Espacio Menger

En matemáticas, un espacio de Menger es un espacio topológico que satisface un cierto principio básico de selección que generaliza la σ-compacidad . Un espacio de Menger es un espacio en el que para cada secuencia de cubiertas abiertas del espacio hay conjuntos finitos tales que la familia cubre el espacio. ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {U}}_{2},\ldots }$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}\subset {\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {F}}_{2}\subset {\mathcal {U}}_{ 2},\lpuntos }$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}\cup {\mathcal {F}}_{2}\cup \cdots }$

En 1924, Karl Menger ^[1] introdujo la siguiente propiedad de base para espacios métricos: cada base de la topología contiene una familia numerable de conjuntos con diámetros nulos que cubre el espacio. Poco después, Witold Hurewicz ^[2] observó que la propiedad de base de Menger se puede reformular en la forma anterior utilizando secuencias de cubiertas abiertas.

Menger conjeturó que en ZFC todo espacio métrico de Menger es σ-compacto. AW Miller y DH Fremlin ^[3] demostraron que la conjetura de Menger es falsa, al mostrar que existe, en ZFC, un conjunto de números reales que es Menger pero no σ-compacto. La prueba de Fremlin-Miller fue dicotómica, y el conjunto que atestigua el fracaso de la conjetura depende en gran medida de si un cierto axioma (indecidible) se cumple o no.

Bartoszyński y Tsaban ^[4] dieron un ejemplo ZFC uniforme de un subconjunto de Menger de la línea real que no es σ-compacto.

Para los subconjuntos de la recta real, la propiedad de Menger se puede caracterizar utilizando funciones continuas en el espacio de Baire . Para las funciones , escriba si para todos los números naturales excepto un número finito . Un subconjunto de es dominante si para cada función hay una función tal que . Hurewicz demostró que un subconjunto de la recta real es Menger si y solo si cada imagen continua de ese espacio en el espacio de Baire no es dominante. En particular, cada subconjunto de la recta real de cardinalidad menor que el número dominante es Menger. ${\displaystyle \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle f,g\in \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle f\leq ^{*}g}$${\displaystyle f(n)\leq g(n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle f\in \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle g\in A}$${\displaystyle f\leq ^{*}g}$${\displaystyle {\mathfrak {d}}}$

La cardinalidad del contraejemplo de Bartoszyński y Tsaban a la conjetura de Menger es . ${\displaystyle {\mathfrak {d}}}$

• Todo espacio compacto, e incluso σ-compacto, es Menger.
• Todo espacio de Menger es un espacio de Lindelöf
• La imagen continua de un espacio de Menger es Menger
• La propiedad de Menger está cerrada bajo la toma de subconjuntos${\displaystyle F_{\sigma }}$
• La propiedad de Menger caracteriza a los filtros cuya noción de forzamiento de Mathias no agrega funciones dominantes. ^[5]