversión de orden . Véase antítono .

• Orden parcial . Un orden parcial es una relación binaria reflexiva, antisimétrica y transitiva . En un ligero abuso de terminología, el término también se usa a veces para referirse no a dicha relación, sino a su conjunto parcialmente ordenado correspondiente .
• Conjunto parcialmente ordenado . Un conjunto parcialmente ordenado.${\displaystyle (P,\leq ),}$o poset para abreviar, es un conjunto${\displaystyle P}$junto con una orden parcial${\displaystyle \,\leq \,}$en${\displaystyle P.}$
• Conjunto parcialmente ordenado.
• Preorden . Un preorden es una relación binaria reflexivay transitiva . Dichos órdenes también pueden denominarse cuasiórdenes o preorden no estricto . El término preorden también se utiliza para denotar una relación binaria acíclica (también llamada digrafo acíclico ).
• Conjunto reservado . Un conjunto reservado.${\displaystyle (P,\leq )}$es un conjunto${\displaystyle P}$junto con un pedido anticipado${\displaystyle \,\leq \,}$en${\displaystyle P.}$
• Preservación . Se dice que una función f entre conjuntos parcialmente ordenados P y Q preserva supremas (uniones) si, para todos los subconjuntos X de P que tienen un supremo sup X en P , encontramos que sup{ f ( x ): x en X } existe y es igual a f (sup X ). Dicha función también se llama preservadora de uniones . Análogamente, se dice que f preserva uniones (o intersecciones) finitas, no vacías, dirigidas o arbitrarias. La propiedad recíproca se llama reflexión de uniones .
• Ideal primo . Un ideal I en un retículo L se denomina primo si, para todos los elementos x e y en L , x ∧ y en I implica x en I o y en I. La noción dual se denomina filtro primo . De forma equivalente, un conjunto es un filtro primo si y solo si su complemento es un ideal primo.
• Un filtro se denomina filtro principal si posee un elemento mínimo. De igual modo, un ideal principal es aquel cuyo elemento máximo es aquel que posee un elemento máximo. En estos casos,tanto el elemento mínimo como el máximo también pueden denominarse elementos principales .
• Proyección (operador) . Un automapa en un conjunto parcialmente ordenado que es monótono e idempotente bajo composición de funciones . Las proyecciones desempeñan un papel importante en la teoría de dominios .
• Pseudocomplemento . En un álgebra de Heyting , el elemento x ⇒; 0 se denomina pseudocomplemento de x . También se define como sup{ y  : y ∧ x = 0}, es decir, como la menor cota superior de todos los elementos y tales que y ∧ x = 0.

• Cuasiorden . Ver preorden .
• Cuasitransitiva . Una relación es cuasitransitiva si la relación sobre elementos distintos es transitiva. Transitiva implica cuasitransitiva y cuasitransitiva implica acíclica. ^{[ 1 ]}

• Reflexión . Se dice que una función f entre conjuntos parcialmente ordenados P y Q refleja supremas (uniones) si, para todo subconjunto X de P para el cual existe el supremo sup{ f ( x ): x en X } y es de la forma f ( s ) para algún s en P , entonces encontramos que sup X existe y que sup X = s . Análogamente, se dice que f refleja uniones (o encuentros) finitas, no vacías, dirigidas o arbitrarias. La propiedad recíproca se llama preservación de uniones .
• Reflexiva . Una relación binaria R en un conjunto X es reflexiva si x R x se cumple para cada elemento x en X.
• Residual . Un mapa dual adjunto a un mapeo residuado .
• Mapeo residual . Un mapeo monótono para el cual la preimagen de un conjunto descendente principal es nuevamente principal. Equivalentemente, un componente de una conexión de Galois.

• Cadena saturada . Una cadena en un conjunto parcialmente ordenado tal que no se puede añadir ningún elemento entre dos de sus elementos sin perder la propiedad de estar totalmente ordenado. Si la cadena es finita, esto significa que en cada par de elementos sucesivos, el mayor cubre al menor. Véase también cadena maximal.
• Disperso . Un orden total está disperso si no tiene ningún subconjunto densamente ordenado.
• Scott-continuo . Una función monótona f  : P → Q entre conjuntos parcialmente ordenados P y Q es Scott-continua si, para cada conjunto dirigido D que tiene un supremo sup D en P , el conjunto { fx | x en D } tiene el supremo f (sup D ) en Q. Dicho de otro modo, una función Scott-continua es aquella que preserva todos los supremos dirigidos. Esto es, de hecho, equivalente a ser continua con respecto a la topología de Scott en los conjuntos parcialmente ordenados respectivos.
• Dominio de Scott . Un dominio de Scott es un conjunto parcialmente ordenado que es un cpo algebraico completo acotado .
• Abierto de Scott . Ver topología de Scott .
• Topología de Scott . Para un poset P , un subconjunto O es Scott-abierto si es un conjunto superior y todos los conjuntos dirigidos D que tienen un supremo en O tienen una intersección no vacía con O. El conjunto de todos los conjuntos Scott-abiertos forma una topología , la topología de Scott .
• Semiretículo . Un semiretículo es un conjunto parcialmente ordenado en el que existen todos los puntos de unión finitos no vacíos (supremas) o todos los puntos de encuentro finitos no vacíos (ínfimos). Por consiguiente, se habla de un semiretículo de unión o de un semiretículo de encuentro .
• Elemento más pequeño . Ver elemento mínimo .
• Propiedad de Sperner de un conjunto parcialmente ordenado
• poset de Sperner
• Estrictamente Sperner poset
• Poset de Sperner fuertemente
• Orden estricta . Ver orden parcial estricta .
• Orden parcial estricto . Un orden parcial estricto es una relación binaria homogénea que es transitiva , irreflexiva y antisimétrica .
• Pedido anticipado estricto . Ver pedido parcial estricto .
• Supremo . Para un conjunto parcialmente ordenado P y un subconjunto X de P , el elemento más pequeño en el conjunto de cotas superiores de X (si existe, lo cual puede no ser el caso) se llama supremo , unión o cota superior más pequeña de X. Se denota por sup X o${\displaystyle \bigvee }$X . El supremo de dos elementos se puede escribir como sup{ x , y } o x ∨ y . Si el conjunto X es finito, se habla de un supremo finito . La noción dual se llama ínfimo .
• Consistencia de Suzumura . Una relación binaria R es consistente de Suzumura si x R ^∗ y implica que x R y o no y R x . ^{[ 1 ]}
• Relación simétrica . Una relación homogénea R en un conjunto X es simétrica, si x R y implica y R x , para todos los elementos x , y en X .

• Arriba . Ver unidad .
• Orden total . Un orden total T es un orden parcial en el que, para cada x e y enT , tenemos x ≤ y o y ≤ x . Los órdenes totales también se denominan órdenes lineales o cadenas .
• Relación total . Sinónimo de relación conectada .
• Relación transitiva . Una relación R en un conjunto X es transitiva si x R y ey R z implican x R z para todos los elementos x , y , z en X.
• Cierre transitivo . El cierre transitivo R ^∗ de una relación R consiste en todos los pares x , y para los cuales existe una cadena finita x R a , a R b , ..., z R y . ^{[ 1 ]}

• Unidad . El elemento más grande de un conjunto parcialmente ordenado P puede llamarse unidad o simplemente 1 (si existe). Otro término común para este elemento es máximo . Es el ínfimo del conjunto vacío y el supremo de P. La noción dual se llama cero .
• Molesto . Ver conjunto superior .
• Límite superior . Un límite superior de un subconjunto X de un poset P es un elemento b de P tal que x ≤ b para todo x en X. La noción dual se llama límite inferior .
• Conjunto superior . Un subconjunto X de un conjunto parcialmente ordenado P se llama conjunto superior si, para todo elemento x en X y p en P , x ≤ p implica que p está contenido en X. La noción dual se llama conjunto inferior .

• Valoración . Dado un retículo${\displaystyle X}$una valoración${\displaystyle \nu :X\to [0,1]}$es estricto (es decir,${\displaystyle \nu (\varnothing )=0}$), monótono, modular (es decir,${\displaystyle \nu (U)+\nu (V)=\nu (U\cup V)+\nu (U\cap V)}$) y positivo. Las valoraciones continuas son una generalización de las medidas.

• Relación de muy por debajo . En un conjunto parcialmente ordenado P , un elemento x está muy por debajo de y , escrito x << y , si para todos los subconjuntos dirigidos D de P que tienen un supremo, y ≤ sup D implica x ≤ d para algún d en D. También se dice que x se aproxima a y . Véase también teoría de dominios .
• Orden débil . Un orden parcial ≤ en un conjunto X es un orden débil siempre que el poset (X, ≤) sea isomorfo a una colección numerable de conjuntos ordenados por comparación de cardinalidad .

• Cero . El elemento más pequeño de un conjunto parcialmente ordenado P puede llamarse cero o simplemente 0 (si existe). Otro término común para este elemento es mínimo . Cero es el supremo del conjunto vacío y el ínfimo de P. La noción dual se llama unidad .

Las definiciones que se ofrecen aquí coinciden con las que se pueden encontrar en los siguientes libros de referencia estándar:

• BA Davey y HA Priestley, Introducción a las redes y el orden , 2ª edición, Cambridge University Press, 2002.
• G. Gierz, KH Hofmann, K. Keimel, JD Lawson, M. Mislove y DS Scott, Retículos y dominios continuos , en Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones , vol. 93, Cambridge University Press, 2003.

Definiciones específicas:

• Deng, Bangming (2008), Álgebras de dimensión finita y grupos cuánticos , Mathematical surveys and monographs, vol.  150, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4186-0