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El tetraedro de Reuleaux es la intersección de cuatro bolas de radio s centradas en los vértices de un tetraedro regular con una longitud de lado s . [1] La superficie esférica de la bola centrada en cada vértice pasa a través de los otros tres vértices, que también forman vértices del tetraedro de Reuleaux. Por lo tanto, el centro de cada bola está en las superficies de las otras tres bolas. El tetraedro de Reuleaux tiene la misma estructura de caras que un tetraedro regular, pero con caras curvas: cuatro vértices y cuatro caras curvas, conectadas por seis aristas en forma de arco circular.
Esta forma se define y se nombra por analogía con el triángulo de Reuleaux , una curva bidimensional de ancho constante ; ambas formas reciben su nombre de Franz Reuleaux , un ingeniero alemán del siglo XIX que realizó un trabajo pionero sobre las formas en que las máquinas traducen un tipo de movimiento en otro. Se pueden encontrar afirmaciones repetidas en la literatura matemática de que el tetraedro de Reuleaux es análogamente una superficie de ancho constante , pero no es cierto: los dos puntos medios de los arcos de borde opuestos están separados por una distancia mayor.
Volumen y área de superficie
El volumen de un tetraedro de Reuleaux es [1]
El área de la superficie es [1]
![{\displaystyle \left[8\pi -18\cos ^{-1}\left({\tfrac {1}{3}}\right)\right]s^{2}\approx 2,975s^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46062ad7321c3bf8063e4920afe3542db3dd6e72)
Cuerpos de Meissner
Ernst Meissner y Friedrich Schilling [2] demostraron cómo modificar el tetraedro de Reuleaux para formar una superficie de ancho constante , reemplazando tres de sus arcos de arista por parches curvos formados como las superficies de rotación de un arco circular. Según se reemplacen los tres arcos de arista (tres que tienen un vértice común o tres que forman un triángulo) resultan dos formas no congruentes que a veces se denominan cuerpos de Meissner o tetraedros de Meissner . [3]
Bonnesen y Fenchel [4] conjeturaron que los tetraedros de Meissner son formas tridimensionales de volumen mínimo y ancho constante, una conjetura que aún está abierta. [5] En relación con este problema, Campi, Colesanti y Gronchi [6] demostraron que la superficie de revolución de volumen mínimo con ancho constante es la superficie de revolución de un triángulo de Reuleaux a través de uno de sus ejes de simetría.
Una de las pinturas de Man Ray , Hamlet , se basó en una fotografía que tomó de un tetraedro de Meissner, [7] que pensó que se parecía tanto al cráneo de Yorick como al pecho de Ofelia de Hamlet de Shakespeare . [8]
Referencias
- ^ abc Weisstein, Eric W (2008), Tetraedro de Reuleaux, MathWorld–Un recurso web de Wolfram
- ^ Meissner, Ernst; Schilling, Friedrich (1912), "Drei Gipsmodelle von Flächen konstanter Breite", Z. Math. Física. , 60 : 92–94
- ^ Weber, Christof (2009). "¿Qué tiene que ver este sólido con una pelota?" (PDF) .
- ^ Bonnesen, Tommy; Fenchel, Werner (1934), Theorie der konvexen Körper , Springer-Verlag, págs. 127-139
- ^ Kawohl, Bernd; Weber, Christof (2011), "Los cuerpos misteriosos de Meissner" (PDF) , Mathematical Intelligencer , 33 (3): 94–101, doi :10.1007/s00283-011-9239-y, S2CID 120570093
- ^ Campi, Stefano; Colesanti, Andrea; Gronchi, Paolo (1996), "Problemas de mínimos para volúmenes de cuerpos convexos", Ecuaciones diferenciales parciales y aplicaciones: Documentos recopilados en honor a Carlo Pucci , Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, n.º 177, Marcel Dekker, págs. 43–55, doi :10.1201/9780203744369-7
- ^ Swift, Sara (20 de abril de 2015), "El significado de Hamlet de Man Ray", Experiment Station , The Phillips Collection.
- ^ Dorfman, John (marzo de 2015), "Fórmulas secretas: Shakespeare y las matemáticas superiores se encuentran en la gran serie de pinturas tardías de Man Ray, Shakespearean Equations", Art & Antiques ,
Y en cuanto a
Hamlet
, el propio Man Ray rompió su regla y ofreció un pequeño comentario: 'La forma triangular blanca abultada que ves en
Hamlet
me recordó a una calavera blanca" -sin duda refiriéndose al cráneo de Yorick que Hamlet interroga en el juego- "una calavera geométrica que también parecía el pecho de Ofelia. Así que agregué un pequeño punto rosa en una de las tres esquinas, ¡un pequeño toque erótico, por así decirlo!'
Enlaces externos
- Lachand-Robert, Thomas; Oudet, Édouard. «Spheroforms». Archivado desde el original el 2006-10-02 . Consultado el 2006-09-12 .
- Weber, Christof. "Cuerpos de anchura constante".También hay películas e incluso imágenes interactivas de ambos cuerpos de Meissner.
- Roberts, Patrick. "Esferoforma con simetría tetraédrica".Incluye imágenes en 3D y un enlace a un artículo matemático que muestra la prueba del ancho constante.