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Articulo de referencia

Regla de votación mediana

La regla de votación mediana , o mecanismo de mediana, es una regla para la toma de decisiones en grupo en un dominio unidimensional. Cada persona vota escribiendo su valor idea...

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La regla de votación mediana , o mecanismo de mediana, es una regla para la toma de decisiones en grupo en un dominio unidimensional. Cada persona vota escribiendo su valor ideal, y la regla selecciona un único valor que es (en el mecanismo básico) la mediana de todos los votos.

Motivación

Muchos escenarios de toma de decisiones en grupo implican un dominio unidimensional. Algunos ejemplos son:

  • Los miembros del consejo municipal deben decidir el monto total del presupuesto anual de la ciudad.
  • Varias personas que trabajan en la misma oficina tienen que ponerse de acuerdo sobre la temperatura del aire acondicionado.
  • Los padres de los alumnos en edad escolar deberían decidir cuánto deben durar las vacaciones escolares anuales.
  • El público tiene que decidir dónde ubicar una instalación a lo largo de una calle unidimensional.

Cada miembro tiene en mente una decisión ideal, denominada su "máximo". Cada agente prefiere que la cantidad real sea lo más cercana posible a su máximo.

Una forma sencilla de decidir es mediante la regla del promedio : preguntar a cada miembro cuál es su pico y calcular el promedio de todos los picos. Sin embargo, esta regla es fácilmente manipulable. Por ejemplo, supongamos que el pico de Alice es 30, el de George es 40 y el de Chana es 50. Si todos los votantes informan sus picos reales, el resultado será 40. Pero Alice podría manipular y decir que su pico es en realidad 0; entonces el promedio será 30, que es el pico real de Alice. De esta manera, Alice se beneficia de la manipulación. Del mismo modo, cualquier agente cuyo pico difiera del resultado tiene un incentivo para manipular e informar un pico falso.

En cambio, la regla de la mediana determina el presupuesto real en la mediana de todos los votos. Este simple cambio hace que la regla sea inmune a la manipulación : ningún votante puede beneficiarse informando un pico falso. En el ejemplo anterior, la mediana es 40, y se mantiene en 40 incluso si Alice informa 0. De hecho, como el pico real de Alice está por debajo de la mediana, ningún informe falso de Alice puede disminuir la mediana; Alice solo puede aumentarla, pero esto la perjudicará.

Precondiciones

La regla de votación mediana se cumple en cualquier escenario en el que los agentes tengan preferencias unimodales . Esto significa que existe algún orden lineal > de las alternativas, tal que para cada agente i con pico p i :

  • Si p i > a > b , entonces el agente i prefiere a a b;
  • Si b > a > p i , entonces el agente i prefiere a a b.

Una vez que existe dicho orden lineal, la mediana de cualquier conjunto de picos se puede calcular ordenando los picos a lo largo de este orden lineal.

Cabe señalar que la unimodalidad no implica ninguna medida de distancia específica entre las alternativas, ni tampoco implica nada sobre las alternativas situadas a distintos lados del pico. En concreto, si a > p i > b, el agente puede preferir a a b o b a a.

Procedimiento

A cada agente i en 1,..., n se le pide que informe el valor de p i . Los valores se ordenan en orden ascendente p 1 ≤ ... ≤ p n . En el mecanismo básico, el valor elegido cuando n es impar es p (n+1)/2 , que es igual a la mediana de los valores (cuando n es par, el valor elegido es p n/2 ):

elección = mediana( p 1 , ..., p n ).

Prueba de resistencia a la estrategia

Aquí hay una prueba de que la regla de la mediana es inmune a la manipulación estratégica:

  • Consideremos primero a un votante cuyo pico de votación está por debajo de la mediana. Informar un pico más bajo no modificará la mediana; informar un pico más alto mantendrá la mediana sin cambios o la aumentará. En todos los casos, el votante no obtiene ninguna ventaja.
  • De forma similar, consideremos un votante cuyo pico está por encima de la mediana. Informar de un pico más alto no modificará la mediana; informar de un pico más bajo mantendrá la mediana sin cambios o la disminuirá. En todos los casos, el votante no obtiene ninguna ventaja.

Utilizando un razonamiento similar, se puede demostrar que la regla de la mediana también es inmune a las estrategias de grupo , es decir: ninguna coalición tiene una manipulación coordinada que mejore la utilidad de uno de sus miembros sin perjudicar a los demás.

Reglas de la mediana generalizadas

Mediana con fantasmas

La regla de la mediana no es la única a prueba de manipulación estratégica. Se pueden construir reglas alternativas añadiendo votos fijos que no dependen de los votos de los ciudadanos. Estos votos fijos se denominan "votos fantasma". Para cada conjunto de votos fantasma, la regla que elige la mediana del conjunto de votos reales más los votos fantasma es a prueba de manipulación estratégica grupal.

Por ejemplo, supongamos que los votos son 30, 40 y 50. Sin valores fantasma, la regla de la mediana selecciona 40. Si agregamos dos valores fantasma en 0, la regla de la mediana selecciona 30; si agregamos dos valores fantasma en 100, la regla de la mediana selecciona 50; si agregamos medianas en 20 y 35, la regla de la mediana selecciona 35.

Aquí se presentan algunos casos especiales de reglas de mediana fantasma, suponiendo que todos los votos están entre 0 y 100:

  • Si hay n -1 votos fantasma en 0, entonces la regla de la mediana devuelve el mínimo de todos los votos reales.
  • Si hay n -1 votos fantasma en 100, entonces la regla de la mediana devuelve el máximo de todos los votos reales.
  • Si hay n -1 fantasmas en 50, entonces la regla de la mediana devuelve 50 si algunos puntos ideales están por encima y algunos por debajo de 50; de lo contrario, devuelve el voto más cercano a 50.

Moulin [ 1 ] demostró las siguientes caracterizaciones:

  • Una regla es anónima , a prueba de manipulación estratégica y Pareto-eficiente para todas las preferencias unimodales si es equivalente a una regla mediana con como máximo n -1 fantasmas.
  • Una regla es anónima y a prueba de manipulación estratégica para todas las preferencias unimodales si es equivalente a una regla mediana con como máximo n + 1 elementos fantasma.
  • Una regla es inmune a la manipulación estratégica para todas las preferencias unimodales si y solo si es equivalente a una regla minmax de la siguiente forma. Hay 2 n parámetros, b S para cualquier subconjunto S de votantes. La regla devuelve el mínimo sobre todos los subconjuntos S , del máximo de (todos los picos de votantes en S , y b S ).

Caracterizaciones adicionales

Las caracterizaciones de Moulin consideran solo reglas que son "solo picos", es decir, la regla depende solo de los n picos. Ching [ 2 ] demostró que todas las reglas que son a prueba de estrategias y continuas , incluso si no son "solo picos", son reglas medianas aumentadas, es decir, pueden describirse mediante una variante de la regla mediana con algunos 2n parámetros .

Las caracterizaciones de Moulin requieren que las reglas manejen todas las preferencias unimodales. Otros trabajos permiten reglas que manejan solo un subconjunto de preferencias unimodales:

  • Berga y Serizawa [ 3 ] : La sección 3 permite que las reglas manejen solo preferencias mínimamente ricas . Demuestran que, incluso en este dominio más pequeño, las reglas a prueba de estrategias son exactamente las reglas medianas generalizadas.
  • Masso y Moreno [ 4 ] permiten reglas que manejan solo preferencias simétricas de un solo pico (la simetría implica que un resultado más alejado del pico debería ser menos preferido que uno más cercano, incluso si se encuentran en lados opuestos del mismo). La clase de mecanismos a prueba de manipulación en este dominio más reducido es estrictamente mayor que la clase de reglas de mediana generalizadas. En particular, las reglas pueden verse afectadas por puntos de discontinuidad. Su resultado permite diseñar reglas que manejan restricciones de factibilidad.
  • Border y Jordan [ 5 ] : Las secciones 3, 4 y 5 permiten reglas que manejan solo preferencias cuadráticas . En el contexto unidimensional, esto es equivalente a funciones de utilidad de la formatúi(incógnita)=−|incógnita−pagi|{\displaystyle u_{i}(x)=-|x-p_{i}|}En este dominio, demuestran que cualquier regla a prueba de estrategias que respete el criterio de unanimidad es inflexible , es decir: si el pico del agente está a la derecha del resultado, y mueve su pico aún más a la derecha, entonces el resultado no cambia; y de manera similar a la izquierda. Por el contrario, toda regla inflexible es a prueba de estrategias. Demuestran que una regla es inflexible si tiene como máximo 2n votantes fantasma (es decir, como máximo 2n puntos que pueden ser elegidos incluso si no son el pico de ningún votante), y su correspondencia de elección (mapeo de cada perfil al conjunto de índices de votantes reales+fantasma cuyo pico es elegido) tiene un grafo cerrado . Como corolario, toda regla inflexible es continua. Sin embargo, una regla inflexible que también sea diferenciable debe ser dictatorial.

Berga y Serizawa [ 3 ] : Sec.4 buscan reglas que sean a prueba de manipulación estratégica y que satisfagan una condición que denominan "sin veto": ningún individuo debería poder evitar que cualquier alternativa sea el resultado declarando alguna preferencia. Caracterizan las reglas de mediana generalizadas como las únicas reglas a prueba de manipulación estratégica en "dominios mínimamente ricos". Demostraron que el único dominio maximal que incluye un dominio mínimamente rico, que permite la existencia de reglas a prueba de manipulación estratégica que satisfacen la condición "sin veto", es el dominio de preferencias convexas .

Barbera, Gul y Stacchetti [ 6 ] también generalizan las nociones de preferencias unimodales y reglas de votación mediana a entornos multidimensionales.

Barbera y Jackson [ 7 ] caracterizaron reglas a prueba de estrategias para preferencias débilmente unimodales , en las que el conjunto máximo puede contener dos alternativas.

Moulin caracterizó las reglas a prueba de estrategias en preferencias de meseta única , una generalización de las preferencias de pico único en la que a cada agente se le permite tener un intervalo completo de puntos ideales. [ 8 ]

extensiones multidimensionales

Preferencias separables y cuadráticas : Border y Jordan [ 5 ] : Sec. 6, 7 generalizan las nociones de preferencias unimodales y reglas de votación mediana a entornos multidimensionales (véase preferencias en forma de estrella ). Consideran tres clases de preferencias:

  • Separable (túi(incógnita)=∑j=1metrotúi,j(incógnitaj){\displaystyle u_{i}(x)=\sum _{j=1}^{m}u_{i,j}(x_{j})}donde cada v i,j es una función de utilidad unimodal);
  • Cuadrático (túi(incógnita)=−(incógnita−pag)TA(incógnita−pag){\displaystyle u_{i}(x)=-(xp)^{T}A(xp)}donde A es una matriz simétrica definida positiva );
  • Su intersección separable cuadrática (túi(incógnita)=−∑j=1metroai,j⋅(incógnitaj−pagj)2{\displaystyle u_{i}(x)=-\sum _{j=1}^{m}a_{i,j}\cdot (x_{j}-p_{j})^{2}}donde a i,j son constantes positivas).

En dominios cuadráticos no separables, los únicos mecanismos a prueba de estrategias son dictatoriales. Pero en dominios separables, existen mecanismos multidimensionales a prueba de estrategias compuestos por mecanismos unidimensionales, uno para cada coordenada.

Preferencias L1 : Otra generalización multidimensional es específica para agentes cuyas preferencias se basan en la distancia L1 . Se basa en tener fantasmas móviles en lugar de fantasmas fijos. Véase Mecanismo de fantasmas móviles .

Aplicación en la industria petrolera

En 1954, el Consorcio Petrolero Iraní adoptó una regla similar a la mediana para determinar la producción petrolera anual total de Irán. Anualmente, la participación de cada empresa miembro se ponderaba según su porcentaje fijo de la producción total. La producción elegida, x, era el nivel más alto tal que la suma de los porcentajes de los miembros que votaban por niveles tan altos como x fuera al menos del 70 %. [ 9 ] : 103-108

El teorema del votante mediano se relaciona con los mecanismos de votación por orden de preferencia , en los que cada agente informa su clasificación completa entre las alternativas. El teorema establece que, si las preferencias de los agentes son unimodales , entonces cualquier método de Condorcet siempre selecciona al candidato preferido por el votante mediano (el candidato más cercano al votante cuya preferencia máxima es la mediana de todas las preferencias máximas).

Las reglas de votación de mediana más alta intentan aplicar la misma regla a las elecciones, pidiendo a los votantes que emitan juicios (puntuaciones) para cada candidato. Sin embargo, la naturaleza a prueba de estrategias de la regla de votación de mediana no se extiende a la elección de candidatos a menos que los votantes tengan preferencias unívocas sobre la puntuación final de cada candidato. Este puede ser un modelo razonable de votación expresiva , pero la regla no será a prueba de estrategias en situaciones donde los votantes tengan preferencias unívocas sobre el resultado (ganador) de la elección.

El teorema de Gibbard-Satterthwaite afirma que toda regla a prueba de manipulación estratégica con tres o más alternativas debe ser una dictadura . La regla de la mediana aparentemente contradice este teorema, ya que es a prueba de manipulación estratégica y no es una dictadura. En realidad, no existe tal contradicción: el teorema de Gibbard-Satterthwaite se aplica únicamente a reglas que operan en todo el dominio de preferencias (es decir, solo a reglas de votación que pueden manejar cualquier conjunto de clasificaciones de preferencias). En cambio, la regla de la mediana se aplica únicamente a un dominio de preferencias restringido: el dominio de preferencias unimodales.

Dummet y Farquharson presentan una condición suficiente para la estabilidad en los juegos de votación. [ 10 ]

Referencias

  1. ↑ Moulin, H. (1980). "Sobre la invulnerabilidad a la estrategia y la singularidad de la elección". Public Choice . 35 (4): 437– 455. doi : 10.1007/BF00128122 . S2CID 154508892 . 
  2. ↑ Ching, Stephen (diciembre de 1997). "Resistencia a la manipulación estratégica y 'votantes medianos'"". Revista Internacional de Teoría de Juegos . 26 (4): 473– 490. doi : 10.1007/BF01813886 . hdl : 10722/177668 . S2CID 42830689 . 
  3. 1 2 Berga, Dolors; Serizawa, Shigehiro (enero de 2000). "Dominio máximo para reglas de prueba de estrategia con un bien público". Journal of Economic Theory . 90 (1): 39– 61. doi : 10.1006/jeth.1999.2579 .
  4. ↑ Massó, Jordi; Moreno de Barreda, Inés (junio de 2011). "Sobre la resistencia a la estrategia y la simetría de pico único". Games and Economic Behavior . 72 (2): 467– 484. doi : 10.1016/j.geb.2010.12.001 . hdl : 2072/53376 .
  5. 1 2 Border, Kim C.; Jordan, JS (enero de 1983). "Elecciones directas, unanimidad y votantes fantasma" . The Review of Economic Studies . 50 (1): 153. doi : 10.2307/2296962 . JSTOR 2296962 . 
  6. ↑ Barberá, Salvador; Gul, Faruk; Stacchetti, Ennio (diciembre de 1993). "Comités y esquemas de votantes medianos generalizados". Revista de teoría económica . 61 (2): 262– 289. doi : 10.1006/jeth.1993.1069 .
  7. ↑ Barberà, Salvador; Jackson, Matthew (julio de 1994). "Una caracterización de las funciones de elección social a prueba de estrategias para economías con bienes públicos puros" (PDF) . Social Choice and Welfare . 11 (3). doi : 10.1007/BF00193809 .
  8. ↑ Moulin, H. (agosto de 1984). "Ganadores de Condorcet generalizados para preferencias de pico único y meseta única". Social Choice and Welfare . 1 (2): 127– 147. doi : 10.1007/BF00452885 .
  9. ↑ Blair, John M. (1976). El control del petróleo . doi : 10.1007/978-1-349-81487-9 . ISBN 978-1-349-81489-3.
  10. ↑ Dummett, Michael; Farquharson, Robin (1961). "Estabilidad en la votación". Econometrica . 29 (1): 33– 43. doi : 10.2307/1907685 . JSTOR 1907685 .