Teoría de la medida en espacios vectoriales topológicos

Dejar${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$Sean dos espacios vectoriales en dualidad. Un conjunto de la forma

${\displaystyle C_{f_{1},\dots ,f_{n},B}:=\{x\in X\colon (\langle x,f_{1}\rangle ,\dots ,\langle x,f_{n}\rangle )\in B\}}$

para${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})}$y${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{n}\in Y}$se llama conjunto de cilindros y si${\displaystyle B}$está abierto, entonces es un conjunto de cilindros abiertos. El conjunto de todos los cilindros es${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{f_{1},\dots ,f_{n}}}$y el conjunto de todos los cilindros abiertos es${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{f_{1},\dots ,f_{n}}^{O}}$Si uno toma el producto${\displaystyle \otimes _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {A}}_{f_{1},\dots ,f_{n}}}$, esto solo produce un álgebra . El álgebra σ

${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,Y)=\sigma \left({\mathcal {Zyl}}(X,Y)\right)=\sigma \left(\bigotimes _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {A}}_{f_{1},\dots ,f_{n}}\right)}$

se denomina σ-álgebra cilíndrica. ^{[ 1 ]} Los conjuntos de cilindros y el conjunto de cilindros abiertos generan la misma σ-álgebra cilíndrica, es decir${\displaystyle \sigma ({\mathfrak {A}}_{f_{1},\dots ,f_{n}})=\sigma ({\mathfrak {A}}_{f_{1},\dots ,f_{n}}^{O})}$.

Para la topología débil${\displaystyle T_{s}:=T_{s}(X,X')}$el álgebra σ cilíndrica${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,X')}$es el σ-álgebra de Baire de${\displaystyle (X,T_{s})}$[ ^{2 ]} Se utiliza el álgebra σ cilíndrica porque el álgebra σ de Borel puede generar problemas de mensurabilidad en espacios de dimensión infinita. En relación con las integrales de funciones continuas, es difícil o incluso imposible extenderlas a conjuntos de Borel arbitrarios. ^{[ 3 ] Para espacios no separables ,} puede ocurrir que la suma de vectores ya no sea medible al álgebra producto de álgebras σ de Borel porque en general${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)\otimes {\mathcal {B}}(Y)\subset {\mathcal {B}}(X\times Y)}$Sin embargo, para el álgebra σ cilíndrica se tiene${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,X')\otimes {\mathcal {E}}(Y,Y')={\mathcal {E}}(X\times Y,X'\times Y')}$. ^{[ 4 ]}

• Dejar${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$Sea un espacio vectorial topológico y sea${\displaystyle T_{s}:=T_{s}(X,X')}$sea ​​la topología débil, entonces${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,X')}$es exactamente el álgebra σ de Baire de${\displaystyle (X,T_{s})}$. ^{[ 2 ]}
• Dejar${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$sea ​​un espacio localmente convexo separable y metrizable y${\displaystyle T_{s}:=T_{s}(X,X')}$sea ​​la topología débil. Entonces${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,X')}$,${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}(X)}$y${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$son equivalentes en${\displaystyle {\mathcal {T}}}$y${\displaystyle T_{s}}$. ^{[ 2 ]}

Dejar${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$sea ​​un espacio vectorial topológico sobre${\displaystyle \mathbb {R} }$y${\displaystyle X^{*}}$su espacio dual algebraico . Además, sea${\displaystyle F}$sea ​​un espacio vectorial de funcionales lineales en${\displaystyle X}$, eso es${\displaystyle F\subseteq X^{*}}$.

Una función de conjunto

${\displaystyle \nu$ :{\mathcal {Zyl}}(X,F)\to \mathbb {R} +}

se denomina medida cilíndrica si, para cada subconjunto finito${\displaystyle G:=\{f_{1},\dots ,f_{n}\}\subseteq F}$con${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$la restricción

${\displaystyle \nu$ :{\mathcal {E}}(X,G)\to \mathbb {R} +}

es una función σ-aditiva, es decir${\displaystyle \nu }$es una medida. ^{[ 1 ]}

Dejar${\displaystyle \Gamma \subset X^{*}}$Una medida cilíndrica${\displaystyle \mu }$en${\displaystyle X}$Se dice que tiene un orden débil.${\displaystyle p}$(o ser de tipo débil)${\displaystyle p}$) si el${\displaystyle p}$-o momento débil existe, es decir,

${\displaystyle \int _{E}|\langle f,x\rangle |^{p}d\mu (f)<\infty }$

a pesar de${\displaystyle f\in \Gamma }$. ^{[ 6 ]}

Toda medida de Radon induce una medida cilíndrica, pero lo contrario no es cierto. ^{[ 7 ]} Sea${\displaystyle E}$y${\displaystyle G}$sean dos espacios localmente convexos, entonces un operador${\displaystyle T:E\to G}$se llama un${\displaystyle (q,p)}$-operador radonizante, si es para una medida cilíndrica${\displaystyle \mu }$del orden${\displaystyle q}$en${\displaystyle E}$la medida de la imagen${\displaystyle T_{*}\mu }$es una medida de orden de Radon${\displaystyle p}$en${\displaystyle G}$. ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}

Hay muchos resultados sobre cuándo una medida cilíndrica puede extenderse a una medida de Radon, como el teorema de Minlos ^{[ 11 ]} y el teorema de Sazonov . ^{[ 12 ]}

Dejar${\displaystyle A}$sea ​​un subconjunto equilibrado , convexo , acotado y cerrado de un espacio localmente convexo.${\displaystyle E}$, entonces${\displaystyle E_{A}}$denotó el subespacio de${\displaystyle E}$que es generado por${\displaystyle A}$Un subconjunto equilibrado, convexo y acotado${\displaystyle A}$de un espacio de Hausdorff localmente convexo${\displaystyle E}$Se denomina conjunto de Hilbert si el espacio de Banach${\displaystyle E_{A}}$tiene una estructura de espacio de Hilbert , es decir, la norma${\displaystyle \|\cdot \|_{E_{A}}}$de${\displaystyle E_{A}}$se puede deducir de un producto escalar y${\displaystyle E_{A}}$está completo. ^{[ 13 ]}