Superficie de ancho constante

Superficie de revolución de un triángulo de Reuleaux , de la Colección de Modelos Matemáticos de Marburgo.

En geometría , una superficie de anchura constante es una forma convexa cuya anchura, medida por la distancia entre dos planos paralelos opuestos que tocan su borde , es la misma independientemente de la dirección de dichos planos. La anchura de la superficie en una dirección dada se define como la distancia perpendicular entre los paralelos perpendiculares a esa dirección. Por lo tanto, una superficie de anchura constante es el análogo tridimensional de una curva de anchura constante , una figura bidimensional con una distancia constante entre pares de líneas tangentes paralelas .

En términos más generales, cualquier cuerpo convexo compacto D tiene un par de planos de soporte paralelos en una dirección dada. Un plano de soporte es un plano que interseca el contorno de D pero no su interior . El ancho del cuerpo se define como antes. Si el ancho de D es el mismo en todas las direcciones, se dice que el cuerpo tiene un ancho constante y su contorno se denomina superficie de ancho constante; el cuerpo en sí se denomina esferoforma .

Una esfera , una superficie de radio constante y por lo tanto de diámetro constante, es una superficie de anchura constante.

Contrariamente a la creencia popular, el tetraedro de Reuleaux no es una superficie de ancho constante. Sin embargo, existen dos maneras diferentes de suavizar subconjuntos de las aristas del tetraedro de Reuleaux para formar tetraedros de Meissner , superficies de ancho constante. Bonnesen y Fenchel (1934) conjeturaron que estas figuras poseen el volumen mínimo entre todas las figuras con el mismo ancho constante, pero esta conjetura aún no se ha resuelto.

Entre todas las superficies de revolución con el mismo ancho constante, la que tiene el volumen mínimo es la forma barrida por un triángulo de Reuleaux que gira alrededor de uno de sus ejes de simetría, ^{[ 1 ]} mientras que la que tiene el volumen máximo es la esfera.

Toda proyección paralela de una superficie de anchura constante es una curva de anchura constante . Según el teorema de Barbier , el perímetro de esta proyección es π veces la anchura, independientemente de la dirección de proyección. De ello se deduce que toda superficie de anchura constante es también una superficie de circunferencia constante , donde la circunferencia de una figura es el perímetro de una de sus proyecciones paralelas. A la inversa , Hermann Minkowski demostró que toda superficie de circunferencia constante es también una superficie de anchura constante. ^{[ 2 ]}

Las figuras cuyas proyecciones paralelas tienen área constante (en lugar de perímetro constante) se denominan cuerpos de brillo constante .

Muchas preguntas tridimensionales tienen análogos n-dimensionales que aún buscan respuestas definitivas. ^{[ 3 ]} Por ejemplo, Oded Schramm preguntó por límites en el volumen de un cuerpo convexo.${\displaystyle n}$cuerpo de dimensión de ancho constante. Proporcionó una cota inferior, ^{[ 4 ]} y preguntó si existe algún ejemplo cuyo volumen sea significativamente menor que la n -bola${\displaystyle \mathbb {B} ^{n}}$del mismo ancho. En 2025, Arman, Bondarenko, Nazarov, Prymak y Radchenko proporcionaron tal estimación: para suficientemente grande${\displaystyle n}$, existe un${\displaystyle n}$-cuerpo${\displaystyle K}$de ancho constante con${\displaystyle {\text{Vol}}(K)\leq (0.9)^{n}{\text{Vol}}(\mathbb {B} ^{n})}$. ^{[ 5 ]}

• Esferoformas
• T. Lachand-Robert y É. Oudet, "Cuerpos de anchura constante en dimensión arbitraria"
• ¿Qué tan redondo es tu círculo? Sólidos de ancho constante
• Mould, Steve, "Formas y sólidos de anchura constante" , Numberphile , Brady Haran