Desviación absoluta media

La desviación absoluta media ( DAM ) de un conjunto de datos es el promedio de las desviaciones absolutas respecto a un punto central . Es una estadística descriptiva de la dispersión o variabilidad estadística . En general, el punto central puede ser la media , la mediana , la moda o el resultado de cualquier otra medida de tendencia central o cualquier valor de referencia relacionado con el conjunto de datos. La DAM incluye la desviación absoluta media y la desviación absoluta mediana (ambas abreviadas como DAM ).

Medidas de dispersión

Varias medidas de dispersión estadística se definen en términos de la desviación absoluta. El término "desviación absoluta media" no identifica de forma unívoca una medida de dispersión estadística , ya que existen diversas medidas que pueden utilizarse para medir las desviaciones absolutas, así como diversas medidas de tendencia central . Por lo tanto, para identificar de forma unívoca la desviación absoluta, es necesario especificar tanto la medida de desviación como la medida de tendencia central. La literatura estadística aún no ha adoptado una notación estándar, ya que tanto la desviación absoluta media alrededor de la media como la desviación absoluta mediana alrededor de la mediana se han denotado con sus iniciales "MAD", lo que puede generar confusión, dado que generalmente presentan valores considerablemente diferentes entre sí.

Desviación absoluta media alrededor de un punto central

La desviación absoluta media de un conjunto $X = {x 1, x 2, \dots, x n}$ es: ${\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-m(X)|.$

La elección de la medida de tendencia central, $m(X)$ tiene un efecto marcado en el valor de la desviación media. Por ejemplo, para el conjunto de datos ${2, 2, 3, 4, 14}$ :

Desviación absoluta media alrededor de la media

La desviación absoluta media (DAM), también conocida como «desviación media» o, a veces, «desviación absoluta promedio», es la media de las desviaciones absolutas de los datos con respecto a su media: la distancia media (absoluta) a la media. El término «desviación absoluta promedio» puede referirse tanto a este uso como a la forma general con respecto a un punto central específico (véase más arriba).

Se ha propuesto utilizar la MAD en lugar de la desviación estándar, ya que se corresponde mejor con la vida real. ^{[ 1 ]} Debido a que la MAD es una medida de variabilidad más simple que la desviación estándar , puede ser útil en la enseñanza escolar. ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

La precisión de pronóstico de este método está estrechamente relacionada con el método del error cuadrático medio (ECM), que simplemente calcula el error cuadrático medio de los pronósticos. Si bien estos métodos están estrechamente relacionados, el MAD se usa con mayor frecuencia porque es más fácil de calcular (evitando la necesidad de elevar al cuadrado) ^{[ 4 ]} y más fácil de entender ^{[ 5 ] .}

Relación con la desviación estándar

Para la distribución normal , la razón entre la desviación absoluta media y la desviación estándar es ${\textstyle {\sqrt {2/\pi }}=0.79788456\ldots }$ . Por lo tanto, si $X$ es una variable aleatoria con distribución normal y valor esperado 0, entonces, véase Geary (1935): ^{[ 6 ]} $w={\frac {\operatorname {E} \left[|X|\right]}{\sqrt {\operatorname {E} \left[X^{2}\right]}}}={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,.$ En otras palabras, para una distribución normal, la desviación absoluta media es aproximadamente 0,8 veces la desviación estándar. Sin embargo, las mediciones dentro de la muestra proporcionan valores de la razón entre la desviación media y la desviación estándar para una muestra gaussiana dada $n$ con los siguientes límites: $w_{n}\en [0,1]$ , con un sesgo hacia $n$ pequeño . ^{[ 7 ]}

La desviación absoluta media con respecto a la media es menor o igual que la desviación estándar ; una forma de demostrar esto se basa en la desigualdad de Jensen .

Prueba

La desigualdad de Jensen es $\varphi \left(\operatorname {E} [Y]\right)\leq \operatorname {E} \left[\varphi (Y)\right]$ , dónde $\varphi$ es una función convexa, esto implica que $Y=\vert X-\mu \vert$ eso: $\left(\operatorname {E} \left[|X-\mu |\right]\right)^{2}\leq \operatorname {E} \left[|X-\mu |^{2}\right]=\operatorname {Var} (X)$

Dado que ambos lados son positivos y la raíz cuadrada es una función monótonamente creciente en el dominio positivo: $\operatorname {E} \left[|X-\mu |\right]\leq {\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}$

Para un caso general de esta afirmación, véase la desigualdad de Hölder .

Desviación absoluta media alrededor de la mediana

La mediana es el punto alrededor del cual se minimiza la desviación media. La mediana MAD ofrece una medida directa de la escala de una variable aleatoria alrededor de su mediana. $D_{\text{med}}=\operatorname {E} \left[|X-{\text{mediana}}|\right]$

Este es el estimador de máxima verosimilitud del parámetro de escala. $b$ de la distribución de Laplace .

Dado que la mediana minimiza la distancia absoluta promedio, tenemos $D_{\text{med}}\leq D_{\text{mean}}$ La desviación absoluta media respecto a la mediana es menor o igual que la desviación absoluta media respecto a la media. De hecho, la desviación absoluta media respecto a la mediana siempre es menor o igual que la desviación absoluta media respecto a cualquier otro número fijo.

Utilizando la función de dispersión general, Habib (2011) definió MAD alrededor de la mediana como $D_{\text{med}}=\operatorname {E} \left[|X-{\text{mediana}}|\right]=2\operatorname {Cov} (X,I_{O})$ donde se encuentra la función indicadora $\mathbf {I} _{O}:={\begin{cases}1&{\text{si }}x>{\text{mediana}},\\0&{\text{en otro caso}}.\end{cases}}$

Esta representación permite obtener coeficientes de correlación medianos MAD.

Desviación absoluta mediana alrededor de un punto central

Si bien en principio se podría tomar la media o cualquier otro punto central como punto central para la desviación absoluta mediana, lo más frecuente es que se tome el valor mediano .

Desviación absoluta mediana alrededor de la mediana

La desviación absoluta mediana (también MAD) es la mediana de la desviación absoluta con respecto a la mediana . Es un estimador robusto de la dispersión .

Para el ejemplo ${2, 2, 3, 4, 14}$ : 3 es la mediana, por lo que las desviaciones absolutas de la mediana son ${1, 1, 0, 1, 11}$ (reordenadas como ${0, 1, 1, 1, 11}$ ) con una mediana de 1, en este caso no afectada por el valor del valor atípico 14, por lo que la desviación absoluta mediana es 1.

Para una distribución simétrica, la desviación absoluta mediana es igual a la mitad del rango intercuartil .

Desviación absoluta máxima

La desviación absoluta máxima alrededor de un punto arbitrario es la máxima de las desviaciones absolutas de una muestra con respecto a ese punto. Si bien no es estrictamente una medida de tendencia central, la desviación absoluta máxima se puede encontrar utilizando la fórmula para la desviación absoluta promedio como se indicó anteriormente con $m(X)=\max(X)$ , dónde $\max(X)$ es el máximo de la muestra .

Minimización

Las medidas de dispersión estadística derivadas de la desviación absoluta caracterizan diversas medidas de tendencia central como minimizadoras de la dispersión: la mediana es la medida de tendencia central más asociada con la desviación absoluta. Algunos parámetros de localización se pueden comparar de la siguiente manera:

Estadísticas de norma $L2$ : la media minimiza elerror cuadrático medio $.$
Estadísticas de norma $L1$ : la mediana minimiza $la$ desviación absoluta media,
Estadísticas de norma $L$ $\infty$ : elrango mediominimiza ladesviación absolutamáxima.
Estadísticas de norma $L \infty$ recortadas : por ejemplo, el punto medio (promedio del primer y tercer cuartil ) que minimiza la desviación absoluta mediana de toda la distribución, también minimiza la desviación absoluta máxima de la distribución después de que se hayan recortado el 25% superior e inferior.

Estimación

La desviación absoluta media de una muestra es un estimador sesgado de la desviación absoluta media de la población. Para que la desviación absoluta sea un estimador insesgado, el valor esperado (promedio) de todas las desviaciones absolutas de la muestra debe ser igual a la desviación absoluta de la población. Sin embargo, no es así. Para la población 1, 2, 3, tanto la desviación absoluta de la población con respecto a la mediana como la desviación absoluta de la población con respecto a la media son 2/3. El promedio de todas las desviaciones absolutas de la muestra con respecto a la media de tamaño 3 que se pueden extraer de la población es 44/81, mientras que el promedio de todas las desviaciones absolutas de la muestra con respecto a la mediana es 4/9. Por lo tanto, la desviación absoluta es un estimador sesgado.

Sin embargo, este argumento se basa en la noción de insesgadez media. Cada medida de ubicación tiene su propia forma de insesgadez (véase la entrada sobre estimador sesgado ). La forma de insesgadez relevante en este caso es la insesgadez mediana.

Véase también

Referencias

↑ Taleb, Nassim Nicholas (2014). "¿Qué idea científica está lista para jubilarse?" . Edge . Archivado del original el 16 de enero de 2014 . Recuperado el 16 de enero de 2014 .{{cite web}}: CS1 maint: bot: estado de la URL original desconocido ( enlace )
↑ Kader, Gary (marzo de 1999). "Means and MADS" . Mathematics Teaching in the Middle School . 4 (6): 398– 403. doi : 10.5951/MTMS.4.6.0398 . Archivado del original el 18 de mayo de 2013. Recuperado el 20 de febrero de 2013 .
↑ Franklin, Christine, Gary Kader, Denise Mewborn, Jerry Moreno, Roxy Peck , Mike Perry y Richard Scheaffer (2007). Directrices para la evaluación y la instrucción en la enseñanza de la estadística (PDF) . Asociación Estadounidense de Estadística. ISBN 978-0-9791747-1-1. Archivado (PDF) del original el 07-03-2013 . Recuperado el 20-02-2013 .{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
↑ Nahmias, Steven; Olsen, Tava Lennon (2015), Análisis de producción y operaciones (7.ª ed.), Waveland Press, pág. 62, ISBN 9781478628248El MAD suele ser el método preferido para medir el error de pronóstico porque no requiere elevar al cuadrado.
↑ Stadtler, Hartmut; Kilger, Christoph; Meyr, Herbert, eds. (2014), Supply Chain Management and Advanced Planning: Concepts, Models, Software, and Case Studies , Springer Texts in Business and Economics (5.ª ed.), Springer, p. 143, ISBN 9783642553097El significado del MAD es más fácil de interpretar..
↑ Geary, RC (1935). La razón entre la desviación media y la desviación estándar como prueba de normalidad. Biometrika, 27(3/4), 310–332.
↑ Véanse también los artículos de Geary de 1936 y 1946: Geary, RC (1936). Momentos de la razón entre la desviación media y la desviación estándar para muestras normales. Biometrika, 28(3/4), 295–307 y Geary, RC (1947). Pruebas de normalidad. Biometrika, 34(3/4), 209–242.

Enlaces externos

Ventajas de la desviación absoluta media

[1] Taleb, Nassim Nicholas (2014). "¿Qué idea científica está lista para jubilarse?" . Edge . Archivado del original el 16 de enero de 2014 . Recuperado el 16 de enero de 2014 .{{cite web}}: CS1 maint: bot: estado de la URL original desconocido ( enlace )

[Kader1999-2] Kader, Gary (marzo de 1999). "Means and MADS" . Mathematics Teaching in the Middle School . 4 (6): 398– 403. doi : 10.5951/MTMS.4.6.0398 . Archivado del original el 18 de mayo de 2013. Recuperado el 20 de febrero de 2013 .

[GAISE-3] Franklin, Christine, Gary Kader, Denise Mewborn, Jerry Moreno, Roxy Peck , Mike Perry y Richard Scheaffer (2007). Directrices para la evaluación y la instrucción en la enseñanza de la estadística (PDF) . Asociación Estadounidense de Estadística. ISBN 978-0-9791747-1-1. Archivado (PDF) del original el 07-03-2013 . Recuperado el 20-02-2013 .{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )

[4] Nahmias, Steven; Olsen, Tava Lennon (2015), Análisis de producción y operaciones (7.ª ed.), Waveland Press, pág. 62, ISBN 9781478628248El MAD suele ser el método preferido para medir el error de pronóstico porque no requiere elevar al cuadrado.

[5] Stadtler, Hartmut; Kilger, Christoph; Meyr, Herbert, eds. (2014), Supply Chain Management and Advanced Planning: Concepts, Models, Software, and Case Studies , Springer Texts in Business and Economics (5.ª ed.), Springer, p. 143, ISBN 9783642553097El significado del MAD es más fácil de interpretar..

[6] Geary, RC (1935). La razón entre la desviación media y la desviación estándar como prueba de normalidad. Biometrika, 27(3/4), 310–332.

[7] Véanse también los artículos de Geary de 1936 y 1946: Geary, RC (1936). Momentos de la razón entre la desviación media y la desviación estándar para muestras normales. Biometrika, 28(3/4), 295–307 y Geary, RC (1947). Pruebas de normalidad. Biometrika, 34(3/4), 209–242.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ] .

[ 6 ]

[ 7 ]