Propiedad de Sperner de un conjunto parcialmente ordenado

En matemáticas de la teoría del orden , se dice que un conjunto parcialmente ordenado graduado tiene la propiedad de Sperner (y por lo tanto se le llama poset de Sperner ) si ninguna anticadena dentro de él es mayor que el nivel de rango más grande (uno de los conjuntos de elementos del mismo rango) en el poset. ^{[ 1 ]} Dado que cada nivel de rango es en sí mismo una anticadena, la propiedad de Sperner es equivalente a la propiedad de que algún nivel de rango es una anticadena máxima. ^{[ 2 ]} La propiedad de Sperner y los posets de Sperner reciben su nombre de Emanuel Sperner , quien demostró el teorema de Sperner que establece que la familia de todos los subconjuntos de un conjunto finito (parcialmente ordenado por inclusión de conjuntos) tiene esta propiedad. El retículo de particiones de un conjunto finito generalmente carece de la propiedad de Sperner. ^{[ 3 ]}

La red booleana formada por todos los subconjuntos de un conjunto de n elementos, ordenados por inclusión, satisface la propiedad de Sperner, como lo demuestra el teorema de Sperner.

Un poset k -Sperner es un poset graduado en el que ninguna unión de k anticadenas es mayor que la unión de los k niveles de rango más grandes, ^{[ 1 ]} o, equivalentemente, el poset tiene una k-familia máxima que consta de k niveles de rango. ^{[ 2 ]}

Un poset estricto de Sperner es un poset graduado en el que todas las anticadenas máximas son niveles de rango. ^{[ 2 ]}

Un poset fuertemente Sperner es un poset graduado que es k-Sperner para todos los valores de k hasta el valor de rango más grande. ^{[ 2 ]}