Grupo de enlace

En la teoría de nudos , un área de las matemáticas , el grupo de enlace de un enlace es análogo al grupo de nudo de un nudo . Fueron descritos por John Milnor en su tesis doctoral ( Milnor, 1954 ) . Cabe destacar que el grupo de enlace no es, en general, el grupo fundamental del complemento del enlace .

El grupo de enlaces de un enlace de n componentes es esencialmente el conjunto de enlaces de ( n  +  1) componentes que extienden este enlace, salvo homotopía de enlaces.En otras palabras, cada componente del enlace extendido puede moverse a través de la homotopía regular (homotopía a través de inmersiones ), anudándose o desanudándose a sí mismo, pero no puede moverse a través de otros componentes. Esta es una condición más débil que la isotopía: por ejemplo, el enlace de Whitehead tiene número de enlace  0, y por lo tanto es homotópico al enlace desenredado , pero no es isotópico al enlace desenredado.

El grupo de enlace no es el grupo fundamental del complemento de enlace , ya que los componentes del enlace pueden moverse a través de sí mismos, aunque no entre sí, sino que es un grupo cociente del grupo fundamental del complemento de enlace, puesto que se puede partir de elementos del grupo fundamental y, a continuación, mediante el anudamiento o desanudamiento de componentes, algunos de estos elementos pueden llegar a ser equivalentes entre sí.

El grupo de enlace del desenlace de n componentes es el grupo libre en n generadores,${\displaystyle F_{n}}$, ya que el grupo de enlace de un solo enlace es el grupo de nudo del nudo no enlazado , que son los enteros, y el grupo de enlace de una unión no enlazada es el producto libre de los grupos de enlace de los componentes.

El grupo de enlace del enlace de Hopf , el enlace no trivial más simple –dos círculos, enlazados una vez– es el grupo abeliano libre en dos generadores,${\displaystyle \mathbf {Z} ^{2}.}$Nótese que el grupo de enlace de dos círculos no enlazados es el grupo libre no abeliano sobre dos generadores, del cual el grupo libre abeliano sobre dos generadores es un cociente . En este caso, el grupo de enlace es el grupo fundamental del complemento de enlace, ya que la deformación del complemento de enlace se retrae sobre un toro.

El enlace de Whitehead es homotópico al enlace no enlazado, aunque no es isotópico al enlace no enlazado, y por lo tanto tiene el grupo de enlace libre en dos generadores.

Milnor definió invariantes de un enlace (funciones en el grupo de enlaces) en ( Milnor 1954 ) , utilizando el carácter${\displaystyle {\bar {\mu }},}$que han llegado a ser llamados " invariantes μ -barra de Milnor" o simplemente "invariantes de Milnor". Para cada k , hay una función k -aria${\displaystyle {\bar {\mu }},}$que define invariantes según qué k de los enlaces se seleccionen, en qué orden.

Los invariantes de Milnor pueden relacionarse con productos de Massey en el complemento del enlace (el complemento del enlace); esto fue sugerido en ( Stallings 1965 ) y preciso en ( Turaev 1976 ) y ( Porter 1980 ) .

Al igual que con los productos de Massey, los invariantes de Milnor de longitud k  +  1 se definen si todos los invariantes de Milnor de longitud menor o igual a k se anulan. El primer invariante de Milnor (de doble orden) es simplemente el número de enlace (así como el producto de Massey de doble orden es el producto de copa, que es dual a la intersección), mientras que el invariante de Milnor de triple orden mide si 3 círculos no enlazados por pares son anillos de Borromeo y, de ser así, en cierto sentido, cuántas veces (es decir, los anillos de Borromeo tienen un invariante de Milnor de triple orden de 1 o -1, dependiendo del orden, pero otros enlaces de 3 elementos pueden tener un invariante de 2 o más, así como los números de enlace pueden ser mayores que 1).

Otra definición es la siguiente: considere un enlace${\ Displaystyle L = L_ {1} \ taza L_ {2} \ taza L_ {3}}$. Supongamos que${\displaystyle {\rm {lk}}(L_{i},L_{j})=0}$para${\displaystyle i,j=1,2,3}$y${\displaystyle i<j}$. Elija cualquier superficie de Seifert para los componentes de enlace respectivos, por ejemplo,${\displaystyle F_{1},F_{2},F_{3}}$, de tal manera que${\displaystyle F_{i}\cap L_{j}=\emptyset }$a pesar de${\displaystyle i\neq j}$. Entonces, el invariante triple de Milnor es igual a menos el número de puntos de intersección en${\displaystyle F_{1}\cap F_{2}\cap F_{3}}$conteo con signos; ( Cochran 1990 ) .

Los invariantes de Milnor también pueden definirse si los invariantes de orden inferior no se anulan, pero entonces surge una indeterminación que depende de los valores de dichos invariantes. Esta indeterminación puede entenderse geométricamente como la indeterminación al expresar un enlace como una cadena cerrada, como se explica más adelante (también puede verse algebraicamente como la indeterminación de los productos de Massey si los productos de Massey de orden inferior no se anulan).

Los invariantes de Milnor pueden considerarse invariantes de enlaces de cadena , en cuyo caso están definidos universalmente, y la indeterminación del invariante de Milnor de un enlace se debe precisamente a las múltiples formas en que un enlace dado puede dividirse en un enlace de cadena; esto permite la clasificación de enlaces hasta la homotopía de enlaces, como en ( Habegger y Lin 1990 ) . Vistos desde este punto de vista, los invariantes de Milnor son invariantes de tipo finito , y de hecho ellos (y sus productos) son los únicos invariantes de concordancia de tipo finito racionales de enlaces de cadena; ( Habegger y Masbaum 2000 ) .

El número de invariantes de Milnor linealmente independientes de longitud${\displaystyle k+1}$para enlaces de m componentes es${\displaystyle mN_{k}-N_{k+1}}$, dónde${\displaystyle N_{k}}$es el número de conmutadores básicos de longitud k en el álgebra de Lie libre sobre m generadores, a saber:

${\displaystyle N_{k}={\frac {1}{k}}\sum _{d|m}\phi (d)\left(m^{k/d}\right)}$,

dónde${\displaystyle \phi }$es la función de Möbius ; véase, por ejemplo , ( Orr 1989 ) . Este número crece en el orden de${\displaystyle m^{k+1}/k^{2}}$.

Los grupos de enlaces se pueden utilizar para clasificar los enlaces de Brunn .

• grupo de nudos
• homotopía regular

• Cochran, Tim D. (1990), "Derivadas de enlaces: invariantes de concordancia de Milnor y productos de Massey" , Memoirs of the American Mathematical Society , 84 (427), American Mathematical Society, doi : 10.1090/memo/0427
• Habegger, Nathan; Lin, Xiao Song (1990), "La clasificación de enlaces hasta la homotopía", Journal of the American Mathematical Society , 2, 3 (2), American Mathematical Society: 389– 419, doi : 10.2307/1990959 , JSTOR 1990959 
• Habegger, Nathan; Masbaum, Gregor (2000), "La integral de Kontsevich y los invariantes de Milnor", Topology , 39 (6): 1253–1289 , doi : 10.1016/S0040-9383(99)00041-5 , MR 1783857 
• Milnor, John (marzo de 1954), "Grupos de enlace", Annals of Mathematics , 59 (2), Annals of Mathematics: 177–195 , doi : 10.2307/1969685 , JSTOR 1969685 , MR 0071020  
• Orr, Kent E. (1989), "Invariantes de homotopía de enlaces", Inventiones Mathematicae , 95 (2): 379– 394, doi : 10.1007/BF01393902 , MR 0974908 , S2CID 120916814  
• Porter, Richard D. (1980), " Invariantes μ de Milnor y productos de Massey", Transactions of the American Mathematical Society , 257 (1), American Mathematical Society: 39–71 , doi : 10.2307/1998124 , JSTOR 1998124 , MR 0549154  
• Stallings, John R. (1965), "Homología y series centrales de grupos", Journal of Algebra , 2 (2): 170– 181, doi : 10.1016/0021-8693(65)90017-7 , MR 0175956 
• Turaev, Vladimir G. (1976), "Las invariantes de Milnor y los productos Massey", Zap. Naučn. Sem. Leningrado. Otdel. Estera. Inst. Steklov. (LOMI) , Estudios de Topología-II, 66 : 189–203 , MR 0451251