Gran dirhombicosidodecaedro

En geometría , el gran dirrombicosidodecaedro (o gran disicosidisdodecaedro truncado ) es un poliedro uniforme no convexo degenerado , indexado en último lugar como U _75. Tiene 124 caras (40 triángulos , 60 cuadrados y 24 pentagramas ), 240 aristas y 60 vértices . ^{[ 1 ]}

Se le ha apodado "el monstruo de Miller" ^{[ 2 ]} (en honor a JCP Miller , quien junto con HSM Coxeter y MS Longuet-Higgins enumeró los poliedros uniformes en 1954).

Este es el único poliedro uniforme no degenerado con más de seis caras que convergen en un vértice. Cada vértice tiene 4 cuadrados que pasan por el eje central del vértice (y por lo tanto por el centro de la figura), alternando con dos triángulos y dos pentagramas. Dado que todos sus 60 planos faciales de doble cuadrado pasan por su centro, el gran dirrombicosidodecaedro se clasifica como un hemipoliedro . ^{[ 3 ]} Otra característica inusual es que todas las caras aparecen en pares coplanares.

Este es también el único poliedro uniforme que no puede formarse mediante la construcción de Wythoff a partir de un triángulo esférico. Posee un símbolo especial de Wythoff | 3 ⁄ 2 5 ⁄ 3 3 5 ⁄ 2 , que lo relaciona con un cuadrilátero esférico . Este símbolo sugiere que se trata de una especie de poliedro truncado , con la particularidad de que, en lugar de que las caras no truncadas estén rodeadas por triángulos truncados como en la mayoría de los poliedros truncados, están rodeadas por cuadrados truncados.

Dejemos el punto${\displaystyle p}$ser dado por

${\displaystyle p={\begin{pmatrix}\phi ^{-{\frac {1}{2}}}\\0\\\phi ^{-1}\end{pmatrix}}}$,

dónde${\displaystyle \phi }$es la proporción áurea . Sea la matriz${\displaystyle M}$ser dado por

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}1/2&-\phi /2&1/(2\phi )\\\phi /2&1/(2\phi )&-1/2\\1/(2\phi )&1/2&\phi /2\end{pmatrix}}}$.

${\displaystyle M}$es la rotación alrededor del eje${\displaystyle (1,0,\phi )}$ por un ángulo de${\displaystyle 2\pi /5}$, en sentido antihorario. Sean las transformaciones lineales${\displaystyle T_{0},\ldots ,T_{11}}$ sean las transformaciones que envían un punto${\displaystyle (x,y,z)}$a las permutaciones pares de${\displaystyle (\pm x,\pm y,\pm z)}$ con un número par de signos menos. Las transformaciones${\displaystyle T_{i}}$constituyen el grupo de simetrías rotacionales de un tetraedro regular . Las transformaciones${\displaystyle T_{i}M^{j}}$${\displaystyle (i=0,\ldots ,11}$,${\displaystyle j=0,\ldots ,4)}$constituyen el grupo de simetrías rotacionales de un icosaedro regular . Entonces los 60 puntos${\displaystyle T_{i}M^{j}p}$ son los vértices de un gran dirrombicosidodecaedro. La longitud de la arista es igual a${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, el radio circunscrito es igual a${\displaystyle 1}$y el radio medio es igual a${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}}$.

Para un gran dirrombicosidodecaedro cuya longitud de arista es 1, el radio de la circunferencia circunscrita es

${\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}}$.

Su radio medio es

${\displaystyle r={\frac {1}{2}}}$.

• Coxeter, Harold Scott MacDonald; Longuet-Higgins, M. S.; Miller, J. C. P. (1954), "Uniform polyhedra", Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences, 246 (916): 401–450, Bibcode:1954RSPTA.246..401C, doi:10.1098/rsta.1954.0003, ISSN 0080-4614, JSTOR 91532, MR 0062446, S2CID 202575183
• Wenninger, Magnus (1974). Polyhedron Models. Cambridge University Press. ISBN 0-521-09859-9. OCLC 1738087.
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• Har'El, Z. Uniform Solution for Uniform Polyhedra., Geometriae Dedicata 47, 57-110, 1993. Zvi Har’El, Kaleido software, Images, dual images
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• Webb, Robert (2001). "Great Dirhombicosidodecahedron ("Miller's Monster")". Stella.

• Weisstein, Eric W."Great dirhombicosidodecahedron". MathWorld.