Conjunto armonioso

En matemáticas , un conjunto armonioso es un subconjunto de un grupo abeliano localmente compacto en el que cada carácter débil puede ser aproximado uniformemente por caracteres fuertes. De manera equivalente, un conjunto dual adecuadamente definido es relativamente denso en el dual de Pontryagin del grupo. Esta noción fue introducida por Yves Meyer en 1970 y más tarde resultó tener un papel importante en la teoría matemática de los cuasicristales . Algunos conceptos relacionados son conjuntos modelo , conjuntos Meyer y conjuntos de corte y proyección .

Sea Λ un subconjunto de un grupo abeliano localmente compacto G y Λ _d el subgrupo de G generado por Λ , con topología discreta . Un carácter débil es una restricción a Λ de un homomorfismo algebraico de Λ _d en el grupo del círculo :

${\displaystyle \chi :\Lambda _ {d}\to \mathbf {T} ,\quad \chi \in \operatorname {Hom} (\Lambda _ {d},\mathbf {T} ).}$

Un carácter fuerte es una restricción a Λ de un homomorfismo continuo de G a T , que es un elemento del dual de Pontryagin de G .

Un conjunto Λ es armonioso si cada carácter débil puede ser aproximado por caracteres fuertes de manera uniforme en Λ . Por lo tanto, para cualquier ε > 0 y cualquier carácter débil χ , existe un carácter fuerte ξ tal que

${\displaystyle \sup _{\Lambda }|\chi (\lambda )-\xi (\lambda )|\leq \epsilon ,\quad \chi \in \operatorname {Hom} (\Lambda _{d},\ mathbf {T} ),\xi \in {\hat {G}}.}$

Si el grupo abeliano localmente compacto G es separable y metrizable (su topología puede definirse mediante una métrica invariante en la traslación), entonces los conjuntos armoniosos admiten otra descripción relacionada. Dado un subconjunto Λ de G y un ε positivo , sea M _ε el subconjunto del dual de Pontryagin de G que consiste en todos los caracteres que son casi triviales en Λ :

${\displaystyle \sup _{\Lambda }|\chi (\lambda )-1|\leq \epsilon ,\quad \chi \in {\hat {G}}.}$

Entonces Λ es armonioso si los conjuntos M _ε son relativamente densos en el sentido de Besicovitch : para cada ε > 0 existe un subconjunto compacto K _ε del dual de Pontryagin tal que

${\displaystyle M_{\epsilon}+K_{\epsilon}={\hat {G}}.}$

• Un subconjunto de un conjunto armonioso es armonioso.
• Si Λ es un conjunto armonioso y F es un conjunto finito entonces el conjunto Λ + F también es armonioso.

Las siguientes dos propiedades muestran que la noción de conjunto armonioso sólo es no trivial cuando el grupo ambiental no es ni compacto ni discreto.

• Un conjunto finito Λ es siempre armonioso. Si el grupo G es compacto entonces, a la inversa, todo conjunto armonioso es finito.
• Si G es un grupo discreto entonces todo conjunto es armonioso.

En la teoría de aproximación diofántica surgen ejemplos interesantes de conjuntos armoniosos multiplicativamente cerrados de números reales .

• Sea G el grupo aditivo de los números reales , θ > 1, y el conjunto Λ esté formado por todas las sumas finitas de distintas potencias de θ . Entonces Λ es armonioso si y solo si θ es un número de Pisot . En particular, la sucesión de potencias de un número de Pisot es armoniosa.
• Sea K un cuerpo de números algebraicos reales de grado n sobre Q y el conjunto Λ consiste en todos los números de Pisot o de Salem de grado n en K . Entonces Λ está contenido en el intervalo abierto (1,∞), cerrado bajo multiplicación y armonioso. A la inversa, cualquier conjunto de números reales con estas 3 propiedades consiste en todos los números de Pisot o de Salem de grado n en algún cuerpo de números algebraicos reales K de grado n .

• Función casi periódica

• Yves Meyer , Números algebraicos y análisis armónico , Biblioteca matemática de Holanda Septentrional, vol. 2, Holanda Septentrional, 1972