Sistema dinámico que conserva la medida

En matemáticas , un sistema dinámico que conserva la medida es objeto de estudio en la formulación abstracta de sistemas dinámicos , y en particular en la teoría ergódica . Los sistemas que conservan la medida obedecen el teorema de recurrencia de Poincaré y son un caso especial de sistemas conservativos . Proporcionan la base formal y matemática para una amplia gama de sistemas físicos, y, en particular, para muchos sistemas de la mecánica clásica (especialmente la mayoría de los sistemas no disipativos ), así como para sistemas en equilibrio termodinámico .

Un sistema dinámico que preserva la medida se define como un espacio de probabilidad y una transformación que preserva la medida en él. En más detalle, es un sistema ^{[ 1 ].}

${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu ,T)}$

con la siguiente estructura:

• ${\displaystyle X}$es un conjunto,
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es un σ -álgebra sobre${\displaystyle X}$,
• ${\displaystyle \mu$ :{\mathcal {B}}\rightarrow [0,1]} es una medida de probabilidad , de modo que${\displaystyle \mu (X)=1}$, y${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$,
• ${\displaystyle T:X\rightarrow X}$es una transformación medible que conserva la medida${\displaystyle \mu }$, es decir,${\displaystyle \forall A\in {\mathcal {B}}\;\;\mu (T^{-1}(A))=\mu (A)}$.

Cabe preguntarse por qué la transformación que preserva la medida se define en términos de la inversa.${\displaystyle \mu (T^{-1}(A))=\mu (A)}$en lugar de la transformación hacia adelante${\displaystyle \mu (T(A))=\mu (A)}$Esto se puede entender intuitivamente.

Consideremos la medida típica en el intervalo unitario.${\displaystyle [0,1]}$y un mapa${\displaystyle Tx=2x\mod 1={\begin{cases}2x{\text{ si }}x<1/2\\2x-1{\text{ si }}x>1/2\\\end{cases}}}$Este es el mapa de Bernoulli . Ahora, distribuye una capa uniforme de pintura en el intervalo unitario.${\displaystyle [0,1]}$y luego trazar la pintura hacia adelante. La pintura en el${\displaystyle [0,1/2]}$La mitad se extiende en una capa fina sobre toda la superficie.${\displaystyle [0,1]}$y la pintura en el${\displaystyle [1/2,1]}$La mitad también. Las dos capas finas de pintura, superpuestas, recrean exactamente el mismo grosor de pintura.

En términos más generales, la pintura que llegaría al subconjunto${\displaystyle A\subset [0,1]}$proviene del subconjunto${\displaystyle T^{-1}(A)}$Para que el espesor de la pintura permanezca inalterado (conservando la medida), la masa de pintura entrante debe ser la misma:${\displaystyle \mu (A)=\mu (T^{-1}(A))}$.

Consideremos un mapeo${\displaystyle {\mathcal {T}}}$de conjuntos de potencias :

${\displaystyle {\mathcal {T}}:P(X)\to P(X)}$

Consideremos ahora el caso especial de los mapas.${\displaystyle {\mathcal {T}}}$que conservan intersecciones, uniones y complementos (de modo que es un mapa de conjuntos de Borel ) y también envía${\displaystyle X}$a${\displaystyle X}$(porque queremos que sea conservador ). Cada mapa conservador que preserva Borel puede especificarse mediante algún mapa sobreyectivo .${\displaystyle T:X\to X}$escribiendo${\displaystyle {\mathcal {T}}(A)=T^{-1}(A)}$Por supuesto, también se podría definir${\displaystyle {\mathcal {T}}(A)=T(A)}$, pero esto no es suficiente para especificar todos esos mapas posibles${\displaystyle {\mathcal {T}}}$Es decir, mapas conservadores que preservan la obra de Borel.${\displaystyle {\mathcal {T}}}$no puede, en general, escribirse de la forma${\displaystyle {\mathcal {T}}(A)=T(A);}$.

${\displaystyle \mu (T^{-1}(A))}$tiene la forma de un empuje hacia adelante , mientras que${\displaystyle \mu (T(A))}$Se denomina genéricamente retroceso . Casi todas las propiedades y comportamientos de los sistemas dinámicos se definen en términos del avance. Por ejemplo, el operador de transferencia se define en términos del avance de la transformación.${\displaystyle T}$; la medida${\displaystyle \mu }$Ahora se puede entender como una medida invariante ; es simplemente el vector propio de Frobenius-Perron del operador de transferencia (recordemos que el vector propio de FP es el vector propio más grande de una matriz; en este caso, es el vector propio que tiene el valor propio uno: la medida invariante).

Hay dos problemas de clasificación de interés. Uno, que se analiza a continuación, fija${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu )}$y pregunta sobre las clases de isomorfismo de un mapa de transformación${\displaystyle T}$. El otro, analizado en el operador de transferencia , fija${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$y${\displaystyle T}$y pregunta sobre mapas${\displaystyle \mu }$que son similares a una medida. Similares a una medida, en el sentido de que conservan las propiedades de Borel, pero ya no son invariantes; en general son disipativas y, por lo tanto, brindan información sobre los sistemas disipativos y el camino hacia el equilibrio.

En términos de física, el sistema dinámico que conserva la medida${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu ,T)}$A menudo describe un sistema físico que se encuentra en equilibrio, por ejemplo, equilibrio termodinámico . Uno podría preguntarse: ¿cómo llegó a ese estado? A menudo, la respuesta es mediante agitación, mezcla , turbulencia , termalización u otros procesos similares. Si un mapa de transformación${\displaystyle T}$describe esta agitación, mezcla, etc., luego el sistema${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu ,T)}$es todo lo que queda, después de que todos los modos transitorios se hayan disipado. Los modos transitorios son precisamente aquellos autovectores del operador de transferencia que tienen un autovalor menor que uno; la medida invariante${\displaystyle \mu }$es el único modo que no se desvanece. La tasa de decaimiento de los modos transitorios viene dada por (el logaritmo de) sus autovalores; el autovalor uno corresponde a una vida media infinita.

El conjunto microcanónico de la física proporciona un ejemplo informal. Consideremos, por ejemplo, un fluido, gas o plasma en una caja de ancho, largo y alto.${\displaystyle w\times l\times h,}$compuesto de${\displaystyle N}$átomos. Un solo átomo en esa caja podría estar en cualquier lugar, teniendo una velocidad arbitraria; estaría representado por un solo punto en${\displaystyle w\times l\times h\times \mathbb {R} ^{3}.}$Una colección dada de${\displaystyle N}$Los átomos serían entonces un único punto en algún lugar del espacio.${\displaystyle (w\times l\times h)^{N}\times \mathbb {R} ^{3N}.}$El "conjunto" es la colección de todos esos puntos, es decir, la colección de todas esas cajas posibles (de las cuales hay un número infinito incontable). Este conjunto de todas las cajas posibles es el espacio${\displaystyle X}$arriba.

En el caso de un gas ideal , la medida${\displaystyle \mu }$viene dada por la distribución de Maxwell-Boltzmann . Es una medida producto , en el sentido de que si${\displaystyle p_{i}(x,y,z,v_{x},v_{y},v_{z})\,d^{3}x\,d^{3}p}$es la probabilidad del átomo${\displaystyle i}$tener posición y velocidad${\displaystyle x,y,z,v_{x},v_{y},v_{z}}$, entonces, para${\displaystyle N}$átomos, la probabilidad es el producto de${\displaystyle N}$de estos. Se entiende que esta medida se aplica al conjunto. Por ejemplo, una de las posibles cajas en el conjunto tiene todos los átomos en un lado de la caja. Se puede calcular la probabilidad de esto, en la medida de Maxwell-Boltzmann. Será enormemente pequeña, del orden de${\displaystyle {\mathcal {O}}\left(2^{-3N}\right).}$ De todas las cajas posibles en el conjunto, esta es una fracción ridículamente pequeña.

La única razón por la que esto es un "ejemplo informal" es porque escribir la función de transición${\displaystyle T}$Es difícil, e incluso si se plasma por escrito, resulta complicado realizar cálculos prácticos con ella. Las dificultades se agravan si existen interacciones entre las partículas, como una interacción de van der Waals u otra interacción propia de un líquido o un plasma; en tales casos, la medida invariante deja de ser la distribución de Maxwell-Boltzmann. El arte de la física reside en encontrar aproximaciones razonables.

Este sistema sí muestra una idea clave de la clasificación de sistemas dinámicos que conservan la medida: dos conjuntos con temperaturas diferentes no son equivalentes. La entropía de un conjunto canónico dado depende de su temperatura; como sistemas físicos, es evidente que cuando las temperaturas difieren, también lo hacen los sistemas. Esto se cumple en general: los sistemas con diferente entropía no son isomorfos.

A diferencia del ejemplo informal anterior, los ejemplos que siguen están suficientemente bien definidos y son manejables como para que se puedan realizar cálculos explícitos y formales.

• μ podría ser la medida del ángulo normalizado dθ/2π en el círculo unitario , y T una rotación. Véase el teorema de equidistribución ;
• el esquema de Bernoulli ;
• la transformación de intercambio de intervalos ;
• con la definición de una medida apropiada, un subdesplazamiento de tipo finito ;
• el flujo base de un sistema dinámico aleatorio ;
• El flujo de un campo vectorial hamiltoniano en el fibrado tangente de una variedad lisa cerrada y conexa conserva la medida (usando la medida inducida en los conjuntos de Borel por la forma de volumen simpléctica ) por el teorema de Liouville (hamiltoniano) ; ^{[ 2 ]}
• Para ciertos mapas y procesos de Markov , el teorema de Krylov-Bogolyubov establece la existencia de una medida adecuada para formar un sistema dinámico que preserve la medida.

La definición de un sistema dinámico que preserva la medida puede generalizarse al caso en que T no es una única transformación que se itera para dar la dinámica del sistema, sino que es un monoide (o incluso un grupo , en cuyo caso tenemos la acción de un grupo sobre el espacio de probabilidad dado) de transformaciones T _s  : X → X parametrizadas por s ∈ Z (o R , o N ∪ {0}, o [0, +∞)), donde cada transformación T _s satisface los mismos requisitos que T anterior. ^{[ 2 ]} En particular, las transformaciones obedecen las reglas:

• ${\displaystyle T_{0}=\mathrm {id} _{X}:X\rightarrow X}$, la función identidad en X ;
• ${\displaystyle T_{s}\circ T_{t}=T_{t+s}}$, siempre que todos los términos estén bien definidos ;
• ${\displaystyle T_{s}^{-1}=T_{-s}}$, siempre que todos los términos estén bien definidos.

El caso anterior y más simple encaja en este marco definiendo T _s = T ^s para s ∈ N .

Se puede definir el concepto de homomorfismo e isomorfismo .

Consideremos dos sistemas dinámicos${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$y${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}},\nu ,S)}$Luego, un mapeo.

${\displaystyle \varphi :X\to Y}$

es un homomorfismo de sistemas dinámicos si satisface las siguientes tres propiedades:

1. El mapa${\displaystyle \varphi \ }$es medible .
2. Para cada${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$, uno tiene${\displaystyle \mu (\varphi ^{-1}B)=\nu (B)}$.
3. Para${\displaystyle \mu }$-casi todos${\displaystyle x\in X}$, uno tiene${\displaystyle \varphi (Tx)=S(\varphi x)}$.

El sistema${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}},\nu ,S)}$entonces se le llama factor de${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$.

El mapa${\displaystyle \varphi \;}$es un isomorfismo de sistemas dinámicos si, además, existe otra aplicación

${\displaystyle \psi :Y\to X}$

que también es un homomorfismo, que satisface

1. para${\displaystyle \mu }$-casi todos${\displaystyle x\in X}$, uno tiene${\displaystyle x=\psi (\varphi x)}$;
2. para${\displaystyle \nu }$-casi todos${\displaystyle y\in Y}$, uno tiene${\displaystyle y=\varphi (\psi y)}$.

Por lo tanto, se puede formar una categoría de sistemas dinámicos y sus homomorfismos.

Un punto x ∈ X se denomina punto genérico si la órbita del punto se distribuye uniformemente según la medida.

Consideremos un sistema dinámico${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},T,\mu )}$y sea Q = { Q ₁ , ..., Q _k } una partición de X en k conjuntos medibles disjuntos por pares. Dado un punto x ∈ X , es evidente que x pertenece solo a uno de los Q _i . De manera similar, el punto iterado T ⁿ x también puede pertenecer solo a una de las partes. El nombre simbólico de x , con respecto a la partición Q , es la secuencia de enteros { a _n } tal que

${\displaystyle T^{n}x\in Q_{a_{n}}.}$

El conjunto de nombres simbólicos con respecto a una partición se denomina dinámica simbólica del sistema dinámico. Una partición Q se denomina generadora o partición generadora si casi todos los puntos x tienen un nombre simbólico único.

Dada una partición Q = { Q ₁ , ..., Q _k } y un sistema dinámico${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},T,\mu )}$, definimos el retroceso T de Q como

${\displaystyle T^{-1}Q=\{T^{-1}Q_{1},\ldots ,T^{-1}Q_{k}\}.}$

Además, dadas dos particiones Q = { Q ₁ , ..., Q _k } y R = { R ₁ , ..., R _m }, defina su refinamiento como

${\displaystyle Q\vee R=\{Q_{i}\cap R_{j}\mid i=1,\ldots ,k,\ j=1,\ldots ,m,\ \mu (Q_{i}\cap R_{j})>0\}.}$

Con estas dos construcciones, el refinamiento de un retroceso iterado se define como

${\displaystyle {\begin{aligned}\bigvee _{n=0}^{N}T^{-n}Q&=\{Q_{i_{0}}\cap T^{-1}Q_{i_{1}}\cap \cdots \cap T^{-N}Q_{i_{N}}\\&{}\qquad {\mbox{ where }}i_{\ell }=1,\ldots ,k,\ \ell =0,\ldots ,N,\ \\&{}\qquad \qquad \mu \left(Q_{i_{0}}\cap T^{-1}Q_{i_{1}}\cap \cdots \cap T^{-N}Q_{i_{N}}\right)>0\}\\\end{aligned}}}$

que desempeña un papel crucial en la construcción de la entropía teórica de la medida de un sistema dinámico.

La entropía de una partición${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$se define como ^{[ 3 ] [ 4 ]}

${\displaystyle H({\mathcal {Q}})=-\sum _{Q\in {\mathcal {Q}}}\mu (Q)\log \mu (Q).}$

La entropía teórica de la medida de un sistema dinámico${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},T,\mu )}$con respecto a una partición Q = { Q ₁ , ..., Q _k } se define entonces como

${\displaystyle h_{\mu }(T,{\mathcal {Q}})=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}H\left(\bigvee _{n=0}^{N}T^{-n}{\mathcal {Q}}\right).}$

Finalmente, la métrica de Kolmogorov-Sinai o entropía teórica de la medida de un sistema dinámico.${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},T,\mu )}$se define como

${\displaystyle h_{\mu }(T)=\sup _{\mathcal {Q}}h_{\mu }(T,{\mathcal {Q}}).}$

donde el supremo se toma sobre todas las particiones medibles finitas. Un teorema de Yakov Sinai en 1959 muestra que el supremo se obtiene en realidad sobre particiones que son generadores. Así, por ejemplo, la entropía del proceso de Bernoulli es log  2, ya que casi todo número real tiene una expansión binaria única . Es decir, se puede particionar el intervalo unitario en los intervalos [ 0,  1/2 ) y [1/2,  1]. Todo número real x es menor que 1/2 o no; y de igual modo lo es la parte fraccionaria de ²ⁿ x .

Si el espacio X es compacto y está dotado de una topología, o es un espacio métrico, entonces también se puede definir la entropía topológica .

Si${\displaystyle T}$es un sistema ergódico, de expansión por partes y de Markov en${\displaystyle X\subset \mathbb {R} }$, y${\displaystyle \mu }$es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue, entonces tenemos la fórmula de Rokhlin ^{[ 5 ]} (sección 4.3 y sección 12.3 ^{[ 6 ]} ):$${\displaystyle h_{\mu }(T)=\int \ln |dT/dx|\mu (dx)}$$Esto permite calcular la entropía de muchos mapas de intervalos, como el mapa logístico .

Ergódico significa que${\displaystyle T^{-1}(A)=A}$implica${\displaystyle A}$tiene medida completa o medida cero. La expansión por partes y Markov significa que hay una partición de${\displaystyle X}$en un número finito de intervalos abiertos, de tal manera que para algún${\displaystyle \epsilon >0}$,${\displaystyle |T'|\geq 1+\epsilon }$en cada intervalo abierto. Markov significa que para cada${\displaystyle I_{i}}$de esos intervalos abiertos, ya sea${\displaystyle T(I_{i})\cap I_{i}=\emptyset }$o${\displaystyle T(I_{i})\cap I_{i}=I_{i}}$.

Una de las actividades principales en el estudio de los sistemas que preservan la medida es su clasificación según sus propiedades. Es decir,${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu )}$sea ​​un espacio de medida, y deje que${\displaystyle U}$sea ​​el conjunto de todos los sistemas que conservan la medida${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu ,T)}$Un isomorfismo ${\displaystyle S\sim T}$de dos transformaciones${\displaystyle S,T}$define una relación de equivalencia${\displaystyle {\mathcal {R}}\subset U\times U.}$El objetivo es entonces describir la relación${\displaystyle {\mathcal {R}}}$Se han obtenido varios teoremas de clasificación; pero, curiosamente, también se han encontrado varios teoremas de anticlasificación. Estos últimos establecen que existen más de un número contable de clases de isomorfismo y que una cantidad contable de información no es suficiente para clasificar los isomorfismos. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

El primer teorema de anticlasificación, debido a Hjorth, establece que si${\displaystyle U}$está dotado de la topología débil , entonces el conjunto${\displaystyle {\mathcal {R}}}$no es un conjunto de Borel . ^{[ 9 ]} Hay una variedad de otros resultados de anticlasificación. Por ejemplo, reemplazando el isomorfismo con la equivalencia de Kakutani , se puede demostrar que hay una cantidad incontable de transformaciones ergódicas que preservan la medida y que no son equivalentes a Kakutani de cada tipo de entropía. ^{[ 10 ]}

Estos contrastan con los teoremas de clasificación. Entre ellos se incluyen:

• Se han clasificado las transformaciones ergódicas que preservan la medida con un espectro de punto puro. ^{[ 11 ]}
• Los desplazamientos de Bernoulli se clasifican según su entropía métrica. ^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]} Véase la teoría de Ornstein para más información.

• Teorema de Krylov-Bogolyubov : uno de los dos teoremas en sistemas dinámicos sobre la existencia de medidas invariantes. 
• Teorema de recurrencia de Poincaré : Ciertos sistemas dinámicos eventualmente regresarán a (o se aproximarán a) su estado inicial. 

• Michael S. Keane, «Teoría ergódica y subdesplazamientos de tipo finito», (1991), que aparece como capítulo 2 en Teoría ergódica, dinámica simbólica y espacios hiperbólicos , Tim Bedford, Michael Keane y Caroline Series, eds. Oxford University Press, Oxford (1991). ISBN 0-19-853390-X(Ofrece una introducción explicativa, con ejercicios y amplias referencias.)
• Lai-Sang Young , «Entropía en sistemas dinámicos» ( pdf ; ps ), que aparece como capítulo 16 en Entropía , editado por Andreas Greven, Gerhard Keller y Gerald Warnecke. Princeton University Press, Princeton, NJ (2003). ISBN 0-691-11338-6
• T. Schürmann e I. Hoffmann, La entropía de billares extraños dentro de n-símplexes. J. Phys. A 28(17), página 5033, 1995. Documento PDF (presenta un ejemplo más complejo de un sistema dinámico que conserva la medida).