Incrustación

En topología general , una incrustación es un homeomorfismo sobre su imagen. ^{[ 3 ]} Más explícitamente, un mapa continuo inyectivo${\displaystyle f:X\to Y}$entre espacios topológicos${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$es una incrustación topológica si${\displaystyle f}$produce un homeomorfismo entre${\displaystyle X}$y${\displaystyle f(X)}$(dónde${\displaystyle f(X)}$lleva la topología de subespacio heredada de${\displaystyle Y}$). Intuitivamente, entonces, la incrustación${\displaystyle f:X\to Y}$déjanos tratar${\displaystyle X}$como un subespacio de${\displaystyle Y}$Cada incrustación es inyectiva y continua . Cada mapa que es inyectivo, continuo y abierto o cerrado es una incrustación; sin embargo, también hay incrustaciones que no son ni abiertas ni cerradas. Esto último ocurre si la imagen${\displaystyle f(X)}$no es ni un conjunto abierto ni un conjunto cerrado en${\displaystyle Y}$.

Para un espacio determinado${\displaystyle Y}$, la existencia de una incrustación${\displaystyle X\to Y}$es un invariante topológico de${\displaystyle X}$Esto permite distinguir dos espacios si uno puede incrustarse en un espacio mientras que el otro no.

En topología diferencial : Sea${\displaystyle M}$y${\displaystyle N}$ser colectores lisos y${\displaystyle f:M\to N}$ser un mapa suave. Entonces${\displaystyle f}$Se denomina inmersión si su derivada es inyectiva en todas partes. Una incrustación , o incrustación suave , se define como una inmersión que es una incrustación en el sentido topológico mencionado anteriormente (es decir, homeomorfismo sobre su imagen). ^{[ 4 ]}

En otras palabras, el dominio de una incrustación es difeomorfo a su imagen, y en particular la imagen de una incrustación debe ser una subvariedad . Una inmersión es precisamente una incrustación local , es decir, para cualquier punto${\displaystyle x\in M}$Hay un vecindario${\displaystyle x\in U\subset M}$de tal manera que${\displaystyle f:U\to N}$es una incrustación.

Cuando la variedad del dominio es compacta, la noción de incrustación suave es equivalente a la de inmersión inyectiva.

Un caso importante es${\displaystyle N=\mathbb {R} ^{n}}$El interés aquí radica en cuán grande es${\displaystyle n}$debe ser para una incrustación, en términos de la dimensión${\displaystyle m}$de${\displaystyle M}$. El teorema de incrustación de Whitney ^{[ 5 ]} establece que${\displaystyle n=2m}$es suficiente, y es la mejor cota lineal posible. Por ejemplo, el espacio proyectivo real${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{m}}$de dimensión${\displaystyle m}$, dónde${\displaystyle m}$es una potencia de dos, requiere${\displaystyle n=2m}$para una incrustación. Sin embargo, esto no se aplica a las inmersiones; por ejemplo,${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}}$puede sumergirse en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$como lo muestra explícitamente la superficie de Boy , que tiene autointersecciones. La superficie romana no es una inmersión ya que contiene tapas cruzadas .

Una incrustación es apropiada si se comporta bien con respecto a los límites : se requiere el mapa${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ser tal que

• ${\displaystyle f(\partial X)=f(X)\cap \partial Y}$, y
• ${\displaystyle f(X)}$es transversal a${\displaystyle \partial Y}$en cualquier punto de${\displaystyle f(\partial X)}$.

La primera condición es equivalente a tener${\displaystyle f(\partial X)\subseteq \partial Y}$y${\displaystyle f(X\setminus \partial X)\subseteq Y\setminus \partial Y}$La segunda condición, en términos generales, dice que${\displaystyle f(X)}$no es tangente al límite de${\displaystyle Y}$.

En geometría riemanniana y geometría pseudoriemanniana: Sea${\displaystyle (M,g)}$y${\displaystyle (N,h)}$sean variedades riemannianas o, más generalmente, variedades pseudoriemannianas . Una incrustación isométrica es una incrustación suave.${\displaystyle f:M\rightarrow N}$que preserva la (pseudo) métrica en el sentido de que${\displaystyle g}$es igual al retroceso de${\displaystyle h}$por${\displaystyle f}$, es decir${\displaystyle g=f^{*}h}$Explícitamente, para cualesquiera dos vectores tangentes${\displaystyle v,w\in T_{x}(M)}$tenemos

${\displaystyle g(v,w)=h(df(v),df(w)).}$

De forma análoga, la inmersión isométrica es una inmersión entre variedades (pseudo)riemannianas que preserva las métricas (pseudo)riemannianas.

De forma equivalente, en geometría riemanniana, una inmersión isométrica es una inmersión suave que conserva la longitud de las curvas (véase el teorema de inmersión de Nash ). ^{[ 6 ]}

En teoría de campos , una incrustación de un campo${\displaystyle E}$en un campo${\displaystyle F}$es un homomorfismo de anillos${\displaystyle \sigma :E\rightarrow F}$.

El núcleo de${\displaystyle \sigma }$es un ideal de${\displaystyle E}$, que no puede ser todo el campo${\displaystyle E}$, debido a la condición${\displaystyle 1=\sigma (1)=1}$Además, cualquier campo tiene como ideales solo el ideal cero y el campo entero mismo (porque si hay algún elemento de campo distinto de cero en un ideal, es invertible, lo que demuestra que el ideal es el campo entero). Por lo tanto, el núcleo es${\displaystyle 0}$, por lo que cualquier incrustación de campos es un monomorfismo . Por lo tanto,${\displaystyle E}$es isomorfo al subcampo${\displaystyle \sigma (E)}$de${\displaystyle F}$Esto justifica el nombre de incrustación para un homomorfismo arbitrario de campos.

Si${\displaystyle \sigma }$es una firma y${\displaystyle A,B}$son${\displaystyle \sigma }$- estructuras (también llamadas${\displaystyle \sigma }$-álgebras en álgebra universal o modelos en teoría de modelos ), entonces un mapa${\displaystyle h:A\to B}$es un${\displaystyle \sigma }$-incrustación exacta si se cumplen todas las siguientes condiciones:

• ${\displaystyle h}$es inyectivo,
• por cada${\displaystyle n}$-ario símbolo de función${\displaystyle f\in \sigma }$y${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in A^{n},}$tenemos${\displaystyle h(f^{A}(a_{1},\ldots ,a_{n}))=f^{B}(h(a_{1}),\ldots ,h(a_{n}))}$,
• por cada${\displaystyle n}$-ario símbolo de relación${\displaystyle R\in \sigma }$y${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in A^{n},}$tenemos${\displaystyle A\models R(a_{1},\ldots ,a_{n})}$si y solo si${\displaystyle B\models R(h(a_{1}),\ldots ,h(a_{n})).}$

Aquí${\displaystyle A\models R(a_{1},\ldots ,a_{n})}$es una notación teórica de modelo equivalente a${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})\in R^{A}}$En la teoría de modelos también existe una noción más fuerte de incrustación elemental .

Un caso especial importante es el de los espacios normados ; en este caso, es natural considerar incrustaciones lineales.

Una de las preguntas básicas que se pueden plantear sobre un espacio normado de dimensión finita${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$es, ¿cuál es la dimensión máxima?${\displaystyle k}$de tal manera que el espacio de Hilbert${\displaystyle \ell _{2}^{k}}$puede ser incrustado linealmente en${\displaystyle X}$¿Con distorsión constante?

La respuesta la proporciona el teorema de Dvoretzky .