Significar

La media aritmética (o simplemente media o promedio ) de una lista de números es la suma de todos los números dividida por su frecuencia. De manera similar, la media de una muestra${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$, generalmente denotado por${\displaystyle {\bar {x}}}$es la suma de los valores muestreados dividida por el número de elementos en la muestra.

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}}$

Por ejemplo, la media aritmética de cinco valores: 4, 36, 45, 50, 75 es:

${\displaystyle {\frac {4+36+45+50+75}{5}}={\frac {210}{5}}=42.}$

La media geométrica es un promedio que resulta útil para conjuntos de números positivos, que se interpretan según su producto (como es el caso de las tasas de crecimiento) y no según su suma (como es el caso de la media aritmética): ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\bar {x}}=\left(\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^{\frac {1}{n}}=\left(x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\right)^{\frac {1}{n}}}$

Por ejemplo, la media geométrica de cinco valores: 4, 36, 45, 50, 75 es:

${\displaystyle (4\times 36\times 45\times 50\times 75)^{\frac {1}{5}}={\sqrt[{5}]{24\;300\;000}}=30.}$

La media armónica es un promedio que resulta útil para conjuntos de números que se definen en relación con alguna unidad , como en el caso de la velocidad (es decir, distancia por unidad de tiempo):

${\displaystyle {\bar {x}}=n\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\right)^{-1}}$

Por ejemplo, la media armónica de los cinco valores: 4, 36, 45, 50, 75 es

${\displaystyle {\frac {5}{{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{36}}+{\tfrac {1}{45}}+{\tfrac {1}{50}}+{\tfrac {1}{75}}}}={\frac {5}{\;{\tfrac {1}{3}}\;}}=15.}$

Si tenemos cinco bombas que pueden vaciar un tanque de cierto tamaño en 4, 36, 45, 50 y 75 minutos respectivamente, entonces la media armónica de${\displaystyle 15}$ nos dice que estas cinco bombas diferentes trabajando juntas bombearán a la misma velocidad que cinco bombas que pueden vaciar el tanque cada una en${\displaystyle 15}$minutos.

AM, GM y HM de números reales no negativos satisfacen estas desigualdades: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \mathrm {AM} \geq \mathrm {GM} \geq \mathrm {HM} \,}$

La igualdad se cumple si todos los elementos de la muestra dada son iguales.

La media de una distribución de probabilidad es el valor promedio aritmético a largo plazo de una variable aleatoria que tiene esa distribución. Si la variable aleatoria se denota por${\displaystyle X}$, entonces la media también se conoce como el valor esperado de${\displaystyle X}$(denotado${\displaystyle E(X)}$). Para una distribución de probabilidad discreta , la media viene dada por${\displaystyle \textstyle \sum xP(x)}$, donde la suma se toma sobre todos los valores posibles de la variable aleatoria y${\displaystyle P(x)}$es la función de probabilidad de masa . Para una distribución continua , la media es${\displaystyle \textstyle \int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx}$, dónde${\displaystyle f(x)}$es la función de densidad de probabilidad . ^{[ 7 ]} En todos los casos, incluidos aquellos en los que la distribución no es ni discreta ni continua, la media es la integral de Lebesgue de la variable aleatoria con respecto a su medida de probabilidad . La media no tiene por qué existir o ser finita; para algunas distribuciones de probabilidad la media es infinita ( + ∞ o − ∞ ), mientras que para otras la media no está definida .

La media generalizada, también conocida como media potencial o media de Hölder, abstrae varias otras medias. Se define para números positivos.${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$por ^{[ 1 ]}

${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}\right)^{1/p}.}$

Esto, en función de${\displaystyle p}$, está bien definido en${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$pero puede extenderse continuamente a${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}$. ^{[ 8 ]} Al elegir diferentes valores para${\displaystyle p}$Se recurre a otros medios bien conocidos.

Un enfoque similar a la media potencial es el${\displaystyle f}$-media, también conocida como media cuasi-aritmética. Para una función inyectiva${\displaystyle f\colon I\rightarrow \mathbb {R} }$a intervalos${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$y números reales${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in I}$nosotros definimos su${\displaystyle f}$-significa como

${\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{f\left(x_{i}\right)}}\right).}$

Al elegir diferentes funciones${\displaystyle f}$Se recurre a otros medios bien conocidos.