El método de los teoremas mecánicos

El Método de los Teoremas Mecánicos ( en griego : Περὶ μηχανικῶν θεωρημάτων πρὸς Ἐρατοσθένη ἔφοδος ), también conocido como El Método , es una de las principales obras que se conservan del antiguo polímata griego Arquímedes . El Método toma la forma de una carta de Arquímedes a Eratóstenes , ^{[ 1 ]} el bibliotecario jefe de la Biblioteca de Alejandría , y contiene el primer uso explícito atestiguado de indivisibles (los indivisibles son versiones geométricas de los infinitesimales ). ^{[ 1 ] [ 2 ]} Originalmente se pensó que la obra se había perdido, pero en 1906 fue redescubierta en el célebre Palimpsesto de Arquímedes . El palimpsesto incluye la explicación de Arquímedes del "método mecánico", llamado así porque se basa en el centro de gravedad de las figuras ( centroide ) y la ley de la palanca , que Arquímedes demostró en Sobre el equilibrio de los planos .

Arquímedes no admitió el método de los indivisibles como parte de las matemáticas rigurosas y, por lo tanto, no lo publicó en los tratados formales que contienen los resultados. En estos tratados, demuestra los mismos teoremas por agotamiento , hallando cotas superiores e inferiores rigurosas que convergen a la respuesta requerida. Sin embargo, el método mecánico fue el que utilizó para descubrir las relaciones para las que posteriormente ofreció demostraciones rigurosas.

La idea de Arquímedes es utilizar la ley de la palanca para determinar las áreas de figuras a partir del centro de masa conocido de otras figuras. ^{[ 1 ] : 8} El ejemplo más sencillo en lenguaje moderno es el área de la parábola. Un enfoque moderno sería hallar esta área calculando la integral

$${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}\,dx={\frac {1}{3}},}$$

que es un resultado elemental en cálculo integral . En cambio, el método arquimediano equilibra mecánicamente la parábola (la región curva que se integra arriba) con un cierto triángulo que está hecho del mismo material. La parábola es la región en la${\displaystyle (x,y)}$el plano entre el${\displaystyle x}$eje y la curva${\displaystyle y=x^{2}}$como${\displaystyle x}$varía de 0 a  1. El triángulo es la región en el mismo plano entre los${\displaystyle x}$eje y la línea${\displaystyle y=x}$, también como${\displaystyle x}$varía de 0 a  1.

Divide la parábola y el triángulo en segmentos verticales, uno para cada valor de${\displaystyle x}$. Imagina que el${\displaystyle x}$El eje -es una palanca, con un punto de apoyo en${\displaystyle x=0}$La ley de la palanca establece que dos objetos situados en lados opuestos del punto de apoyo se equilibrarán si cada uno tiene el mismo torque , donde el torque de un objeto es igual a su peso multiplicado por su distancia al punto de apoyo. Para cada valor de${\displaystyle x}$, la porción del triángulo en la posición${\displaystyle x}$tiene una masa igual a su altura${\displaystyle x}$y está a distancia${\displaystyle x}$desde el punto de apoyo; de modo que equilibraría la porción correspondiente de la parábola, de altura${\displaystyle x^{2}}$, si estos últimos se trasladaran a${\displaystyle x=-1}$, a una distancia de 1 al otro lado del punto de apoyo.

Dado que cada par de rebanadas se equilibra, mover toda la parábola a${\displaystyle x=-1}$equilibraría todo el triángulo. Esto significa que si la parábola original sin cortar se cuelga de un gancho desde el punto${\displaystyle x=-1}$(de modo que toda la masa de la parábola esté unida a ese punto), equilibrará el triángulo situado entre${\displaystyle x=0}$y${\displaystyle x=1}$.

El centro de masa de un triángulo se puede encontrar fácilmente mediante el siguiente método, también debido a Arquímedes. ^{[ 1 ] : 14} Si se traza una línea mediana desde cualquiera de los vértices de un triángulo hasta el borde opuesto${\displaystyle E}$, el triángulo se equilibrará sobre la mediana, considerada como un punto de apoyo. La razón es que si el triángulo se divide en segmentos de línea infinitesimales paralelos a${\displaystyle E}$Cada segmento tiene la misma longitud a ambos lados de la mediana, por lo que el equilibrio se deduce por simetría. Este argumento se puede hacer riguroso fácilmente mediante el agotamiento , utilizando pequeños rectángulos en lugar de líneas infinitesimales, y esto es lo que hace Arquímedes en Sobre el equilibrio de los planos .

Por lo tanto, el centro de masa de un triángulo debe estar en el punto de intersección de las medianas. Para el triángulo en cuestión, una mediana es la línea${\displaystyle y=x/2}$, mientras que una segunda mediana es la línea${\displaystyle y=1-x}$Al resolver estas ecuaciones, vemos que la intersección de estas dos medianas está por encima del punto${\displaystyle x=2/3}$, de modo que el efecto total del triángulo sobre la palanca es como si la masa total del triángulo estuviera empujando hacia abajo (o colgando) de este punto. El torque total ejercido por el triángulo es su área, 1/2, por la distancia 2/3 de su centro de masa desde el fulcro en${\displaystyle x=0}$Este torque de 1/3 equilibra la parábola, que se encuentra a una distancia de 1 del punto de apoyo. Por lo tanto, el área de la parábola debe ser  1/3 para que tenga el torque opuesto.

Este tipo de método se puede utilizar para hallar el área de una sección arbitraria de una parábola, y se pueden utilizar argumentos similares para hallar la integral de cualquier potencia de${\displaystyle x}$, aunque las potencias superiores se complican sin álgebra. Arquímedes solo llegó hasta la integral de${\displaystyle x^{3}}$, que utilizó para hallar el centro de masa de un hemisferio y, en otros trabajos, el centro de masa de una parábola.

Consideremos la parábola de la figura de la derecha. Elija dos puntos de la parábola y llamémoslos A y B.

Supongamos que el segmento de recta AC es paralelo al eje de simetría de la parábola. Supongamos además que el segmento de recta BC se encuentra sobre una recta tangente a la parábola en B. La primera proposición establece: ^{[ 1 ] : 14}

El área del triángulo ABC es exactamente tres veces el área delimitada por la parábola y la recta secante AB .

Prueba : ^{[ 1 ] : 15–18}

Sea D el punto medio de AC . Construyamos un segmento de recta JB que pase por D , donde la distancia de J a D sea igual a la distancia de B a D. Pensaremos en el segmento JB como una "palanca" con D como su fulcro. ^{[ 3 ]} Como Arquímedes había demostrado previamente, el centro de masa del triángulo está en el punto I de la "palanca" donde DI  : DB  =  1:3. Por lo tanto, basta con demostrar que si todo el peso del interior del triángulo descansa en I , y todo el peso de la sección de la parábola en J , la palanca está en equilibrio.

Consideremos una sección transversal infinitesimal del triángulo dada por el segmento HE , donde el punto H se encuentra en BC , el punto E en AB , y HE es paralelo al eje de simetría de la parábola. Llamemos F a la intersección de HE con la parábola y G a la intersección de HE con la palanca . Si el peso de todos estos segmentos HE descansa en los puntos G donde intersecan la palanca, entonces ejercen sobre ella el mismo torque que el peso total del triángulo descansando en I. Por lo tanto, queremos demostrar que si el peso de la sección transversal HE descansa en G y el peso de la sección transversal EF de la parábola descansa en J , entonces la palanca está en equilibrio. En otras palabras, basta con demostrar que EF : GD = EH : JD . Pero esto es una consecuencia rutinaria de la ecuación de la parábola. QED      

Nuevamente, para ilustrar el método mecánico, es conveniente utilizar un poco de geometría de coordenadas. ^{[ 4 ]} Si se coloca una esfera de radio 1 con su centro en x  =  1, el radio de la sección transversal vertical es${\displaystyle \rho _{S}}$En cualquier valor de x entre 0 y 2, se obtiene mediante la siguiente fórmula: $${\displaystyle \rho _{S}(x)={\sqrt {x(2-x)}}.}$$

La masa de esta sección transversal, a efectos de equilibrarla sobre una palanca, es proporcional a su área:

$${\displaystyle \pi \rho _{S}(x)^{2}=2\pi x-\pi x^{2}.}$$

Arquímedes consideró entonces rotar la región triangular entre y  =  0 e y  = x y x = 2 en el plano x - y alrededor del eje x , para formar un cono. ^{[ 1 ] : 18–21} La sección transversal de este cono es un círculo de radio  ${\displaystyle \rho _{C}}$

$${\displaystyle \rho _{C}(x)=x}$$

y el área de esta sección transversal es

$${\displaystyle \pi \rho _ {C}^{2}=\pi x^{2}.}$$

Entonces, si se pesan juntas rebanadas del cono y de la esfera, el área de la sección transversal combinada es :

$${\displaystyle M(x)=2\pi x.}$$

Si las dos rebanadas se colocan juntas a una distancia 1 del punto de apoyo, su peso total se equilibraría exactamente con un círculo de área${\displaystyle 2\pi }$a una distancia x del punto de apoyo en el otro lado. Esto significa que el cono y la esfera juntos, si todo su material se moviera a x = 1, equilibrarían un cilindro de radio de base 1 y longitud 2 en el otro lado.

A medida que x varía de 0 a 2, el cilindro tendrá un centro de gravedad a una distancia de 1 del punto de apoyo, por lo que todo el peso del cilindro puede considerarse concentrado en la posición 1. La condición de equilibrio garantiza que el volumen del cono más el volumen de la esfera sea igual al volumen del cilindro.

El volumen del cilindro es el área de la sección transversal,${\displaystyle 2\pi }$veces la altura, que es 2, o${\displaystyle 4\pi }$Arquímedes también pudo hallar el volumen del cono utilizando el método mecánico, ya que, en términos modernos, la integral involucrada es exactamente la misma que la del área de la parábola. El volumen del cono es 1/3 de su área de la base multiplicada por la altura. La base del cono es un círculo de radio 2, con área${\displaystyle 4\pi }$, mientras que la altura es 2, por lo que el área es${\displaystyle 8\pi /3}$Restando el volumen del cono al volumen del cilindro se obtiene el volumen de la esfera:

$${\displaystyle V_{S}=4\pi -{8 \over 3}\pi ={4 \over 3}\pi .}$$

La dependencia del volumen de la esfera con respecto al radio es evidente a partir del escalado, aunque tampoco fue trivial formalizarla en aquel entonces. El método proporciona entonces la fórmula conocida para el volumen de una esfera . Al escalar linealmente las dimensiones, Arquímedes extendió fácilmente el resultado del volumen a los esferoides . ^{[ 1 ] : 21-23}

El argumento de Arquímedes es casi idéntico al anterior, pero su cilindro tenía un radio mayor, por lo que el cono y el cilindro colgaban a mayor distancia del punto de apoyo. Consideraba este argumento su mayor logro y pidió que la figura que lo acompaña, con la esfera, el cono y el cilindro en equilibrio, se grabara en su lápida.

Para hallar la superficie de la esfera, Arquímedes argumentó que, así como la superficie del círculo puede considerarse como una infinidad de triángulos rectángulos infinitesimales que rodean la circunferencia (véase Medición del círculo ), el volumen de la esfera puede considerarse dividido en muchos conos cuya altura es igual al radio y cuya base se encuentra sobre la superficie. Como todos los conos tienen la misma altura, su volumen es igual a un tercio de la base multiplicada por la altura.

Arquímedes afirma que el volumen total de la esfera es igual al volumen de un cono cuya base tiene la misma área superficial que la esfera y cuya altura es el radio. ^{[ 1 ] : 20-21} No se dan detalles del argumento, pero la razón obvia es que el cono se puede dividir en conos infinitesimales dividiendo el área de la base, y luego cada cono hace una contribución según su área de base, tal como en la esfera.

Sea S la superficie de la esfera . El volumen del cono con área de base S y altura r es ${\displaystyle Sr/3}$, que debe ser igual al volumen de la esfera:${\displaystyle 4\pi r^{3}/3}$Por lo tanto, el área de la superficie de la esfera debe ser${\displaystyle 4\pi r^{2}}$, o "cuatro veces su círculo más grande". Arquímedes lo demuestra rigurosamente en Sobre la esfera y el cilindro .

Una de las cosas notables del Método es que Arquímedes encuentra dos formas definidas por secciones de cilindros, cuyo volumen no involucra${\displaystyle \pi }$, a pesar de que las figuras tienen límites curvilíneos. Este es un punto central de la investigación : ciertas figuras curvilíneas podrían rectificarse con regla y compás, de modo que existen relaciones racionales no triviales entre los volúmenes definidos por las intersecciones de sólidos geométricos.

Arquímedes lo subraya al comienzo del tratado e invita al lector a intentar reproducir los resultados mediante algún otro método. A diferencia de los demás ejemplos, el volumen de estas figuras no se calcula rigurosamente en ninguna de sus otras obras. A partir de fragmentos del palimpsesto, parece que Arquímedes sí inscribió y circunscribió figuras para demostrar límites precisos para el volumen, aunque no se han conservado los detalles.

Las dos formas que considera son la intersección de dos cilindros en ángulo recto (el bicilindro ), que es la región de ( x , y , z ) que cumple:   $${\displaystyle x^{2}+y^{2}<1,\quad y^{2}+z^{2}<1,}$$ y el prisma circular, que es la región que obedece: $${\displaystyle x^{2}+y^{2}<1,\quad 0<z<y.}$$ Ambos problemas tienen un corte que produce una integral sencilla para el método mecánico. Para el prisma circular, corte el eje x en rebanadas. La región en el plano y - z en cualquier x es el interior de un triángulo rectángulo de lado longitud${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}}$cuya área es${\displaystyle {1 \over 2}(1-x^{2})}$, de modo que el volumen total sea: $${\displaystyle \displaystyle \int _{-1}^{1}{1 \over 2}(1-x^{2})\,dx}$$ que se puede rectificar fácilmente utilizando el método mecánico. Añadiendo a cada sección triangular una sección de una pirámide triangular con área${\displaystyle x^{2}/2}$Equilibra un prisma cuya sección transversal es constante.

Para la intersección de dos cilindros, el seccionamiento se pierde en el manuscrito, pero se puede reconstruir de manera obvia en paralelo al resto del documento: si el plano xz es la dirección del seccionamiento, las ecuaciones para el cilindro dan que${\displaystyle x^{2}<1-y^{2}}$mientras${\displaystyle z^{2}<1-y^{2}}$, que define una región que es un cuadrado en el plano x - z de longitud de lado${\displaystyle 2{\sqrt {1-y^{2}}}}$, de modo que el volumen total sea: $${\displaystyle \displaystyle \int _ {-1}^{1}4(1-y^{2})\,dy.}$$ Y esta es la misma integral que para el ejemplo anterior. Jan Hogendijk argumenta que, además del volumen del bicilíndrico, Arquímedes conocía su área superficial , que también es racional. ^{[ 5 ]}

En el palimpsesto se demuestran varias proposiciones geométricas mediante argumentos similares. Un teorema establece que el centro de masa de un hemisferio se encuentra a 5/8 de la distancia entre el polo y el centro de la esfera. Este problema es notable porque implica la evaluación de una integral cúbica.