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Esfera media

Un poliedro y su esfera media. Un observador situado en un vértice del poliedro vería el círculo rojo que rodea ese vértice como el horizonte en la esfera. En geometría , la sem...

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Un poliedro blanco opaco con cuatro caras triangulares y cuatro cuadriláteras está atravesado por una esfera azul transparente de tamaño similar, tangente a cada arista del poliedro. Las partes visibles de la esfera, fuera del poliedro, forman tapas circulares en cada cara del poliedro, de dos tamaños: más pequeñas en las caras triangulares y más grandes en las cuadriláteras. Círculos rojos en la superficie de la esfera, que pasan por estas tapas, marcan los horizontes visibles desde cada vértice del poliedro. Los círculos rojos tienen los mismos dos tamaños que las tapas circulares: los círculos más pequeños rodean los vértices del poliedro donde se unen tres caras, y los círculos más grandes rodean los vértices donde se unen cuatro caras.
Un poliedro y su esfera media. Un observador situado en un vértice del poliedro vería el círculo rojo que rodea ese vértice como el horizonte en la esfera.

En geometría , la semiesfera o intermosfera de un poliedro convexo es una esfera tangente a cada arista del poliedro. No todos los poliedros tienen semiesfera, pero los poliedros uniformes , incluidos los regulares , cuasirregulares y semirregulares , así como sus duales ( sólidos de Catalan ), sí la tienen. El radio de la semiesfera se denomina radio medio. Se dice que un poliedro que tiene semiesfera está inscrito en torno a esta esfera. [ 1 ]

Cuando un poliedro tiene una esfera media, se pueden formar dos empaquetamientos de círculos perpendiculares sobre dicha esfera: uno que corresponde a las adyacencias entre los vértices del poliedro y otro que corresponde de la misma manera a su poliedro polar , el cual posee la misma esfera media. La longitud de cada arista del poliedro es la suma de las distancias desde sus dos extremos hasta los círculos correspondientes en este empaquetamiento.

Todo poliedro convexo tiene un poliedro combinatoriamente equivalente, el poliedro canónico , que sí tiene una esfera media, centrada en el centroide de los puntos de tangencia de sus aristas. Los algoritmos de aproximación numérica pueden construir el poliedro canónico, pero sus coordenadas no pueden representarse exactamente como una expresión cerrada . Cualquier poliedro canónico y su dual polar pueden usarse para formar dos caras opuestas de un antiprisma de cuatro dimensiones .

Definición y ejemplos

La semiesfera de un poliedro convexo tridimensional se define como una esfera tangente a cada arista del poliedro. Es decir, cada arista debe tocarla en un punto interior de la misma, sin cruzarla. De forma equivalente, es una esfera que contiene el círculo inscrito de cada cara del poliedro. [ 2 ] Cuando existe una semiesfera, es única. No todos los poliedros convexos tienen una semiesfera; para tener una semiesfera, cada cara debe tener un círculo inscrito (es decir, debe ser un polígono tangente ), y todos estos círculos inscritos deben pertenecer a una sola esfera. Por ejemplo, un paralelepípedo rectangular tiene una semiesfera solo cuando es un cubo, porque de lo contrario tiene rectángulos no cuadrados como caras, y estos no tienen círculos inscritos. [ 3 ]

Para un cubo unitario centrado en el origen del sistema de coordenadas cartesianas , con vértices en los ocho puntos(±12,±12,±12){\textstyle {\bigl (}{\pm {\tfrac {1}{2}}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}, los puntos medios de los bordes están a distancia22{\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}desde el origen. Por lo tanto, para este cubo, la esfera media está centrada en el origen, con radio22{\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}. Esto es mayor que el radio de la esfera inscrita ,12{\textstyle {\frac {1}{2}}}y menor que el radio de la esfera circunscrita ,32{\textstyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}. De manera más general, para cualquier sólido platónico de longitud de aristaℓ{\displaystyle \ell }, el radio medio es [ 4 ]

  • 24ℓ{\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{4}}\ell }para un tetraedro regular ,
  • 12ℓ{\textstyle {\frac {1}{2}}\ell }para un octaedro regular ,
  • 22ℓ{\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\ell }para un cubo regular,
  • φ2ℓ{\textstyle {\frac {\varphi }{2}}\ell }para un icosaedro regular , dondeφ{\displaystyle \varphi }denota la proporción áurea y
  • φ22ℓ{\textstyle {\frac {\varphi ^{2}}{2}}\ell }para un dodecaedro regular .

Los poliedros uniformes , incluidos los poliedros regulares , cuasirregulares y semirregulares , y sus duales , poseen esferas intermedias. En los poliedros regulares, la esfera inscrita, la esfera intermedia y la esfera circunscrita existen y son concéntricas , [ 5 ] y la esfera intermedia toca cada arista en su punto medio. [ 6 ]

Cuatro esferas blancas de igual tamaño, centradas en los vértices de un tetraedro regular, se tocan entre sí.
Los centros de cuatro esferas tangentes entre sí forman los vértices de un tetraedro de Crelle. En este caso, cuatro esferas iguales forman un tetraedro regular. La esfera central pasa por los seis puntos de tangencia de estas esferas, que en este caso forman un octaedro regular.

No todos los tetraedros irregulares tienen una esfera media. Los tetraedros que sí la tienen se denominan «tetraedros de Crelle»; forman una subfamilia tetradimensional del espacio hexadimensional de todos los tetraedros (parametrizado por la longitud de sus seis aristas). Más precisamente, los tetraedros de Crelle son exactamente los tetraedros formados por los centros de cuatro esferas tangentes externamente entre sí. En este caso, la longitud de las seis aristas del tetraedro es la suma de los radios de estas esferas. [ 7 ] La esfera media de dicho tetraedro toca sus aristas en los puntos donde dos de las cuatro esferas generadoras son tangentes entre sí, y es perpendicular a las cuatro esferas generadoras. [ 8 ]

Propiedades

círculos tangentes

Si O es la semiesfera de un poliedro convexo P , entonces la intersección de O con cualquier cara de P es un círculo que se encuentra dentro de la cara y es tangente a sus aristas en los mismos puntos donde la semiesfera es tangente. Por lo tanto, cada cara de P tiene un círculo inscrito, y estos círculos son tangentes entre sí exactamente cuando las caras en las que se encuentran comparten una arista. (Sin embargo, no todos los sistemas de círculos con estas propiedades provienen de semiesferas). [ 1 ]

De manera dual, si v es un vértice de P , entonces existe un cono cuyo vértice se encuentra en v y que es tangente a O en un círculo; este círculo forma el límite de una calota esférica dentro de la cual la superficie de la esfera es visible desde el vértice. Es decir, el círculo es el horizonte de la esfera media, vista desde el vértice. Los círculos formados de esta manera son tangentes entre sí exactamente cuando los vértices a los que corresponden están conectados por una arista. [ 9 ]

Dualidad

Un cubo magenta y un octaedro verde, delineados, están dispuestos de tal manera que cada arista del cubo cruza una arista del octaedro en el punto medio de ambas. Una esfera translúcida, concéntrica con el cubo y el octaedro, pasa por todos los puntos de intersección.
Cubo y octaedro doble con esfera media común

Si un poliedro P tiene una semiesfera O , entonces el poliedro polar con respecto a O también tiene a O como su semiesfera. Los planos de las caras del poliedro polar pasan por los círculos en O que son tangentes a conos cuyos vértices son los vértices de P. [ 2 ] Las aristas del poliedro polar tienen los mismos puntos de tangencia con la semiesfera, en los cuales son perpendiculares a las aristas de P. [ 10 ]

longitudes de arista

Para un poliedro con una esfera media, es posible asignar a cada vértice un número real (la potencia del vértice con respecto a la esfera media) que sea igual a la distancia desde ese vértice hasta el punto de tangencia de cada arista que lo toca. Para cada arista, la suma de los dos números asignados a sus extremos es simplemente la longitud de la arista. Por ejemplo, los tetraedros de Crelle pueden parametrizarse mediante los cuatro números asignados de esta manera a sus cuatro vértices, lo que demuestra que forman una familia de cuatro dimensiones. [ 11 ]

Como ejemplo, los cuatro puntos (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1) forman uno de los tetraedros de Crelle, con tres triángulos rectángulos isósceles y un triángulo equilátero como cara. Estos cuatro puntos son los centros de cuatro esferas tangentes por pares, con radios122≈0,707{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\approx 0.707}para los tres puntos distintos de cero en el triángulo equilátero y1−122≈0,293{\displaystyle 1-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\approx 0.293}para el origen. Estos cuatro números (tres iguales y uno menor) son los cuatro números que parametrizan este tetraedro. Tres de las aristas del tetraedro conectan dos puntos que tienen el radio mayor; la longitud de estas aristas es la suma de estos radios iguales,2{\displaystyle {\sqrt {2}}}Las otras tres aristas conectan dos puntos con radios diferentes que suman uno.

Cuando un poliedro con una esfera media tiene un ciclo hamiltoniano , la suma de las longitudes de las aristas del ciclo se puede subdividir de la misma manera en el doble de la suma de las potencias de los vértices. Dado que esta suma de potencias de los vértices no depende de la elección de las aristas del ciclo, todos los ciclos hamiltonianos tienen la misma longitud. [ 12 ]

poliedro canónico

Seis círculos azules, cada uno tangente a otros cuatro, se disponen formando dos triángulos con tres círculos exteriores grandes y tres interiores pequeños. Tres círculos rojos más se cruzan entre sí y con los azules formando ángulos rectos. Cada uno de los seis cruces entre círculos rojos se encuentra dentro de uno de los círculos azules, y cada cruce entre círculos rojos y azules se produce en el punto donde dos círculos azules se tocan. Los cruces entre círculos rojos están resaltados con pequeños círculos amarillos.
Un empaquetamiento circular en el plano (azul) se obtiene mediante la proyección estereográfica de los círculos del horizonte sobre la esfera media de un octaedro. Los vértices amarillos y las aristas rojas representan el propio octaedro, proyectado centralmente sobre la esfera media y luego proyectado estereográficamente sobre el plano.

Una formulación más fuerte del teorema de empaquetamiento de círculos , sobre la representación de grafos planares mediante sistemas de círculos tangentes, establece que todo grafo poliédrico puede representarse mediante los vértices y aristas de un poliedro con una esfera media. De forma equivalente, cualquier poliedro convexo puede transformarse en una forma combinatoriamente equivalente, con vértices, aristas y caras correspondientes, que posee una esfera media. Los círculos del horizonte del poliedro resultante pueden transformarse, mediante proyección estereográfica , en un empaquetamiento de círculos en el plano euclidiano cuyo grafo de intersección es el grafo dado: sus círculos no se cruzan entre sí y son tangentes entre sí exactamente cuando los vértices a los que corresponden son adyacentes. [ 13 ] Si bien todo poliedro tiene una forma combinatoriamente equivalente con una esfera media, algunos poliedros no tienen ninguna forma equivalente con una esfera inscrita o con una esfera circunscrita. [ 14 ]

Cualquier par de poliedros convexos con la misma red de caras y la misma esfera media pueden transformarse uno en el otro mediante una transformación proyectiva del espacio tridimensional que deja la esfera media en la misma posición. Esta transformación deja la esfera en su lugar, pero mueve los puntos dentro de la esfera según una transformación de Möbius . [ 15 ] Cualquier poliedro con una esfera media, escalado de modo que la esfera media sea la esfera unitaria, puede transformarse de esta manera en un poliedro para el cual el centroide de los puntos de tangencia está en el centro de la esfera. El resultado de esta transformación es una forma equivalente del poliedro dado, llamado poliedro canónico , con la propiedad de que todos los poliedros combinatoriamente equivalentes producirán los mismos poliedros canónicos entre sí, salvo congruencia . [ 16 ] Otra elección de transformación toma cualquier poliedro con una esfera media en uno que maximiza la distancia mínima de un vértice a la esfera media. Se puede encontrar en tiempo lineal , y el poliedro canónico definido de esta manera alternativa tiene simetría máxima entre todas las formas combinatoriamente equivalentes del mismo poliedro. [ 17 ] Para poliedros con un grupo no cíclico de simetrías que preservan la orientación, las dos opciones de transformación coinciden. [ 18 ] Por ejemplo, el poliedro canónico de un cuboide , definido de cualquiera de estas dos maneras, es un cubo, con la distancia desde su centroide hasta los puntos medios de sus aristas igual a uno y su longitud de arista igual a2{\displaystyle {\sqrt {2}}}. [ 19 ]

Construcción

Se puede construir una aproximación numérica al poliedro canónico para un grafo poliédrico dado representando el grafo y su grafo dual como empaquetamientos de círculos perpendiculares en el plano euclidiano, [ 20 ] aplicando una proyección estereográfica para transformarlo en un par de empaquetamientos de círculos en una esfera, buscando numéricamente una transformación de Möbius que lleve el centroide de los puntos de intersección al centro de la esfera, y colocando los vértices del poliedro en puntos del espacio que tengan como horizontes los círculos duales del empaquetamiento transformado. Sin embargo, las coordenadas y los radios de los círculos en el paso de empaquetamiento de círculos pueden ser números no construibles que no tienen una expresión exacta en forma cerrada usando operaciones aritméticas y de raíz enésima. [ 21 ]

Como alternativa, un método numérico más sencillo para construir el poliedro canónico, propuesto por George W. Hart, trabaja directamente con las coordenadas de los vértices del poliedro, ajustando sus posiciones para intentar que las aristas tengan la misma distancia del origen, que los puntos de mínima distancia del origen tengan el origen como su centroide y que las caras del poliedro permanezcan planas. A diferencia del método de empaquetamiento de círculos, no se ha demostrado que este método converja al poliedro canónico, ni siquiera se garantiza que produzca un poliedro combinatoriamente equivalente al dado, pero parece funcionar bien en ejemplos pequeños. [ 19 ]

Aplicaciones

El poliedro canónico y su dual polar pueden utilizarse para construir un análogo tetradimensional de un antiprisma , una de cuyas dos caras opuestas es combinatoriamente equivalente a cualquier poliedro tridimensional dado. Se desconoce si todo poliedro tridimensional puede utilizarse directamente como cara de un antiprisma tetradimensional, sin reemplazarlo por su poliedro canónico, pero no siempre es posible hacerlo utilizando tanto un poliedro tridimensional arbitrario como su dual polar. [ 1 ]

Para cada poliedro con una esfera media, cada vértice tiene un plano de soporte , un plano que toca el vértice pero es disjunto del resto del poliedro, perpendicular al vector desde el centro de la esfera hasta el vértice. Este hecho puede usarse como base para un procedimiento de enrutamiento basado en la posición para cualquier red que contenga un subgrafo poliédrico de expansión: primero, construir un poliedro con una esfera media para este subgrafo. Luego, para manejar un mensaje que debe enrutarse desde el vérticetú{\displaystyle u}, con destinov{\displaystyle v}, reenviar el mensaje a cualquier vértice vecinow{\displaystyle w}para quéw⋅v>tú⋅v{\displaystyle w\cdot v>u\cdot v}, aumentando el producto interno de las coordenadas de vértice tridimensionales. Se puede demostrar mediante la convexidad y la existencia de estos planos de soporte que un vecinow{\displaystyle w}Con un producto escalar mayor siempre existe, por lo que este algoritmo codicioso no puede quedarse atascado hasta que el mensaje llegue a su destino. [ 22 ]

Enjaulando un huevo

La esfera media en la construcción del poliedro canónico puede reemplazarse por cualquier cuerpo convexo liso . Dado dicho cuerpo, todo poliedro tiene una realización combinatoriamente equivalente cuyas aristas son tangentes a este cuerpo. Esto se ha descrito como "encerrar un huevo en una jaula": el cuerpo liso es el huevo y la realización poliédrica es su jaula. [ 23 ] Además, fijar tres aristas de la jaula para que tengan tres puntos de tangencia específicos en el huevo hace que esta realización sea única. [ 24 ]

Véase también

  • Poliedro ideal , un poliedro hiperbólico en el que cada vértice se encuentra sobre la esfera en el infinito.

Notas

  1. 1 2 3 Grünbaum (2005) .
  2. 1 2 Coxeter (1973) .
  3. ↑ Wheeler (1958) .
  4. ↑ Coxeter (1973) , Tabla I(i), págs. 292–293. Véase la columna "1R/ℓ{\displaystyle {}_{1}\!\mathrm {R} /\ell }", dónde1R{\displaystyle {}_{1}\!\mathrm {R} }es la notación de Coxeter para el radio medio, señalando también que Coxeter utiliza2ℓ{\displaystyle 2\ell }como la longitud del borde (véase la pág. 2).
  5. ↑ Coxeter (1973) afirma esto para poliedros regulares; Cundy y Rollett (1961) para poliedros arquimedianos.
  6. ↑ Pugh (1976) .
  7. ↑ László (2017) . Los tetraedros irregulares con una esfera media proporcionan un contraejemplo a una afirmación incorrecta de Pugh (1976) : no es cierto que solo los poliedros regulares tengan las tres esferas media, esfera interna y esfera circunscrita.
  8. ↑ Byer y Smeltzer (2015) .
  9. ↑ Ziegler (2007) .
  10. ↑ Cundy y Rollett (1961) .
  11. ↑ László (2017) .
  12. ↑ Fetter (2012) .
  13. ↑ Schramm (1992) ; Sachs (1994) . Schramm afirma que Koebe (1936) afirmó la existencia de un poliedro equivalente con una esfera media, pero que Koebe solo demostró este resultado para poliedros con caras triangulares. Schramm atribuye el resultado completo a William Thurston , pero la parte relevante de las notas de clase de ThurstonArchivado el 21/01/2021 en Wayback Machine, nuevamente solo indica el resultado explícitamente para poliedros triangulados.
  14. ↑ Schramm (1992) ; Steinitz (1928) .
  15. ↑ Sachs (1994) .
  16. ↑ Ziegler (1995) .
  17. ↑ Bern y Eppstein (2001) .
  18. ↑ Springborn (2005) .
  19. 1 2 Hart (1997) .
  20. ↑ Mohar (1993) .
  21. ↑ Bannister et al. (2015) .
  22. ↑ Papadimitriou y Ratajczak (2005) .
  23. ↑ Schramm (1992) .
  24. ↑ Liu y Zhou (2016) .

Referencias

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