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Articulo de referencia

El problema de la cartera de Merton

El problema de la cartera de Merton es un problema de finanzas en tiempo continuo y, en particular, de elección de cartera intertemporal . Un inversor debe decidir cuánto consum...

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El problema de la cartera de Merton es un problema de finanzas en tiempo continuo y, en particular, de elección de cartera intertemporal . Un inversor debe decidir cuánto consumir y debe asignar su patrimonio entre acciones y un activo libre de riesgo para maximizar la utilidad esperada . El problema fue formulado y resuelto por Robert C. Merton en 1969, tanto para vidas finitas como para el caso infinito. [ 1 ] [ 2 ] La investigación ha continuado extendiendo y generalizando el modelo para incluir factores como los costos de transacción y la quiebra.

Planteamiento del problema

El inversor vive desde el tiempo 0 hasta el tiempo T ; su patrimonio en el tiempo T se denota como W T. Comienza con un patrimonio inicial conocido W 0 (que puede incluir el valor actual de los ingresos salariales). En el tiempo t debe elegir qué cantidad de su patrimonio consumir, c t , y qué fracción de su patrimonio invertir en una cartera de acciones, π t (la fracción restante 1 − π t se invierte en el activo libre de riesgo).   

El objetivo es

máximomi[∫0Tmi−ρttú(dot)dt+ϵγmi−ρTtú(WT)]{\displaystyle \max E\left[\int _{0}^{T}e^{-\rho t}u(c_{t})\,dt+\epsilon ^{\gamma }e^{-\rho T}u(W_{T})\right]}

donde E es el operador de expectativas , u es una función de utilidad conocida (que se aplica tanto al consumo como a la riqueza final, o legado, W T ), ε parametriza el nivel deseado de legado, ρ es la tasa de descuento subjetiva yγ{\displaystyle \gamma }es una constante que expresa la aversión al riesgo del inversor: cuanto mayor sea el gamma, mayor será la reticencia a poseer acciones.

La riqueza evoluciona según la ecuación diferencial estocástica.

dWt=[(r+πt(μ−r))Wt−dot]dt+WtπtσdBt{\displaystyle dW_{t}=[(r+\pi _{t}(\mu -r))W_{t}-c_{t}]\,dt+W_{t}\pi _{t}\sigma \,dB_{t}}

donde r es la tasa libre de riesgo , ( μ , σ ) son el rendimiento esperado y la volatilidad del mercado de valores y dB t es el incremento del proceso de Wiener , es decir, el término estocástico de la EDE. 

La función de utilidad tiene la forma de aversión al riesgo relativa constante (CRRA):

tú(incógnita)=incógnita1−γ1−γ.{\displaystyle u(x)={\frac {x^{1-\gamma }}{1-\gamma }}.}

El consumo no puede ser negativo: c t  ≥  0, [ 2 ] [ 3 ] mientras que π t no está restringido (es decir, se permite pedir prestado o vender acciones en corto).

Se supone que las oportunidades de inversión son constantes, es decir , r , μ , σ son conocidos y constantes, en esta versión (1969) del modelo, aunque Merton permitió que cambiaran en su CAPM intertemporal (1973).  

Solución

Sorprendentemente para un problema de control óptimo , existe una solución analítica. El consumo óptimo y la asignación de existencias dependen de la riqueza y el tiempo de la siguiente manera: [ 4 ] : 401

π(W,t)=μ−rσ2γ.{\displaystyle \pi (W,t)={\frac {\mu -r}{\sigma ^{2}\gamma }}.}

Esta expresión se conoce comúnmente como la fracción de Merton. Dado que W y t no aparecen en el lado derecho, se invierte una fracción constante del patrimonio en acciones, independientemente de la edad o la situación económica del inversor.

do(W,t)={ν(1+(νϵ−1)mi−ν(T−t))−1WsiT<∞yν≠0(T−t+ϵ)−1WsiT<∞yν=0νWsiT=∞{\displaystyle c(W,t)={\begin{cases}\nu \left(1+(\nu \epsilon -1)e^{-\nu (Tt)}\right)^{-1}W&{\textrm {si}}\;T<\infty \;{\textrm {y}}\;\nu \neq 0\\(T-t+\epsilon )^{-1}W&{\textrm {si}}\;T<\infty \;{\textrm {y}}\;\nu =0\\\nu W&{\textrm {si}}\;T=\infty \end{cases}}}

dónde0≤ϵ≪1{\displaystyle 0\leq \epsilon \ll 1}y

ν=(ρ−(1−γ)((μ−r)22σ2γ+r))/γ=ρ/γ−(1−γ)((μ−r)22σ2γ2+rγ)=ρ/γ−(1−γ)(π(W,t)2σ2/2+r/γ)=ρ/γ−(1−γ)((μ−r)π(W,t)/2γ+r/γ).{\displaystyle {\begin{aligned}\nu &=\left(\rho -(1-\gamma )\left({\frac {(\mu -r)^{2}}{2\sigma ^{2}\gamma }}+r\right)\right)/\gamma \\&=\rho /\gamma -(1-\gamma )\left({\frac {(\mu -r)^{2}}{2\sigma ^{2}\gamma ^{2}}}+{\frac {r}{\gamma }}\right)\\&=\rho /\gamma -(1-\gamma )(\pi (W,t)^{2}\sigma ^{2}/2+r/\gamma )\\&=\rho /\gamma -(1-\gamma )((\mu -r)\pi (W,t)/2\gamma +r/\gamma ).\end{aligned}}}

Extensiones

Se han explorado muchas variantes del problema, pero la mayoría no conducen a una solución simple en forma cerrada.

  • Se puede tener en cuenta una edad de jubilación flexible. [ 5 ]
  • Se puede utilizar una función de utilidad distinta de CRRA.
  • Se pueden introducir costos de transacción.
    • Para costos de transacción proporcionales, el problema fue resuelto por Davis y Norman en 1990. [ 6 ] Es uno de los pocos casos de control singular estocástico donde se conoce la solución. Para una representación gráfica, la cantidad invertida en cada uno de los dos activos se puede trazar en los ejes x e y ; se pueden trazar tres líneas diagonales que pasan por el origen: el límite superior, la línea de Merton y el límite inferior. La línea de Merton representa las carteras que tienen la proporción de acciones/bonos derivada por Merton en ausencia de costos de transacción. Mientras el punto que representa la cartera actual esté cerca de la línea de Merton, es decir, entre el límite superior e inferior, no es necesario tomar ninguna medida. Cuando la cartera cruza por encima del límite superior o por debajo del límite inferior, se debe reequilibrar la cartera para que vuelva a ese límite. En 1994, Shreve y Soner proporcionaron un análisis del problema a través de la ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman y sus soluciones de viscosidad. [ 7 ]
    • Cuando existen costos de transacción fijos, Eastman y Hastings abordaron el problema en 1988. [ 8 ] Schroder proporcionó un método de solución numérica en 1995. [ 9 ]
    • Morton y Pliska [ 10 ] consideraron costos de transacción proporcionales a la riqueza del inversor para la utilidad logarítmica. Si bien esta estructura de costos parece no ser representativa de los costos de transacción de la vida real, puede utilizarse para encontrar soluciones aproximadas en casos con activos adicionales, [ 11 ] por ejemplo acciones individuales, donde resulta difícil o imposible dar soluciones exactas para el problema.
  • Se puede relajar el supuesto de oportunidades de inversión constantes. Esto requiere un modelo para cómor,μ,σ{\displaystyle r,\mu ,\sigma }Cambio a lo largo del tiempo. Se podría añadir un modelo de tipos de interés , lo que daría lugar a una cartera con bonos de diferentes vencimientos. Algunos autores han incorporado un modelo de volatilidad estocástica a los rendimientos del mercado bursátil.
  • La bancarrota puede incorporarse. Este problema fue resuelto por Karatzas, Lehoczky, Sethi y Shreve en 1986. [ 12 ] Muchos modelos que incorporan la bancarrota se recopilan en Sethi (1997). [ 13 ]

Referencias

  1. ↑ Merton, RC (1 de agosto de 1969). "Selección de cartera de por vida bajo incertidumbre: el caso de tiempo continuo". The Review of Economics and Statistics . 51 (3): 247– 257. doi : 10.2307/1926560 . ISSN 0034-6535 . JSTOR 1926560 .  
  2. 1 2 Sethi, SP y Taksar, MI, “Una nota sobre las reglas de consumo óptimo y cartera de Merton en un modelo de tiempo continuo”, Journal of Economic Theory , 46, 1988, 395-401.
  3. ↑ Karatzas, Ioannis; Lehoczky, John P.; Sethi, Suresh P.; Shreve, Steven E. (mayo de 1986). "Solución explícita de un problema general de consumo/inversión". Matemáticas de la investigación operativa . 11 (2): 261– 294. doi : 10.1287/moor.11.2.261 .
  4. ↑ Merton, RC (1971). "Reglas óptimas de consumo y cartera en un modelo de tiempo continuo" (PDF) . Journal of Economic Theory . 3 (4): 373– 413. doi : 10.1016/0022-0531(71)90038-X . hdl : 1721.1/63980 .
  5. ↑ Bodie, Z.; Merton, RC ; Samuelson, WF (1992). "Flexibilidad de la oferta laboral y elección de cartera en un modelo de ciclo de vida" (PDF) . Journal of Economic Dynamics and Control . 16 ( 3–4 ): 427. doi : 10.1016/0165-1889(92)90044-F . S2CID 16699153 . 
  6. ↑ Davis, MHA ; Norman, AR (1990). "Selección de cartera con costos de transacción" (PDF) . Matemáticas de la investigación operativa . 15 (4): 676. doi : 10.1287/moor.15.4.676 . hdl : 10044/1/11848 . JSTOR 3689770 . 
  7. ↑ Shreve, SE; Soner, HM (1994). "Inversión y consumo óptimos con costos de transacción" . The Annals of Applied Probability . 4 (3): 609. doi : 10.1214/aoap/1177004966 . JSTOR 2245058 . 
  8. ↑ Eastham, Jerome F.; Hastings, Kevin J. (1988). "Control óptimo de impulsos de carteras". Mathematics of Operations Research . 13 (4): 588. doi : 10.1287/moor.13.4.588 . JSTOR 3689945 . 
  9. ↑ Schroder, M. (1995). "Selección óptima de cartera con costos de transacción fijos: soluciones numéricas" (PDF) . Documento de trabajo . Universidad Estatal de Michigan.
  10. ↑ Morton, AJ; Pliska, SR (1995). "Gestión óptima de cartera con costes de transacción fijos". Mathematical Finance . 5 (4): 337. doi : 10.1111/j.1467-9965.1995.tb00071.x .
  11. ↑ "Copia archivada" (PDF) . Archivado del original (PDF) el 08-11-2014 . Recuperado el 28-10-2014 .{{cite web}}: CS1 mantenimiento: copia archivada como título ( enlace )
  12. ↑ Karatzas, I.; Lehoczky, JP; Sethi, SP; Shreve, SE (1985). "Solución explícita de un problema general de consumo/inversión". Sistemas diferenciales estocásticos . Notas de clase en control y ciencias de la información. Vol. 78. pág. 209. doi : 10.1007/BFb0041165 . ISBN   3-540-16228-3.
  13. ↑ Sethi, SP (1997). Consumo e inversión óptimos en caso de quiebra . doi : 10.1007/978-1-4615-6257-3 . ISBN 978-1-4613-7871-6.

Lecturas adicionales

  • Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven E. (1998). Métodos de finanzas matemáticas . Modelado estocástico y probabilidad aplicada. Vol.  39. doi : 10.1007/b98840 . ISBN 978-0-387-94839-3.
  • Merton RC: Finanzas en tiempo continuo , Blackwell (1990).