Problemas del Premio del Milenio

En el campo de la topología geométrica , una esfera bidimensional se caracteriza por ser la única superficie bidimensional cerrada y simplemente conexa . En 1904, Henri Poincaré planteó la cuestión de si una afirmación análoga se cumple para las figuras tridimensionales. Esto se conoció como la conjetura de Poincaré, cuya formulación precisa establece: ^{[ 9 ]}

Cualquier variedad topológica tridimensional que sea cerrada y simplemente conexa debe ser homeomorfa a la 3-esfera .

Aunque la conjetura se suele plantear de esta forma, es equivalente (como se descubrió en la década de 1950) plantearla en el contexto de variedades diferenciables y difeomorfismos .

Grigori Perelman presentó una demostración de esta conjetura, junto con la conjetura de geometrización, más potente, en 2002 y 2003. La solución de Perelman completó el programa de Richard Hamilton para la solución de la conjetura de geometrización, que este había desarrollado a lo largo de los veinte años anteriores. El trabajo de Hamilton y Perelman giró en torno al flujo de Ricci de Hamilton , un sistema complejo de ecuaciones diferenciales parciales definido en el campo de la geometría riemanniana .

Por sus contribuciones a la teoría del flujo de Ricci, Perelman recibió la Medalla Fields en 2006. Sin embargo, rechazó el premio. ^{[ 10 ]} Por su demostración de la conjetura de Poincaré, Perelman recibió el Premio del Milenio el 18 de marzo de 2010. ^{[ 11 ]} Sin embargo, rechazó el premio y el dinero correspondiente, afirmando que la contribución de Hamilton no era menor que la suya. ^{[ 1 ]}

La declaración oficial de la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer fue dada por Andrew Wiles . ^{[ 12 ]} Esta conjetura, que lleva el nombre de Bryan John Birch y Peter Swinnerton-Dyer , trata sobre ciertos tipos de ecuaciones: aquellas que definen curvas elípticas sobre los números racionales . La conjetura es que hay una manera simple de decir si tales ecuaciones tienen un número finito o infinito de soluciones racionales. Más específicamente, la versión del Premio del Milenio de la conjetura es que, si la curva elíptica E tiene rango r , entonces la función L ( E , s ) asociada con ella se anula hasta el orden r en s = 1 .

La conjetura de Hodge es que, para variedades algebraicas proyectivas , los ciclos de Hodge son combinaciones lineales racionales de ciclos algebraicos .

${\displaystyle \operatorname {Hdg} ^{k}(X)=H^{2k}(X,\mathbb {Q} )\cap H^{k,k}(X).}$

A esto lo llamamos el grupo de clases de Hodge de grado 2k en X.

La formulación moderna de la conjetura de Hodge es:

Sea X una variedad proyectiva compleja no singular. Entonces, toda clase de Hodge en X es una combinación lineal con coeficientes racionales de las clases de cohomología de subvariedades complejas de X.

La declaración oficial del problema la dio Pierre Deligne . ^{[ 13 ]}

${\displaystyle \overbrace {\underbrace {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}} _{\begin{smallmatrix}{\text{Variación}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} } _{\begin{smallmatrix}{\text{Convección}}\end{smallmatrix}}} ^{\text{Inercia (por volumen)}}\overbrace {{}-\underbrace {\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} } _{\text{Difusión}}=\underbrace {-\nabla w} _{\begin{smallmatrix}{\text{Fuente interna}}\end{smallmatrix}}} ^{\text{Divergencia de estrés}}+\underbrace {\mathbf {g} } _{\begin{smallmatrix}{\text{Fuente externa}}\\{\text{fuente}}\end{smallmatrix}}.}$

Las ecuaciones de Navier-Stokes describen el movimiento de los fluidos y constituyen uno de los pilares de la mecánica de fluidos . Sin embargo, a pesar de su importancia en la ciencia y la ingeniería, la comprensión teórica de sus soluciones es incompleta. Para el sistema de ecuaciones tridimensional, y dadas ciertas condiciones iniciales , los matemáticos aún no han demostrado que siempre existan soluciones suaves . Esto se conoce como el problema de existencia y suavidad de las ecuaciones de Navier-Stokes .

El problema, restringido al caso de un flujo incompresible , consiste en demostrar que existen soluciones suaves y definidas globalmente que cumplen ciertas condiciones, o bien que no siempre existen y las ecuaciones dejan de ser válidas. El enunciado oficial del problema fue presentado por Charles Fefferman . ^{[ 14 ]}

La pregunta es si, para todos los problemas para los que un algoritmo puede verificar una solución dada rápidamente (es decir, en tiempo polinomial ), un algoritmo también puede encontrar esa solución rápidamente. Dado que el primero describe la clase de problemas denominada NP, mientras que el segundo describe P, la pregunta es equivalente a preguntar si todos los problemas en NP también están en P. Esta es generalmente considerada una de las preguntas abiertas más importantes en matemáticas y ciencias de la computación teórica, ya que tiene consecuencias de gran alcance para otros problemas en matemáticas , para biología , ^{[ 15 ]} filosofía ^{[ 16 ]} y para criptografía (ver P versus NP problem proof consequences ). Un ejemplo común de un problema NP que no se sabe que esté en P es el problema de satisfacibilidad booleana .

La mayoría de los matemáticos e informáticos esperan que P  ≠  NP; sin embargo, esto sigue sin demostrarse. ^{[ 17 ]}

La declaración oficial del problema la dio Stephen Cook . ^{[ 18 ]}

La función zeta de Riemann${\displaystyle \zeta (s)}$es una función cuyos argumentos pueden ser cualquier número complejo distinto de 1, y cuyos valores también son complejos. Esta función puede expresarse como la suma infinita de la potencia de una fracción unitaria : ^{[ 19 ]}$${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots .}$$Su continuación analítica tiene ceros en los enteros pares negativos; es decir,${\displaystyle \zeta (s)=0}$cuando ${\displaystyle s}$es uno de${\displaystyle -2}$,${\displaystyle -4}$,${\displaystyle -6}$y así sucesivamente. Estos se denominan sus ceros triviales. Sin embargo, los enteros pares negativos no son los únicos valores para los que la función zeta es cero. Los demás se denominan ceros no triviales. La hipótesis de Riemann se ocupa de la ubicación de estos ceros no triviales y establece que:

La parte real de cada cero no trivial de la función zeta de Riemann es${\textstyle {\frac {1}{2}}}$.

La hipótesis de Riemann postula que todos los ceros no triviales de la función zeta de Riemann tienen una parte real de 1/2 . Una demostración o refutación de esta hipótesis tendría profundas implicaciones en la teoría de números , especialmente para la distribución de los números primos . Este fue el octavo problema de Hilbert y, un siglo después, sigue considerándose un importante problema abierto .

El problema es bien conocido desde que Bernhard Riemann lo planteó originalmente en 1859. La exposición del problema por parte del Instituto Clay fue presentada por Enrico Bombieri . ^{[ 20 ]}

En la teoría cuántica de campos , la brecha de masa es la diferencia de energía entre el vacío y el siguiente estado de energía más bajo . La energía del vacío es cero por definición, y suponiendo que todos los estados de energía pueden considerarse partículas en ondas planas, la brecha de masa es la masa de la partícula más ligera.

Para un campo real dado${\displaystyle \phi (x)}$Podemos decir que la teoría tiene una brecha de masa si la función de dos puntos tiene la propiedad

${\displaystyle \langle \phi (0,t)\phi (0,0)\rangle \sim \sum _{n}A_{n}\exp \left(-\Delta _{n}t\right)}$

con${\displaystyle \Delta _{0}>0}$es el valor de energía más bajo en el espectro del hamiltoniano y, por lo tanto, la brecha de masa. Esta magnitud, fácil de generalizar a otros campos, es la que se suele medir en los cálculos de retículo.

La teoría cuántica de Yang-Mills es el fundamento actual de la mayoría de las aplicaciones teóricas del pensamiento a la realidad y las realidades potenciales de la física de partículas elementales . ^{[ 21 ]} La teoría es una generalización de la teoría de Maxwell del electromagnetismo , donde el campo cromo -electromagnético mismo transporta carga. Como teoría de campo clásica, tiene soluciones que viajan a la velocidad de la luz, por lo que su versión cuántica debería describir partículas sin masa ( gluones ). Sin embargo, el fenómeno postulado de confinamiento de color permite solo estados ligados de gluones, formando partículas masivas. Esta es la brecha de masa . Otro aspecto del confinamiento es la libertad asintótica , que hace concebible que la teoría cuántica de Yang-Mills exista sin restricción a escalas de baja energía. El problema es establecer rigurosamente la existencia de la teoría cuántica de Yang-Mills y una brecha de masa.

Demuestre que para cualquier grupo de gauge simple y compacto G, existe una teoría de Yang-Mills cuántica no trivial en${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$y tiene una brecha de masa Δ > 0. La existencia incluye establecer propiedades axiomáticas al menos tan fuertes como las citadas en Streater y Wightman (1964), ^{[ 22 ]} Osterwalder y Schrader (1973), ^{[ 23 ]} y Osterwalder y Schrader (1975). ^{[ 24 ]}

La declaración oficial del problema la dieron Arthur Jaffe y Edward Witten . ^{[ 25 ]}