Lista de nociones de forzamiento

En matemáticas, el forzamiento es un método para construir nuevos modelos M [ G ] de la teoría de conjuntos mediante la adición de un subconjunto genérico G de un conjunto parcialmente ordenado P a un modelo M. El conjunto parcialmente ordenado P utilizado determinará qué afirmaciones son válidas en el nuevo universo (la «extensión»); por lo tanto, para forzar una afirmación de interés se requiere la construcción de un P adecuado . Este artículo enumera algunos de los conjuntos parcialmente ordenados P que se han utilizado en esta construcción.

• P es un conjunto parcialmente ordenado de orden <
• V es el universo de todos los conjuntos
• M es un modelo transitivo contable de la teoría de conjuntos.
• G es un subconjunto genérico de P sobre M.

• P satisface la condición de cadena numerable si cada anticadena en P es como máximo numerable. Esto implica que V y V [ G ] tienen los mismos cardinales (y las mismas cofinalidades).
• Un subconjunto D de P se denomina denso si para cada p ∈ P existe algún q ∈ D con q ≤ p .
• Un filtro en P es un subconjunto no vacío F de P tal que si p < q y p ∈ F entonces q ∈ F , y si p ∈ F y q ∈ F entonces hay algún r ∈ F con r ≤ p y r ≤ q .
• Un subconjunto G de P se denomina genérico sobre M si es un filtro que satisface cada subconjunto denso de P en M.

El forzamiento ameba es un forzamiento con el orden ameba y agrega un conjunto de medida 1 de números reales aleatorios.

En el forzamiento de Cohen (llamado así por Paul Cohen ), P es el conjunto de funciones de un subconjunto finito de ω ₂ × ω a {0,1} y p < q si p ⊇ q .

Este conjunto parcialmente ordenado satisface la condición de cadena numerable. Al aplicar este conjunto parcialmente ordenado, se añaden ω² _números reales distintos al modelo; este fue el conjunto parcialmente ordenado que utilizó Cohen en su demostración original de la independencia de la hipótesis del continuo.

En términos más generales, se puede reemplazar ω₂ _por cualquier cardinal κ para construir un modelo donde el continuo tenga un tamaño de al menos κ. Aquí no hay ninguna restricción. Si κ tiene cofinalidad ω, la cardinalidad de los reales termina siendo mayor que κ.

La forzante de Grigorieff (en honor a Serge Grigorieff) destruye un ultrafiltro libre en ω .

El forzamiento de Hechler (en honor a Stephen Herman Hechler) se utiliza para demostrar que el axioma de Martin implica que toda familia de funciones menores que c desde ω hasta ω está eventualmente dominada por alguna de esas funciones.

P es el conjunto de pares ( s , E ) donde s es una secuencia finita de números naturales (considerados como funciones de un ordinal finito a ω) y E es un subconjunto finito de algún conjunto fijo G de funciones de ω a ω. El elemento ( s , E ) es más fuerte que ( t , F ) si t está contenido en s , F está contenido en E , y si k está en el dominio de s pero no de t entonces s ( k ) > h ( k ) para todo h en F .

El método de forzamiento iterativo con soporte finito fue introducido por Solovay y Tennenbaum para demostrar la consistencia de la hipótesis de Suslin . Easton introdujo otro tipo de forzamiento iterativo para determinar los posibles valores de la función continua en cardinales regulares. El forzamiento iterativo con soporte numerable fue investigado por Laver en su demostración de la consistencia de la conjetura de Borel, Baumgartner , quien introdujo el forzamiento del Axioma A, y Shelah , quien introdujo el forzamiento propio. Shelah introdujo la iteración revisada con soporte numerable para manejar forzamientos semipropios, como el forzamiento de Prikry, y generalizaciones, incluyendo notablemente el forzamiento de Namba.

Forzando con${\displaystyle \Pi _{1}^{0}}$Las clases fueron inventadas por Robert Soare y Carl Jockusch para demostrar, entre otros resultados, el teorema de la base baja . Aquí P es el conjunto de no vacíos${\displaystyle \Pi _{1}^{0}}$subconjuntos de${\displaystyle 2^{\omega }}$(es decir, los conjuntos de caminos a través de subárboles infinitos y computables de${\displaystyle 2^{<\omega }}$), ordenados por inclusión. Si bien la mayoría de las nociones de forzamiento en esta página se relacionan con la teoría de conjuntos, esta se relaciona con la teoría de la recursión.

Laver utilizó el método de forzamiento de Laver para demostrar que la conjetura de Borel, que afirma que todos los conjuntos cero de medida fuerte son numerables, es consistente con ZFC. (La conjetura de Borel no es consistente con la hipótesis del continuo).

• P es el conjunto de árboles de Laver, ordenados por inclusión.

Un árbol de Laver p es un subconjunto de las secuencias finitas de números naturales tal que

• p es un árbol: p contiene cualquier secuencia inicial de cualquier elemento de p , lo que equivale a decir que p es cerrado bajo segmentos iniciales.
• p tiene un tallo: un nodo maximal s ( p ) = s ∈ p tal que s ≤ t o t ≤ s para todo t en p ,
• Si t ∈ p y s ≤ t, entonces t tiene un número infinito de sucesores inmediatos tn en p para n ∈ ω .

Si G es genérico para ( P , ≤) , entonces el real { s ( p )  : p ∈ G } , llamado un Laver-real , determina de forma única G .

La forzadura de Laver satisface la propiedad de Laver .

La preparación de Laver fue introducida por Laver ^{[ 1 ]} en el contexto de forzar mientras se preservan los axiomas cardinales grandes . Específicamente, si κ es un cardinal supercompacto , entonces después de forzar con la preparación de Laver en κ, κ sigue siendo un cardinal supercompacto, y además seguirá siéndolo después de cualquier forzamiento cerrado dirigido a κ adicional.

La preparación de Laver P _κ en κ es una iteración de soporte de Easton de longitud κ, guiada por una función de Laver f . Esta es una función tal que para cualquier x en V , hay una incrustación de λ-supercompacidad j con punto crítico κ (para λ adecuado) tal que j(f)(κ)=x ; Laver muestra que tal función existe para cada cardinal supercompacto κ. La iteración P _κ solo tiene forzamiento no trivial en ciertas etapas α para las cuales f(α) es un nombre adecuado para un forzamiento α-dirigido-cerrado, en cuyo caso f(α) se usa como el forzamiento de la etapa α.

Estos conjuntos parcialmente ordenados colapsarán varios cardinales, es decir, los obligarán a tener el mismo tamaño que los cardinales más pequeños.

• Reducción de un cardinal a ω: P es el conjunto de todas las secuencias finitas de ordinales menores que un cardinal λ dado. Si λ es incontable, entonces al aplicar este conjunto parcialmente ordenado se reduce λ a ω.
• Colapsando un cardinal a otro: P es el conjunto de todas las funciones de un subconjunto de κ con cardinalidad menor que κ a λ (para cardinales fijos κ y λ). Al forzar con este conjunto parcialmente ordenado, λ se colapsa a κ.
• Colapso de Lévy: Si κ es regular y λ es inaccesible, entonces P es el conjunto de funciones p en subconjuntos de λ × κ con dominio de tamaño menor que κ y p (α, ξ) < α para todo (α, ξ) en el dominio de p . Este conjunto parcialmente ordenado colapsa todos los cardinales menores que λ sobre κ, pero mantiene a λ como sucesor de κ.

El colapso de Levy recibe su nombre de Azriel Levy .

Entre las muchas nociones de forzamiento desarrolladas por Magidor , una de las más conocidas es una generalización del forzamiento de Prikry que se utiliza para cambiar la cofinalidad de un cardinal a un cardinal regular más pequeño dado .

• Un elemento de P es un par formado por un conjunto finito s de números naturales y un conjunto infinito A de números naturales, de tal manera que cada elemento de s es menor que cada elemento de A. El orden se define por

( t , B ) es más fuerte que ( s , A ) (( t , B ) < ( s , A )) si s es un segmento inicial de t , B es un subconjunto de A , y t está contenido en s ∪ A .

El forzamiento Mathias recibe su nombre de Adrian Mathias .

El forzado Namba (después de Kanji Namba) se utiliza para cambiar la cofinalidad de ω ₂ a ω sin colapsar ω ₁ .

• P es el conjunto de todos los árboles${\displaystyle T\subseteq \omega _{2}^{<\omega }}$(subconjuntos cerrados descendentes no vacíos del conjunto de secuencias finitas de ordinales menores que ω ₂ ) que tienen la propiedad de que cualquier s en T tiene una extensión en T que tiene${\displaystyle \aleph _{2}}$ sucesores inmediatos. P está ordenado por inclusión (es decir, los subárboles son condiciones más fuertes). La intersección de todos los árboles en el filtro genérico define una secuencia contable que es cofinal en ω ₂ .

El forzamiento de Namba′ es el subconjunto de P tal que hay un nodo por debajo del cual el ordenamiento es lineal y por encima del cual cada nodo tiene${\displaystyle \aleph _{2}}$sucesores inmediatos.

Magidor y Shelah demostraron que si CH es válido, entonces no existe un objeto genérico de forzamiento Namba en la extensión genérica por Namba′, y viceversa. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

En el forzamiento de Prikry (siguiendo a Karel Prikrý), P es el conjunto de pares ( s , A ) donde s es un subconjunto finito de un cardinal medible fijo κ, y A es un elemento de una medida normal fija D sobre κ. Una condición ( s , A ) es más fuerte que ( t , B ) si t es un segmento inicial de s , A está contenido en B , y s está contenido en t ∪ B. Esta noción de forzamiento puede usarse para cambiar la cofinalidad de κ preservando todos los cardinales.

Tomar el producto de las condiciones de forzamiento es una forma de forzar simultáneamente todas las condiciones.

• Productos finitos : Si P y Q son conjuntos parcialmente ordenados, el conjunto parcialmente ordenado producto P × Q tiene el orden parcial definido por ( p ₁ , q ₁ ) ≤ ( p ₂ , q ₂ ) si p ₁ ≤ p ₂ y q ₁ ≤ q ₂ .
• Productos infinitos : El producto de un conjunto de posets P _i , i ∈ I , cada uno con un elemento máximo 1 es el conjunto de funciones p en I con p ( i ) ∈ P ( i ) y tales que p ( i ) = 1 para todos los i excepto un número finito de i . El orden viene dado por p ≤ q si p ( i ) ≤ q ( i ) para todo i .
• El producto de Easton (en honor a William Bigelow Easton) de un conjunto de posets P _i , i ∈ I , donde I es un conjunto de cardinales es el conjunto de funciones p en I con p ( i ) ∈ P ( i ) y tales que para cada cardinal regular γ el número de elementos α de γ con p (α) ≠ 1 es menor que γ.

El forzamiento de Radin (en honor a Lon Berk Radin), una generalización técnicamente compleja del forzamiento de Magidor, añade un subconjunto cerrado e ilimitado a algún cardinal regular  λ.

Si λ es un cardinal suficientemente grande, entonces la fuerza mantiene a λ regular, medible , supercompacto , etc.

• P es el conjunto de subconjuntos de Borel de [0,1] de medida positiva, donde p se llama más fuerte que q si está contenido en q . El conjunto genérico G codifica entonces un "real aleatorio": el único real x _G en todos los intervalos racionales [ r , s ] ^{V [ G ]} tal que [ r , s ] ^V está en G . Este real es "aleatorio" en el sentido de que si X es cualquier subconjunto de [0, 1] ^V de medida 1, que está en V , entonces x _G ∈ X .

• P es el conjunto de todos los árboles perfectos contenidos en el conjunto de secuencias finitas {0, 1} . (Un árbol T es un conjunto de secuencias finitas que contiene todos los segmentos iniciales de sus miembros, y se llama perfecto si para cualquier elemento t de T hay un segmento s que extiende a t de tal manera que tanto s 0 como s 1 están en T ). Un árbol p es más fuerte que q si p está contenido en q . Gerald Enoch Sacks utilizó el método de forzado con árboles perfectos para producir un número real a con un grado mínimo de constructibilidad.

El forzado de Sacks tiene la propiedad Sacks .

Para S un subconjunto estacionario de${\displaystyle \omega _{1}}$nosotros establecimos${\displaystyle P=\{\langle \sigma ,C\rangle \,\colon \sigma }$es una secuencia cerrada de S y C es un subconjunto cerrado no acotado de${\displaystyle \omega _{1}\}}$, ordenado por${\displaystyle \langle \sigma ',C'\rangle \leq \langle \sigma ,C\rangle }$si y solo si${\displaystyle \sigma '}$extensiones finales${\displaystyle \sigma }$y${\displaystyle C'\subsetequ C}$y${\displaystyle \sigma '\subsetequ \sigma \cup C}$. En${\displaystyle V[G]}$, tenemos eso${\displaystyle \bigcup \{\sigma \,\colon (\exists C)(\langle \sigma ,C\rangle \in G)\}}$es un subconjunto cerrado no acotado de S casi contenido en cada conjunto club en V.${\displaystyle \aleph _{1}}$se conserva. Este método fue introducido por Ronald Jensen para demostrar la consistencia de la hipótesis del continuo y la hipótesis de Suslin .

Para S un subconjunto estacionario de${\displaystyle \omega _{1}}$Establecemos P igual al conjunto de secuencias contables cerradas de S.${\displaystyle V[G]}$, tenemos eso${\displaystyle \bigcup G}$es un subconjunto cerrado no acotado de S y${\displaystyle \aleph _{1}}$se conserva, y si CH se cumple, entonces todos los cardinales se conservan.

Para S un subconjunto estacionario de${\displaystyle \omega _{1}}$Definimos P igual al conjunto de conjuntos finitos de pares de ordinales contables, de tal manera que si${\displaystyle p\in P}$y${\displaystyle \langle \alpha,\beta \rangle \in p}$entonces${\displaystyle \alpha \leq \beta }$y${\displaystyle \alpha \in S}$y siempre que${\displaystyle \langle \alpha,\beta \rangle }$y${\displaystyle \langle \gamma,\delta \rangle }$son elementos distintos de p entonces o${\displaystyle \beta <\gamma}$o${\displaystyle \delta <\alpha }$. P se ordena por inclusión inversa. En${\displaystyle V[G]}$, tenemos eso${\displaystyle \{\alpha \,\colon (\exists \beta )(\langle \alpha ,\beta \rangle \in \bigcup G)\}}$es un subconjunto cerrado no acotado de S y todos los cardinales se conservan.

El forzamiento de Silver (en honor a Jack Howard Silver ) es el conjunto de todas aquellas funciones parciales de los números naturales en {0, 1} cuyo dominio es coinfinito; o equivalentemente, el conjunto de todos los pares ( A , p ) , donde A es un subconjunto de los números naturales con complemento infinito, y p es una función de A en un conjunto fijo de 2 elementos. Una condición q es más fuerte que una condición p si q extiende a p .

La forzadura de plata satisface la propiedad de fusión, la propiedad de Sacks y es mínima con respecto a los números reales (pero no mínima).

El forzamiento de Vopěnka (en honor a Petr Vopěnka ) se utiliza para agregar genéricamente un conjunto.${\displaystyle A}$de ordinales a${\displaystyle {\color {blue}{\text{HOD}}}}$. Definir primero${\displaystyle P'}$como el conjunto de todos los no vacíos${\displaystyle {\text{OD}}}$subconjuntos del conjunto potencia${\displaystyle {\mathcal {P}}(\alpha )}$de${\displaystyle \alpha }$, dónde${\displaystyle A\subseteq \alpha }$, ordenados por inclusión:${\displaystyle p\leq q}$si y solo si${\displaystyle p\subseteq q}$Cada condición${\displaystyle p\in P'}$puede representarse mediante una tupla${\displaystyle (\beta ,\gamma ,\varphi )}$ dónde${\displaystyle x\in p\Leftrightarrow V_{\beta }\models \varphi (\gamma ,x)}$, para todos${\displaystyle x\subseteq \alpha }$. La traducción entre${\displaystyle p}$y su menor representación es${\displaystyle {\text{OD}}}$y por lo tanto${\displaystyle P'}$ es isomorfo a un poset${\displaystyle P\in {\text{HOD}}}$(las condiciones son las representaciones mínimas de elementos de${\displaystyle P'}$). Este poset es el forzamiento de Vopenka para subconjuntos de${\displaystyle \alpha }$. Definición${\displaystyle G_{A}}$como el conjunto de todas las representaciones para los elementos${\displaystyle p\in P'}$de tal manera que ${\displaystyle A\in p}$, entonces${\displaystyle G_{A}}$es${\displaystyle {\text{HOD}}}$-genérico y${\displaystyle A\in {\text{HOD}}[G_{A}]}$.

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