Teorema de Miller

El teorema de Miller establece que en un circuito lineal, si existe una rama con impedancia${\displaystyle Z}$, conectando dos nodos con voltajes nodales${\displaystyle V_{1}}$y${\displaystyle V_{2}}$Podemos reemplazar esta rama por dos ramas que conecten los nodos correspondientes a tierra mediante impedancias respectivamente.${\displaystyle {\frac {Z}{1-K}}}$y${\displaystyle {\frac {KZ}{K-1}}}$, dónde${\displaystyle K={\frac {V_{2}}{V_{1}}}}$El teorema de Miller se puede demostrar utilizando la técnica de red de dos puertos equivalente para reemplazar la red de dos puertos por su equivalente y aplicando el teorema de absorción de la fuente. ^{[ 3 ]} Esta versión del teorema de Miller se basa en la ley de voltajes de Kirchhoff ; por esa razón, también se le llama teorema de Miller para voltajes .

El teorema de Miller implica que un elemento de impedancia es alimentado por dos fuentes de voltaje arbitrarias (no necesariamente dependientes) que están conectadas en serie a través de una tierra común. En la práctica, una de ellas actúa como una fuente de voltaje principal (independiente) con voltaje${\displaystyle V_{1}}$y la otra, como una fuente de voltaje adicional (linealmente dependiente) con voltaje${\displaystyle V_{2}=K{V_{1}}}$La idea del teorema de Miller (que modifica las impedancias del circuito vistas desde los lados de las fuentes de entrada y salida) se revela a continuación comparando las dos situaciones: sin y con la conexión de una fuente de voltaje adicional.${\displaystyle V_{2}}$.

Si${\displaystyle V_{2}}$eran cero (no había una segunda fuente de voltaje o el extremo derecho del elemento con impedancia)${\displaystyle Z}$(Estaba recién conectado a tierra), la corriente de entrada que fluye a través del elemento estaría determinada, según la ley de Ohm, solo por${\displaystyle V_{1}}$

${\displaystyle I_{in0}={\frac {V_{1}}{Z}}}$

y la impedancia de entrada del circuito sería

${\displaystyle Z_{in0}={\frac {V_{1}}{I_{in0}}}=Z.}$

Como se incluye una segunda fuente de voltaje, la corriente de entrada depende de ambos voltajes. Según su polaridad,${\displaystyle V_{2}}$se resta o se suma${\displaystyle V_{1}}$; por lo tanto, la corriente de entrada disminuye/aumenta

${\displaystyle I_{in}={\frac {V_{1}-V_{2}}{Z}}={\frac {(1-K)}{Z}}{V_{1}}={(1-K)}{I_{in0}}}$

y la impedancia de entrada del circuito vista desde el lado de la fuente de entrada aumenta/disminuye en consecuencia.

${\displaystyle Z_{in}={\frac {V_{1}}{I_{in}}}={\frac {Z}{1-K}}.}$

Así pues, el teorema de Miller expresa el hecho de que al conectar una segunda fuente de voltaje con voltaje proporcional${\displaystyle V_{2}=K{V_{1}}}$en serie con la fuente de tensión de entrada cambia la tensión efectiva, la corriente y respectivamente, la impedancia del circuito vista desde el lado de la fuente de entrada . Dependiendo de la polaridad,${\displaystyle V_{2}}$Actúa como una fuente de voltaje suplementaria que ayuda u opone a la fuente de voltaje principal a pasar la corriente a través de la impedancia.

Además de presentar la combinación de las dos fuentes de voltaje como una nueva fuente de voltaje compuesta, el teorema puede explicarse combinando el elemento real y la segunda fuente de voltaje en un nuevo elemento virtual con impedancia modificada dinámicamente . Desde este punto de vista,${\displaystyle V_{2}}$es un voltaje adicional que aumenta/disminuye artificialmente la caída de voltaje${\displaystyle V_{z}}$a través de la impedancia${\displaystyle Z}$de esta forma disminuye/aumenta la corriente. La proporción entre los voltajes determina el valor de la impedancia obtenida (ver las tablas a continuación) y da como resultado un total de seis grupos de aplicaciones típicas .

La impedancia del circuito, vista desde el lado de la fuente de salida, puede definirse de manera similar, si los voltajes${\displaystyle V_{1}}$y${\displaystyle V_{2}}$se intercambian y el coeficiente${\displaystyle K}$es reemplazado por${\displaystyle {\frac {1}{K}}}$

${\displaystyle Z_{in2}={\frac {{K}{Z}}{K-1}}.}$

Con mayor frecuencia, el teorema de Miller puede observarse e implementarse mediante un arreglo que consiste en un elemento con impedancia${\displaystyle Z}$conectado entre los dos terminales de una red lineal general conectada a tierra. ^{[ 2 ]} Por lo general, un amplificador de voltaje con ganancia de${\displaystyle A_{V}=K}$Sirve como una red lineal, pero también otros dispositivos pueden desempeñar este papel: una persona y un potenciómetro en un medidor de equilibrio nulo potenciométrico , un integrador electromecánico (servomecanismos que utilizan sensores de retroalimentación potenciométrica), etc.

En la implementación del amplificador, el voltaje de entrada${\displaystyle V_{i}}$sirve como${\displaystyle V_{1}}$y el voltaje de salida${\displaystyle V_{o}}$como${\displaystyle V_{2}}$En muchos casos, la fuente de voltaje de entrada tiene cierta impedancia interna.${\displaystyle Z_{int}}$o se conecta una impedancia de entrada adicional que, en combinación con${\displaystyle Z}$, introduce una retroalimentación. Dependiendo del tipo de amplificador (no inversor, inversor o diferencial), la retroalimentación puede ser positiva, negativa o mixta.

La configuración del amplificador Miller tiene dos aspectos:

• El amplificador puede considerarse como una fuente de voltaje adicional que convierte la impedancia real en una impedancia virtual (el amplificador modifica la impedancia del elemento real).
• La impedancia virtual puede considerarse como un elemento conectado en paralelo a la entrada del amplificador (la impedancia virtual modifica la impedancia de entrada del amplificador).

La introducción de una impedancia que conecta los puertos de entrada y salida del amplificador añade una gran complejidad al proceso de análisis. El teorema de Miller ayuda a reducir la complejidad en algunos circuitos, particularmente con retroalimentación ^{[ 2 ],} al convertirlos en circuitos equivalentes más simples. Pero el teorema de Miller no es solo una herramienta eficaz para crear circuitos equivalentes; también es una herramienta poderosa para diseñar y comprender circuitos basados ​​en la modificación de la impedancia mediante voltaje adicional . Dependiendo de la polaridad del voltaje de salida con respecto al voltaje de entrada y la proporción entre sus magnitudes, existen seis grupos de situaciones típicas. En algunos de ellos, el fenómeno de Miller aparece como efectos no deseados ( bootstrapping ) o no deseados ( efecto Miller ); en otros casos se introduce intencionalmente.

Aplicaciones basadas en la resta de V ₂ de V ₁

En estas aplicaciones, el voltaje de salida${\displaystyle V_{o}}$se inserta con una polaridad opuesta con respecto a la tensión de entrada.${\displaystyle V_{i}}$viajando a lo largo del bucle (pero con respecto a tierra, las polaridades son las mismas). Como resultado, la tensión efectiva a través de la impedancia y la corriente que la atraviesa disminuyen; la impedancia de entrada aumenta.

El aumento de impedancia se implementa mediante un amplificador no inversor con ganancia de${\displaystyle 0<A_{v}<1}$La (magnitud de) voltaje de salida es menor que el voltaje de entrada.${\displaystyle V_{i}}$y lo neutraliza parcialmente. Ejemplos de ello son los seguidores de voltaje imperfectos ( seguidor de emisor , de fuente , de cátodo , etc.) y los amplificadores con realimentación negativa en serie ( degeneración de emisor ), cuya impedancia de entrada aumenta moderadamente.

La impedancia infinita utiliza un amplificador no inversor con${\displaystyle A_{v}=1}$El voltaje de salida es igual al voltaje de entrada.${\displaystyle V_{i}}$y la neutraliza por completo. Ejemplos de ello son los medidores de equilibrio nulo potenciométricos y los seguidores y amplificadores con retroalimentación negativa en serie ( seguidor de amplificador operacional y amplificador no inversor ), donde la impedancia de entrada del circuito aumenta enormemente. Esta técnica se denomina bootstrapping y se utiliza intencionadamente en circuitos de polarización, circuitos de protección de entrada, ^{[ 4 ]} etc.

La impedancia negativa obtenida por inversión de corriente se implementa mediante un amplificador no inversor con${\displaystyle A_{v}>1}$La corriente cambia de dirección, ya que el voltaje de salida es mayor que el voltaje de entrada. Si la fuente de voltaje de entrada tiene alguna impedancia interna${\displaystyle Z_{int}}$o, si se conecta a través de otro elemento de impedancia, aparece una retroalimentación positiva. Una aplicación típica es el convertidor de impedancia negativa con inversión de corriente (INIC), que utiliza tanto retroalimentación negativa como positiva (la retroalimentación negativa se usa para implementar un amplificador no inversor y la positiva para modificar la impedancia).

Aplicaciones basadas en la suma de V ₂ a V ₁

En estas aplicaciones, el voltaje de salida${\displaystyle V_{o}}$se inserta con la misma polaridad con respecto a la tensión de entrada.${\displaystyle V_{i}}$viajando a lo largo del bucle (pero con respecto a tierra, las polaridades son opuestas). Como resultado, la tensión efectiva y la corriente que atraviesa la impedancia aumentan; la impedancia de entrada disminuye.

La disminución de la impedancia se implementa mediante un amplificador inversor con una ganancia moderada, generalmente${\displaystyle 10<A_{v}<1000}$Puede observarse como un efecto Miller no deseado en etapas de amplificación de emisor común , fuente común y cátodo común, donde aumenta la capacitancia de entrada efectiva. La compensación de frecuencia para amplificadores operacionales de propósito general y el integrador Miller de transistores son ejemplos de usos útiles del efecto Miller.

La impedancia cero utiliza un amplificador inversor (generalmente un amplificador operacional) con una ganancia enormemente alta.${\displaystyle A_{v}\to \infty }$La tensión de salida es casi igual a la caída de tensión.${\displaystyle V_{z}}$a través de la impedancia y la neutraliza completamente. El circuito se comporta como una conexión en cortocircuito y aparece una tierra virtual en la entrada; por lo tanto, no debe ser alimentado por una fuente de voltaje constante. Para este propósito, algunos circuitos son alimentados por una fuente de corriente constante o por una fuente de voltaje real con impedancia interna: convertidor de corriente a voltaje (amplificador de transimpedancia), integrador capacitivo (también llamado integrador de corriente o amplificador de carga ), convertidor de resistencia a voltaje (un sensor resistivo conectado en el lugar de la impedancia).${\displaystyle Z}$).

El resto de ellos tienen una impedancia adicional conectada en serie a la entrada: convertidor de voltaje a corriente (amplificador de transconductancia), amplificador inversor , amplificador sumador , integrador inductivo, diferenciador capacitivo, integrador resistivo-capacitivo , diferenciador capacitivo-resistivo , diferenciador inductivo-resistivo, etc. Los integradores inversores de esta lista son ejemplos de aplicaciones útiles y deseables del efecto Miller en su manifestación extrema.

En todos estos circuitos inversores de amplificador operacional con retroalimentación negativa en paralelo , la corriente de entrada se incrementa hasta su máximo. Está determinada únicamente por el voltaje de entrada y la impedancia de entrada según la ley de Ohm ; no depende de la impedancia.${\displaystyle Z}$.

La impedancia negativa con inversión de voltaje se implementa aplicando retroalimentación negativa y positiva a un amplificador operacional con entrada diferencial. La fuente de voltaje de entrada debe tener impedancia interna.${\displaystyle Z_{int}>0}$o debe conectarse a través de otro elemento de impedancia a la entrada. En estas condiciones, la tensión de entrada${\displaystyle V_{i}}$El circuito cambia su polaridad cuando la tensión de salida supera la caída de tensión.${\displaystyle V_{z}}$a través de la impedancia (${\displaystyle V_{i}=V_{z}-V_{o}<0}$).

Una aplicación típica es un convertidor de impedancia negativa con inversión de voltaje (VNIC). ^{[ 5 ]} Es interesante que el voltaje de entrada del circuito tenga la misma polaridad que el voltaje de salida, aunque se aplique a la entrada del amplificador operacional inversor; la fuente de entrada tiene una polaridad opuesta tanto al voltaje de entrada como al de salida del circuito.

El efecto Miller original se implementa mediante una impedancia capacitiva conectada entre los dos nodos. El teorema de Miller generaliza el efecto Miller ya que implica una impedancia arbitraria.${\displaystyle Z}$conectado entre los nodos. También se supone un coeficiente constante.${\displaystyle K}$En ese caso, las expresiones anteriores son válidas. Sin embargo, existen propiedades modificadoras del teorema de Miller incluso cuando se incumplen estos requisitos, y esta configuración puede generalizarse aún más dinamizando la impedancia y el coeficiente.

Elemento no lineal. Además de la impedancia, la disposición de Miller puede modificar la característica I-V de un elemento arbitrario. El circuito de un convertidor logarítmico de diodo es un ejemplo de una resistencia virtualmente cero no lineal donde la curva I-V directa logarítmica de un diodo se transforma en una línea recta vertical que se superpone a la${\displaystyle y}$eje.

Coeficiente no constante. Si el coeficiente${\displaystyle K}$Varía, se pueden obtener algunos elementos virtuales exóticos. Un circuito girador es un ejemplo de tal elemento virtual donde la resistencia${\displaystyle R_{L}}$se modifica para imitar la inductancia, la capacitancia o la resistencia inversa.

También existe una versión dual del teorema de Miller que se basa en la ley de corrientes de Kirchhoff ( teorema de Miller para corrientes ): si hay una rama en un circuito con impedancia${\displaystyle Z}$conectando un nodo, donde dos corrientes${\displaystyle I_{1}}$y${\displaystyle I_{2}}$convergen a tierra, podemos reemplazar esta rama por dos que conduzcan las corrientes mencionadas, con impedancias respectivamente iguales a${\displaystyle (1+\alpha )Z}$y${\displaystyle {\frac {(1+\alpha )Z}{\alpha }}}$, dónde${\displaystyle \alpha ={\frac {I_{2}}{I_{1}}}}$El teorema dual puede demostrarse reemplazando la red de dos puertos por su equivalente y aplicando el teorema de absorción de la fuente. ^{[ 3 ]}

El teorema de Miller dual expresa en realidad el hecho de que al conectar una segunda fuente de corriente se produce una corriente proporcional.${\displaystyle I_{2}=KI_{1}}$en paralelo con la fuente de entrada principal y el elemento de impedancia cambia la corriente que fluye a través de él, el voltaje y, en consecuencia, la impedancia del circuito vista desde el lado de la fuente de entrada. Dependiendo de la dirección,${\displaystyle I_{2}}$actúa como una fuente de corriente suplementaria que ayuda u opone a la fuente de corriente principal.${\displaystyle I_{1}}$para generar voltaje a través de la impedancia. La combinación del elemento real y la segunda fuente de corriente puede considerarse como un nuevo elemento virtual con impedancia modificada dinámicamente.

El teorema de Miller dual se implementa generalmente mediante una configuración que consiste en dos fuentes de voltaje que suministran la impedancia conectada a tierra.${\displaystyle Z}$mediante impedancias flotantes (véase la figura 3 ). Las combinaciones de las fuentes de tensión y sus impedancias correspondientes forman las dos fuentes de corriente: la principal y la auxiliar. Como en el caso del teorema principal de Miller, la segunda tensión se suele generar mediante un amplificador de tensión. Según el tipo de amplificador (inversor, no inversor o diferencial) y la ganancia, la impedancia de entrada del circuito puede ser prácticamente aumentada, infinita, disminuida, cero o negativa.

Como teorema principal de Miller, además de ayudar en el proceso de análisis de circuitos, la versión dual es una herramienta poderosa para diseñar y comprender circuitos basados ​​en la modificación de la impedancia mediante corriente adicional. Las aplicaciones típicas son algunos circuitos exóticos con impedancia negativa como canceladores de carga, ^{[ 6 ]} neutralizadores de capacitancia, ^{[ 7 ]} fuente de corriente de Howland y su derivado integrador de Deboo. ^{[ 8 ]} En el último ejemplo (ver Fig. 1 allí), la fuente de corriente de Howland consiste en una fuente de voltaje de entrada${\displaystyle V_{in}}$, una resistencia positiva${\displaystyle R}$, una carga (el condensador${\displaystyle C}$actuando como impedancia${\displaystyle Z}$) y un convertidor de impedancia negativa INIC (${\displaystyle R_{1}=R_{2}=R_{3}=R}$y el amplificador operacional). La fuente de voltaje de entrada y la resistencia${\displaystyle R}$constituyen una fuente de corriente imperfecta que deja pasar corriente${\displaystyle I_{R}}$a través de la carga (ver Fig. 3 en la fuente). El INIC actúa como una segunda fuente de corriente que pasa corriente "auxiliar".${\displaystyle I_{-R}}$a través de la carga. Como resultado, la corriente total que fluye a través de la carga es constante y la impedancia del circuito vista desde la fuente de entrada aumenta. En comparación, en un cancelador de carga , el INIC deja pasar toda la corriente necesaria a través de la carga; la impedancia del circuito vista desde el lado de la fuente de entrada (la impedancia de carga) es prácticamente infinita.