Dispersión de Mie

Representaciones de dispersión de Mie

Dispersión de Mie a medida que el diámetro de la partícula cambia de 0,1 a 1 longitud de onda. El índice de refracción de la esfera es 1,5.

Dispersión de Mie, vista artística: Onda plana incidente polarizada linealmente dispersada por resonancia octupolar.

Resonancias de Mie frente al radio.

Sección transversal de radar monoestática (RCS) de una esfera metálica perfectamente conductora en función de la frecuencia (calculada mediante la teoría de Mie). En el límite de dispersión de Rayleigh de baja frecuencia , donde la circunferencia es menor que la longitud de onda, la RCS normalizada es${\displaystyle {\tfrac {\sigma }{\pi R^{2}}}\sim 9(kR)^{4}}$. En el límite óptico de alta frecuencia,${\displaystyle {\tfrac {\sigma }{\pi R^{2}}}\sim 1}$.

En electromagnetismo , la solución de Mie a las ecuaciones de Maxwell (también conocida como solución de Lorenz-Mie , solución de Lorenz-Mie-Debye o dispersión de Mie ) describe la dispersión de una onda plana electromagnética por una esfera homogénea . La solución adopta la forma de una serie infinita de ondas parciales multipolares esféricas . Recibe su nombre del físico alemán Gustav Mie .

El término solución de Mie también se utiliza para las soluciones de las ecuaciones de Maxwell para la dispersión por esferas estratificadas o cilindros infinitos, u otras geometrías donde se pueden escribir ecuaciones separadas para la dependencia radial y angular de las soluciones. El término teoría de Mie se usa a veces para referirse a este conjunto de soluciones y métodos; no alude a una teoría o ley física independiente. En términos más generales, las fórmulas de "dispersión de Mie" son más útiles en situaciones donde el tamaño de las partículas dispersoras es comparable a la longitud de onda de la luz, en lugar de ser mucho menor o mucho mayor.

La dispersión de Mie (a veces denominada dispersión no molecular o dispersión de partículas de aerosol ) tiene lugar en los primeros 4500 m (15 000 pies) de la atmósfera , donde pueden estar presentes muchas partículas esencialmente esféricas con diámetros aproximadamente iguales a la longitud de onda del rayo incidente . La teoría de la dispersión de Mie no tiene límite superior de tamaño y converge al límite de la óptica geométrica para partículas grandes. ^{[ 1 ]}  

Una formulación moderna de la solución de Mie al problema de dispersión en una esfera se puede encontrar en muchos libros, por ejemplo, en la Teoría Electromagnética de J.A. Stratton . ^{[ 2 ]} En esta formulación, la onda plana incidente, así como el campo disperso, se expanden en armónicos esféricos vectoriales radiantes . El campo interno se expande en armónicos esféricos vectoriales regulares. Al imponer la condición de contorno en la superficie esférica, se pueden calcular los coeficientes de expansión del campo disperso.

Para partículas mucho mayores o mucho menores que la longitud de onda de la luz dispersada, existen aproximaciones sencillas y precisas que bastan para describir el comportamiento del sistema. Sin embargo, para objetos cuyo tamaño se encuentra dentro de unos pocos órdenes de magnitud de la longitud de onda, por ejemplo, gotas de agua en la atmósfera, partículas de látex en la pintura, gotas en emulsiones, incluida la leche, y células biológicas y componentes celulares, es necesario un enfoque más detallado. ^{[ 3 ]}

La solución de Mie ^{[ 4 ]} recibe su nombre de su creador, el físico alemán Gustav Mie . El físico danés Ludvig Lorenz y otros desarrollaron de forma independiente la teoría de la dispersión de ondas planas electromagnéticas por una esfera dieléctrica .

El formalismo permite calcular los campos eléctricos y magnéticos dentro y fuera de un objeto esférico y se utiliza generalmente para calcular la cantidad de luz dispersada (la sección transversal óptica total ) o su trayectoria (el factor de forma). Las características más notables de estos resultados son las resonancias de Mie, tamaños que dispersan la luz con especial intensidad. ^{[ 5 ]} Esto contrasta con la dispersión de Rayleigh para partículas pequeñas y la dispersión de Rayleigh-Gans-Debye (en honor a Lord Rayleigh , Richard Gans y Peter Debye ) para partículas grandes. La existencia de resonancias y otras características de la dispersión de Mie la convierten en un formalismo particularmente útil al utilizar la luz dispersada para medir el tamaño de las partículas.

The scattering by a spherical nanoparticle is solved exactly regardless of the particle size. We consider scattering by a plane wave propagating along the z-axis polarized along the x-axis. Dielectric and magnetic permeabilities of a particle are ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ and ${\displaystyle \mu _{1}}$, and ${\displaystyle \varepsilon }$ and ${\displaystyle \mu }$ for the environment.

In order to solve the scattering problem,^[3] we write first the solutions of the vector Helmholtz equation in spherical coordinates, since the fields inside and outside the particles must satisfy it. Helmholtz equation:

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} +{k}^{2}\mathbf {E} =0,\quad \nabla ^{2}\mathbf {H} +{k}^{2}\mathbf {H} =0.}$

In addition to the Helmholtz equation, the fields must satisfy the conditions ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\nabla \cdot \mathbf {H} =0}$ and ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =i\omega \mu \mathbf {H} }$, ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =-i\omega \varepsilon \mathbf {E} }$. Vector spherical harmonics possess all the necessary properties, introduced as follows:

${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}=\nabla \times \left(\mathbf {r} \psi _{^{e}_{o}mn}\right)}$ — magnetic harmonics (TE),

${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}={\frac {\nabla \times \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}}{k}}}$ — electric harmonics (TM),

where

${\displaystyle {\psi _{emn}=\cos m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r),}}$

${\displaystyle {\psi _{omn}=\sin m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r),}}$

and ${\displaystyle P_{n}^{m}(\cos \theta )}$ — Associated Legendre polynomials, and ${\displaystyle z_{n}({k}r)}$ — any of the spherical Bessel functions.

Next, we expand the incident plane wave in vector spherical harmonics:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} _{\text{inc}}&=E_{0}e^{ikr\cos \theta }\mathbf {e} _{x}=E_{0}\sum _{n=1}^{\infty }i^{n}{\frac {2n+1}{n(n+1)}}\left(\mathbf {M} _{o1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )-i\mathbf {N} _{e1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )\right),\\\mathbf {H} _{\text{inc}}&={\frac {-k}{\omega \mu }}E_{0}\sum _{n=1}^{\infty }i^{n}{\frac {2n+1}{n(n+1)}}\left(\mathbf {M} _{e1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )+i\mathbf {N} _{o1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )\right).\end{aligned}}}$

Here the superscript ${\displaystyle (1)}$ means that in the radial part of the functions ${\displaystyle \psi _{^{e}_{o}mn}}$ are spherical Bessel functions of the first kind. The expansion coefficients are obtained by taking integrals of the form

${\displaystyle {\frac {\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {E} _{\text{inc}}\cdot \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(1)}\sin \theta {\text{d}}\theta {\text{d}}\varphi }{\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\left|\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(1)}\right|^{2}\sin \theta {\text{d}}\theta {\text{d}}\varphi }}.}$

In this case, all coefficients at ${\displaystyle m\neq 1}$ are zero, since the integral over the angle ${\displaystyle \varphi }$ in the numerator is zero.

Then the following conditions are imposed:

1. Interface conditions on the boundary between the sphere and the environment (which allow us to relate the expansion coefficients of the incident, internal, and scattered fields)
2. The condition that the solution is bounded at the origin (therefore, in the radial part of the generating functions ${\displaystyle \psi _{^{e}_{o}mn}}$, spherical Bessel functions of the first kind are selected for the internal field),
3. For a scattered field, the asymptotics at infinity corresponds to a diverging spherical wave (in connection with this, for the scattered field in the radial part of the generating functions ${\displaystyle \psi _{^{e}_{o}mn}}$ spherical Hankel functions of the first kind are chosen).

Scattered fields are written in terms of a vector harmonic expansion as

${\displaystyle \mathbf {E} _{s}=\sum _{n=1}^{\infty }E_{n}\left(ia_{n}\mathbf {N} _{e1n}^{(3)}(k,\mathbf {r} )-b_{n}\mathbf {M} _{o1n}^{(3)}(k,\mathbf {r} )\right),}$

${\displaystyle \mathbf {H} _{s}={\frac {k}{\omega \mu }}\sum _{n=1}^{\infty }E_{n}\left(a_{n}\mathbf {M} _{e1n}^{(3)}(k,\mathbf {r} )+ib_{n}\mathbf {N} _{o1n}^{(3)}(k,\mathbf {r} )\right).}$

Here the superscript ${\displaystyle (3)}$ means that in the radial part of the functions ${\displaystyle \psi _{^{e}_{o}mn}}$ are spherical Hankel functions of the first kind (those of the second kind would have ${\displaystyle (4)}$), and ${\displaystyle E_{n}={\frac {i^{n}E_{0}(2n+1)}{n(n+1)}}}$,

Internal fields:

${\displaystyle \mathbf {E} _{1}=\sum _{n=1}^{\infty }E_{n}\left(-id_{n}\mathbf {N} _{e1n}^{(1)}(k_{1},\mathbf {r} )+c_{n}\mathbf {M} _{o1n}^{(1)}(k_{1},\mathbf {r} )\right),}$

${\displaystyle \mathbf {H} _{1}={\frac {-k_{1}}{\omega \mu _{1}}}\sum _{n=1}^{\infty }E_{n}\left(d_{n}\mathbf {M} _{e1n}^{(1)}(k_{1},\mathbf {r} )+ic_{n}\mathbf {N} _{o1n}^{(1)}(k_{1},\mathbf {r} )\right).}$

${\textstyle k={\frac {\omega }{c}}n}$ is the wave vector outside the particle ${\textstyle k_{1}={\frac {\omega }{c}}{n_{1}}}$ is the wave vector in the medium from the particle material, ${\displaystyle n}$ and ${\displaystyle n_{1}}$ are the refractive indices of the medium and the particle.

Tras aplicar las condiciones de interfaz, obtenemos expresiones para los coeficientes:

${\displaystyle c_{n}(\omega )={\frac {\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho )-\mu _{1}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},}$

${\displaystyle d_{n}(\omega )={\frac {\mu _{1}n_{1}n\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho )-\mu _{1}n_{1}n\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{\mu n_{1}^{2}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu _{1}n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},}$

${\displaystyle b_{n}(\omega )={\frac {\mu _{1}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )}{\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},}$

${\displaystyle a_{n}(\omega )={\frac {\mu n_{1}^{2}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu _{1}n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )}{\mu n_{1}^{2}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu _{1}n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},}$

dónde

${\displaystyle \rho =ka,}$

${\displaystyle \rho _{1}=k_{1}a}$con${\displaystyle a}$siendo el  radio de la esfera.

${\displaystyle j_{n}}$y${\displaystyle h_{n}}$ representan las funciones esféricas de Bessel y Hankel de primera especie, respectivamente.

Secciones transversales de dispersión y extinción

Espectros de descomposición multipolar de secciones transversales de dispersión

Nanoesferas de oro , radio 100 nm

Nanoesfera de radio 100 nm, índice de refracción n=4

Nanoesferas de silicio con un radio de 100 nm.

Los valores que se suelen calcular utilizando la teoría de Mie incluyen coeficientes de eficiencia para la extinción.${\displaystyle Q_{e}}$, dispersión${\displaystyle Q_{s}}$y absorción${\displaystyle Q_{a}}$. ^{[ 6 ] [ 7 ]} Estos coeficientes de eficiencia son razones de la sección transversal del proceso respectivo,${\displaystyle \sigma _{i}}$, al área proyectada de la partícula,${\displaystyle Q_{i}={\frac {\sigma _{i}}{\pi a^{2}}}}$, donde a es el radio de la partícula. Según la definición de extinción,

${\displaystyle \sigma _{e}=\sigma _{s}+\sigma _{a}}$y${\displaystyle Q_{e}=Q_{s}+Q_{a}}$.

Los coeficientes de dispersión y extinción pueden representarse como la siguiente serie infinita:

${\displaystyle Q_{s}={\frac {2}{k^{2}a^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)\left(|a_{n}|^{2}+|b_{n}|^{2}\right)}$

${\displaystyle Q_{e}={\frac {2}{k^{2}a^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)\Re (a_{n}+b_{n})}$

Las contribuciones en estas sumas, indexadas por n , corresponden a los órdenes de una expansión multipolar, donde n = 1 es el término dipolar, n = 2 es el término cuadrupolar, y así sucesivamente.

El efecto Kerker es un fenómeno de direccionalidad de dispersión que se produce cuando se presentan diferentes respuestas multipolares, y estas no son despreciables.

En 1983, en el trabajo de Kerker , Wang y Giles , ^{[ 10 ]} la dirección de dispersión por partículas con${\displaystyle \mu \neq 1}$fue investigado. En particular, se demostró que para partículas hipotéticas con${\displaystyle \mu =\varepsilon }$La retrodispersión se suprime por completo. Esto puede considerarse una extensión a una superficie esférica de los resultados de Giles y Wild para la reflexión en una superficie plana con índices de refracción iguales, donde la reflexión y la transmisión son constantes e independientes del ángulo de incidencia. ^{[ 11 ]}

Además, las secciones transversales de dispersión en las direcciones hacia adelante y hacia atrás se expresan simplemente en términos de coeficientes de Mie: ^{[ 12 ] [ 13 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{\text{sca}}^{\text{hacia atrás}}&={\frac {1}{a^{2}k^{2}}}\left|\sum _{n=1}^{\infty }{(2n+1)}(-1)^{n}(a_{n}-b_{n})\right|^{2}\\C_{\text{sca}}^{\text{hacia adelante}}&={\frac {1}{a^{2}k^{2}}}\left|\sum _{n=1}^{\infty }{(2n+1)}(a_{n}+b_{n})\right|^{2}\end{aligned}}}$

Para ciertas combinaciones de coeficientes, las expresiones anteriores pueden minimizarse.

Así, por ejemplo, cuando los términos con${\displaystyle n>1}$puede despreciarse ( aproximación dipolar ),${\displaystyle (a_{1}-b_{1})=0}$, corresponde al mínimo en la retrodispersión (los dipolos magnéticos y eléctricos son iguales en magnitud y están en fase, esto también se denomina primera condición de Kerker o condición de intensidad retrodispersada cero ^{[ 14 ]} ). Y${\displaystyle (a_{1}+b_{1})=0}$ corresponde al mínimo en la dispersión hacia adelante, esto también se llama segunda condición de Kerker (o condición de intensidad hacia adelante cercana a cero ). Del teorema óptico, se muestra que para una partícula pasiva${\displaystyle (a_{1}=-b_{1})}$no es posible. ^{[ 15 ]} Para la solución exacta del problema, es necesario tener en cuenta las contribuciones de todos los multipolos. La suma de los dipolos eléctricos y magnéticos forma la fuente de Huygens ^{[ 16 ]}

Para partículas dieléctricas, la dispersión frontal máxima se observa en longitudes de onda mayores que la longitud de onda de resonancia dipolar magnética, y la dispersión retroactiva máxima en longitudes de onda más cortas. ^{[ 17 ]}

Posteriormente, se encontraron otras variantes del efecto. Por ejemplo, el efecto Kerker transversal, con supresión casi completa y simultánea de los campos dispersos hacia adelante y hacia atrás (patrones de dispersión lateral), ^{[ 18 ]} el efecto Kerker optomecánico, ^{[ 19 ]} en la dispersión acústica, ^{[ 20 ]} y también encontrado en plantas. ^{[ 21 ]}

También hay un breve vídeo en YouTube que explica el efecto.

La función de Green es una solución a la siguiente ecuación:

${\displaystyle \nabla \times \nabla \times {\bf {\hat {G}}}(\omega ,\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}\varepsilon (\mathbf {r} ,\omega ){\bf {\hat {G}}}(\omega ,\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')+{\bf {\hat {1}}}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} '),}$

dónde${\displaystyle {\hat {\bf {1}}}}$ — matriz identidad${\displaystyle \varepsilon (\mathbf {r} ,\omega )=\varepsilon _{1}(\omega )}$para${\displaystyle r<a}$, y${\displaystyle \varepsilon (\mathbf {r} ,\omega )=\varepsilon }$para${\displaystyle r>a}$Dado que todos los campos son vectoriales, la función de Green es una matriz de 3x3 y se denomina diádica. Si la polarización${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} )}$se induce en el sistema cuando los campos se escriben como

${\displaystyle \mathbf {E} ^{\omega }({\mathbf {r} })=\omega ^{2}\mu \int \limits _{V}{\text{d}}V'{\hat {\bf {G}}}({\bf {r,r'}},k)\mathbf {P} ^{\omega }(\mathbf {r} ')}$

De la misma manera que los campos, la función de Green puede descomponerse en armónicos esféricos vectoriales. ^{[ 22 ]} Función de Green diádica de un espacio libre a: ^{[ 23 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {\bf {G}}}^{0}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k})\\{}={}&{\frac {\mathbf {e_{r}} \otimes \mathbf {e_{r}} }{k^{2}}}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')+{\frac {ik}{4\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)}}{\frac {(n-m)!}{(n+m)!}}\cdot {}\\&\quad {\begin{cases}{\begin{aligned}\left(\left(\mathbf {M} _{emn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{emn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']\right.\right.&+\left.\left.\mathbf {M} _{omn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{omn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']\right)\right.\\&+\left.\left({\mathbf {N} }_{emn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{emn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']+\mathbf {N} _{omn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{omn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']\right)\right)\end{aligned}}&{\text{if }}r<r'\\{\begin{aligned}\left(\left(\mathbf {M} _{emn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{emn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ']\right.\right.&+\left.\left.\mathbf {M} _{omn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{omn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ']\right)\right.\\&+\left.\left({\mathbf {N} }_{emn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{emn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ']+\mathbf {N} _{omn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{omn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ']\right)\right)\end{aligned}}&{\text{if }}r>r'\end{cases}}\end{aligned}}}$

En presencia de una esfera, la función de Green también se descompone en armónicos esféricos vectoriales. Su apariencia depende del entorno en el que se encuentran los puntos.${\displaystyle \mathbf {r} }$y${\displaystyle \mathbf {r} '}$están ubicados. ^{[ 24 ]}

Cuando ambos puntos están fuera de la esfera (${\displaystyle r>a,r'>a}$):

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {\bf {G}}}^{00}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1}})\\{}={}&{\hat {\bf {G}}}^{0}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k})+{\frac {ik}{4\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)}}{\frac {(n-m)!}{(n+m)!}}\cdot {}\\&\quad \left(a_{n}^{(0)}(\omega )\left(\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']\right)+b_{n}^{(0)}(\omega )\left({\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']\right)\right)\end{aligned}}}$

donde los coeficientes son  :

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}^{(0)}(\omega )&={\frac {\mu /\mu _{1}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )-\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}{\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu /\mu _{1}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},\\b_{n}^{(0)}(\omega )&={\frac {n^{2}\mu _{1}/\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )-n_{1}^{2}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}{n_{1}^{2}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-n^{2}\mu _{1}/\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}}.\end{aligned}}}$

Cuando ambos puntos están dentro de la esfera (${\displaystyle r<a,r'<a}$)  :

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {\bf {G}}}^{11}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1}})\\{}={}&{\hat {\bf {G}}}^{0}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k_{1}})+{\frac {ik_{1}}{4\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)}}{\frac {(n-m)!}{(n+m)!}}\cdot {}\\&\quad \left(c_{n}^{(1)}(\omega )\left(\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ']\right)+d_{n}^{(1)}(\omega )\left({\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ']\right)\right),\end{aligned}}}$

Coeficientes:

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}^{(1)}(\omega )&={\frac {\mu _{1}/\mu \left[\rho h_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho _{1})-\left[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}{\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )-\mu _{1}/\mu \left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}},\\d_{n}^{(1)}(\omega )&={\frac {n_{1}^{2}\mu /\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho _{1})-n^{2}\left[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}{n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )-n_{1}^{2}\mu /\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}}.\end{aligned}}}$

La fuente está dentro de la esfera y el punto de observación está fuera (${\displaystyle r>a,r'<a}$):

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {\bf {G}}}^{01}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1}})\\{}={}&{\frac {ik_{1}}{4\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)}}{\frac {(n-m)!}{(n+m)!}}\cdot {}\\&\quad \left(a_{n}^{(1)}(\omega )(\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} '])+b_{n}^{(1)}(\omega )\left(\mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ']\right)\right)\end{aligned}}}$

coeficientes:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}^{(1)}(\omega )&={\frac {\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho _{1})-\left[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho _{1})}{\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )-\mu _{1}/\mu \left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}},\\b_{n}^{(1)}(\omega )&={\frac {nn_{1}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho _{1})-nn_{1}\left[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho _{1})}{n^{2}\mu _{1}/\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )-n_{1}^{2}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}}.\end{aligned}}}$

La fuente está fuera de la esfera y el punto de observación está dentro (${\displaystyle r<a,r'>a}$)  :

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {\bf {G}}}^{10}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1}})\\{}={}&{\frac {ik}{4\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)}}{\frac {(n-m)!}{(n+m)!}}\cdot {}\\&\quad \left(c_{n}^{(0)}(\omega )(\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k_{1},\mathbf {r} '])+d_{n}^{(0)}(\omega )({\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k_{1},\mathbf {r} '])\right)\end{aligned}}}$

coeficientes:

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}^{(0)}(\omega )&={\frac {\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho )-\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu /\mu _{1}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},\\d_{n}^{(0)}(\omega )&={\frac {nn_{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho )-nn_{1}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{n_{1}^{2}\mu /\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )}}.\end{aligned}}}$

Las soluciones de Mie se implementan en varios programas escritos en diferentes lenguajes de programación como Fortran , MATLAB y Mathematica . Estas soluciones aproximan una serie infinita y proporcionan como resultado el cálculo de la función de fase de dispersión, la extinción, las eficiencias de dispersión y absorción, y otros parámetros como los parámetros de asimetría o el par de radiación. El uso actual del término "solución de Mie" indica una aproximación en serie a una solución de las ecuaciones de Maxwell. Existen varios objetos conocidos que permiten dicha solución: esferas, esferas concéntricas, cilindros infinitos, cúmulos de esferas y cúmulos de cilindros. También existen soluciones en serie conocidas para la dispersión por partículas elipsoidales. A continuación se proporciona una lista de códigos que implementan estas soluciones especializadas:

• Códigos para la dispersión electromagnética por esferas : soluciones para una sola esfera, esferas recubiertas, esfera multicapa y grupo de esferas;
• Códigos para la dispersión electromagnética por cilindros : soluciones para un solo cilindro, cilindros multicapa y grupos de cilindros.

Una generalización que permite tratar partículas con formas más generales es el método de la matriz T , que también se basa en una aproximación en serie a las soluciones de las ecuaciones de Maxwell.

Consulte también los enlaces externos para obtener otros códigos y calculadoras.

La teoría de Mie es fundamental en la óptica meteorológica , donde las relaciones diámetro-longitud de onda del orden de la unidad o mayores son características de muchos problemas relacionados con la dispersión de la bruma y las nubes . Otra aplicación importante es la caracterización de partículas mediante mediciones de dispersión óptica. La solución de Mie también es crucial para comprender la apariencia de materiales comunes como la leche , el tejido biológico y la pintura de látex .

En 1986, PA Bobbert y J. Vlieger extendieron el modelo de Mie para calcular la dispersión por una esfera en un medio homogéneo colocada sobre una superficie plana: el modelo de Bobbert-Vlieger (BV). Al igual que el modelo de Mie, el modelo extendido se puede aplicar a esferas con un radio cercano a la longitud de onda de la luz incidente. ^{[ 36 ]} El modelo se ha implementado en código fuente C++ . ^{[ 37 ]} Los desarrollos recientes están relacionados con la dispersión por elipsoides. ^{[ 38 ] [ 39 ] [ 40 ]} Los estudios contemporáneos se basan en la conocida investigación de Rayleigh. ^{[ 41 ]}

• Códigos para la dispersión electromagnética por esferas
• Electromagnetismo computacional
• Dispersión de la luz por partículas
• Lista de códigos de transferencia radiativa atmosférica
• Propiedades ópticas del agua y el hielo