Notación de Steinhaus-Moser

En matemáticas , la notación de Steinhaus-Moser es una notación para expresar ciertos números grandes . Es una extensión (ideada por Leo Moser ) de la notación poligonal de Hugo Steinhaus . ^{[ 1 ]}

Un número n en un triángulo significa n ⁿ .

Un número n en un cuadrado es equivalente a "el número n dentro de n triángulos, todos anidados".

Un número n en un pentágono es equivalente a "el número n dentro de n cuadrados, todos anidados".

etc.: n escrito en un polígono de ( m + 1 ) lados es equivalente a "el número n dentro de n polígonos anidados de m lados". En una serie de polígonos anidados, se asocian hacia adentro. El número n dentro de dos triángulos es equivalente a n ⁿ dentro de un triángulo, que es equivalente a n ⁿ elevado a la potencia de n ⁿ .

Steinhaus definió únicamente el triángulo, el cuadrado y el círculo , lo cual es equivalente al pentágono definido anteriormente.

Steinhaus definido:

• mega es el número equivalente a 2 en un círculo: ②
• megiston es el número equivalente a 10 en un círculo: ⑩

El número de Moser es el número representado por "2 en un megagón". Megagón es aquí el nombre de un polígono con "mega" lados (que no debe confundirse con el polígono de un millón de lados ).

Notaciones alternativas:

• Utilice las funciones cuadrado(x) y triángulo(x).
• Sea M ( n , m , p ) el número representado por el número n en m polígonos anidados de p lados ; entonces las reglas son:
  • ${\displaystyle M(n,1,3)=n^{n}}$
  • ${\displaystyle M(n,1,p+1)=M(n,n,p)}$
  • ${\displaystyle M(n,m+1,p)=M(M(n,1,p),m,p)}$
• y
  • mega = ${\displaystyle M(2,1,5)}$
  • megiston = ${\displaystyle M(10,1,5)}$
  • moser = ${\displaystyle M(2,1,M(2,1,5))}$

Un mega, ②, ya es un número muy grande, puesto que ② = cuadrado(cuadrado(2)) = cuadrado(triángulo(triángulo(2))) = cuadrado(triángulo(2 ² )) = cuadrado(triángulo(4)) = cuadrado(4 ⁴ ) = cuadrado(256) = triángulo(triángulo(triángulo(...triángulo(256)...))) [256 triángulos] = triángulo(triángulo(triángulo(...triángulo(256 256 ⁾ ...))) [255 triángulos] ~ triángulo(triángulo(triángulo(...triángulo(3.2317 × 10 ⁶¹⁶ )...))) [255 triángulos] ...

Utilizando la otra notación:

mega =${\displaystyle M(2,1,5)=M(256,256,3)}$

Con la función${\displaystyle f(x)=x^{x}}$tenemos mega =${\displaystyle f^{256}(256)=f^{258}(2)}$donde el superíndice denota una potencia funcional , no una potencia numérica.

Tenemos (nótese la convención de que las potencias se evalúan de derecha a izquierda):

• ${\displaystyle M(256,2,3)=}$${\displaystyle (256^{\,\!256})^{256^{256}}=256^{256^{257}}}$
• ${\displaystyle M(256,3,3)=}$${\displaystyle (256^{\,\!256^{257}})^{256^{256^{257}}}=256^{256^{257}\times 256^{256^{257}}}=256^{256^{257+256^{257}}}}$≈${\displaystyle 256^{\,\!256^{256^{257}}}}$

Similarmente:

• ${\displaystyle M(256,4,3)\approx }$${\displaystyle {\,\!256^{256^{256^{256^{257}}}}}}$
• ${\displaystyle M(256,5,3)\approx }$${\displaystyle {\,\!256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}}}}$
• ${\displaystyle M(256,6,3)\approx }$${\displaystyle {\,\!256^{256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}}}}}$

etc.

De este modo:

• mega =${\displaystyle M(256,256,3)\approx (256\uparrow )^{256}257}$, dónde${\displaystyle (256\uparrow )^{256}}$denota una potencia funcional de la función${\displaystyle f(n)=256^{n}}$.

Redondeando de forma más burda (sustituyendo el 257 del final por 256), obtenemos mega ≈${\displaystyle 256\uparrow \uparrow 257}$, utilizando la notación de flecha hacia arriba de Knuth .

Después de los primeros pasos el valor de${\displaystyle n^{n}}$es cada vez aproximadamente igual a${\displaystyle 256^{n}}$De hecho, es incluso aproximadamente igual a${\displaystyle 10^{n}}$(Véase también aritmética aproximada para números muy grandes ). Usando potencias de base 10 obtenemos:

• ${\displaystyle M(256,1,3)\approx 3.23\times 10^{616}}$
• ${\displaystyle M(256,2,3)\approx 10^{\,\!1.99\times 10^{619}}}$(${\displaystyle \log _{10}616}$se añade al 616)
• ${\displaystyle M(256,3,3)\approx 10^{\,\!10^{1.99\times 10^{619}}}}$(${\displaystyle 619}$se añade al${\displaystyle 1.99\times 10^{619}}$, que es insignificante; por lo tanto, solo se agrega un 10 en la parte inferior)
• ${\displaystyle M(256,4,3)\approx 10^{\,\!10^{10^{1.99\times 10^{619}}}}}$

...

• mega =${\displaystyle M(256,256,3)\approx (10\uparrow )^{255}1.99\times 10^{619}}$, dónde${\displaystyle (10\uparrow )^{255}}$denota una potencia funcional de la función${\displaystyle f(n)=10^{n}}$. Por eso${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 257<{\text{mega}}<10\uparrow \uparrow 258}$

Se ha demostrado que en la notación de flechas encadenadas de Conway ,

${\displaystyle \mathrm {moser} <3\rightarrow 3\rightarrow 4\rightarrow 2,}$

y, en la notación de flecha hacia arriba de Knuth ,

${\displaystyle \mathrm {moser} <f^{3}(4)=f(f(f(4))),{\text{ donde }}f(n)=3\uparrow ^{n}3.}$

Por lo tanto, el número de Moser, aunque incomprensiblemente grande, es insignificante comparado con el número de Graham : ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \mathrm {moser} \ll 3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2<f^{64}(4)={\text{Número de Graham}}.}$

• función de Ackermann

• Los grandes números de Robert Munafo
• Dato curioso sobre los números grandes
• Megistron en mathworld.wolfram.com (Steinhaus se refería a este número como "megiston" sin "r").
• Notación circular en mathworld.wolfram.com
• Notación de Steinhaus-Moser: Cosas inútiles sobre números grandes