El principio de Cavalieri

N. Reed ha demostrado ^{[ 6 ]} cómo hallar el área delimitada por una cicloide utilizando el principio de Cavalieri. Un círculo de radio r puede rodar en sentido horario sobre una línea situada debajo de él, o en sentido antihorario sobre una línea situada encima. Un punto del círculo traza así dos cicloides. Cuando el círculo ha rodado una distancia determinada, el ángulo de giro en sentido horario y el ángulo de giro en sentido antihorario son iguales. Por lo tanto, los dos puntos que trazan las cicloides se encuentran a la misma altura. La línea que pasa por ellos es, por consiguiente, horizontal (es decir, paralela a las dos líneas sobre las que rueda el círculo). En consecuencia, cada sección transversal horizontal del círculo tiene la misma longitud que la sección transversal horizontal correspondiente de la región delimitada por los dos arcos de las cicloides. Por el principio de Cavalieri, el círculo tiene, por lo tanto, la misma área que dicha región.

Consideremos el rectángulo que delimita un arco cicloide. Según la definición de cicloide, tiene un ancho de 2πr y una altura de 2r , por lo que su área es cuatro veces mayor que la del círculo. Calculamos el área dentro de este rectángulo que se encuentra sobre el arco cicloide dividiendo el rectángulo por la mitad en el punto donde el arco lo une, rotando una de las partes 180° y superponiendo la otra mitad del rectángulo con ella. El nuevo rectángulo, con un área el doble que la del círculo, consta de la región de "lente" entre dos cicloides, cuya área se calculó anteriormente como igual a la del círculo, y las dos regiones que formaban la región sobre el arco cicloide en el rectángulo original. Por lo tanto, el área delimitada por un rectángulo sobre un arco cicloide completo es igual al área del círculo, y así, el área delimitada por el arco es tres veces mayor que el área del círculo.

El hecho de que el volumen de cualquier pirámide , independientemente de la forma de la base, incluyendo los conos (base circular), sea igual a (1/3) × base × altura, puede demostrarse mediante el principio de Cavalieri si se sabe que es cierto en un solo caso. Inicialmente, se puede establecer en un solo caso dividiendo el interior de un prisma triangular en tres componentes piramidales de igual volumen. La igualdad de estos tres volúmenes puede demostrarse mediante el principio de Cavalieri.    

De hecho, el principio de Cavalieri o un argumento infinitesimal similar es necesario para calcular el volumen de conos e incluso pirámides, que es esencialmente el contenido del tercer problema de Hilbert : las pirámides y los conos poliédricos no se pueden cortar y reorganizar en una forma estándar, sino que deben compararse mediante métodos infinitos (infinitesimales). Los antiguos griegos utilizaban diversas técnicas precursoras, como los argumentos mecánicos de Arquímedes o el método de agotamiento, para calcular estos volúmenes.

Consideremos un cilindro de radio${\displaystyle r}$y altura${\displaystyle h}$circunscribiendo un paraboloide${\displaystyle y=h\left({\frac {x}{r}}\right)^{2}}$cuyo vértice se encuentra en el centro de la base inferior del cilindro y cuya base es la base superior del cilindro. Considere también el paraboloide.${\displaystyle y=hh\left({\frac {x}{r}}\right)^{2}}$, con dimensiones iguales pero con su vértice y su base invertidos.

Para cada altura${\displaystyle 0\leq y\leq h}$, el área de sección transversal en forma de disco${\displaystyle \pi \left({\sqrt {1-{\frac {y}{h}}}}\,r\right)^{2}}$del paraboloide invertido es igual al área de la sección transversal en forma de anillo.${\displaystyle \pi r^{2}-\pi \left({\sqrt {\frac {y}{h}}}\,r\right)^{2}}$de la parte cilíndrica que se encuentra fuera del paraboloide inscrito.

Por lo tanto, el volumen del paraboloide invertido es igual al volumen de la parte cilíndrica que se encuentra fuera del paraboloide inscrito. En otras palabras, el volumen del paraboloide es${\textstyle {\frac {\pi }{2}}r^{2}h}$, la mitad del volumen de su cilindro circunscrito.

Si uno sabe que el volumen de un cono es${\textstyle {\frac {1}{3}}\left({\text{base}}\times {\text{altura}}\right)}$, entonces se puede utilizar el principio de Cavalieri para derivar el hecho de que el volumen de una esfera es${\textstyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$, dónde${\displaystyle r}$es el radio.

Esto se hace de la siguiente manera: Consideremos una esfera de radio${\displaystyle r}$y un cilindro de radio${\displaystyle r}$y altura${\displaystyle r}$Dentro del cilindro se encuentra el cono cuyo vértice está en el centro de una de las bases del cilindro y cuya base es la otra base del cilindro. Por el teorema de Pitágoras , el plano situado${\displaystyle y}$unidades por encima del "ecuador" interseca la esfera en un círculo de radio${\textstyle {\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}$y área${\displaystyle \pi \left(r^{2}-y^{2}\right)}$. El área de intersección del plano con la parte del cilindro que está fuera del cono también es${\displaystyle \pi \left(r^{2}-y^{2}\right)}$Como se puede observar, el área del círculo definida por la intersección con la esfera de un plano horizontal situado a cualquier altura${\displaystyle y}$igual al área de la intersección de ese plano con la parte del cilindro que está "fuera" del cono; por lo tanto, aplicando el principio de Cavalieri, podría decirse que el volumen de la semiesfera es igual al volumen de la parte del cilindro que está "fuera" del cono. El volumen del cono mencionado anteriormente es${\textstyle {\frac {1}{3}}}$del volumen del cilindro, por lo tanto, el volumen fuera del cono es${\textstyle {\frac {2}{3}}}$el volumen del cilindro. Por lo tanto, el volumen de la mitad superior de la esfera es${\textstyle {\frac {2}{3}}}$del volumen del cilindro. El volumen del cilindro es

${\displaystyle {\text{base}}\times {\text{altura}}=\pi r^{2}\cdot r=\pi r^{3}}$

("Base" se expresa en unidades de área ; "altura" se expresa en unidades de distancia . Área × distancia = volumen .)

Por lo tanto, el volumen de la semiesfera superior es${\textstyle {\frac {2}{3}}\pi r^{3}}$y la de toda la esfera es${\textstyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$.

En lo que se denomina el problema del anillo de servilleta , se demuestra mediante el principio de Cavalieri que cuando se perfora un agujero directamente a través del centro de una esfera donde la banda restante tiene altura${\displaystyle h}$El volumen del material restante, sorprendentemente, no depende del tamaño de la esfera. La sección transversal del anillo restante es un anillo plano, cuya área es la diferencia entre las áreas de dos círculos. Por el teorema de Pitágoras, el área de uno de los dos círculos es${\displaystyle \pi \times (r^{2}-y^{2})}$, dónde${\displaystyle r}$es el radio de la esfera y${\displaystyle y}$es la distancia desde el plano del ecuador hasta el plano de corte, y la del otro es${\textstyle \pi \times \left(r^{2}-\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}\right)}$Cuando se restan estos, el${\displaystyle r^{2}}$cancela; por lo tanto, la falta de dependencia de la respuesta final de${\displaystyle r}$.