Teoría K de Milnor

Tras la definición del grupo Grothendieck${\displaystyle K(R)}$de un anillo conmutativo , se esperaba que hubiera una secuencia de invariantes${\displaystyle K_{i}(R)}$llamados grupos de teoría K superior , debido a que existe una secuencia exacta corta.

${\displaystyle K(R,I)\to K(R)\to K(R/I)\to 0}$

que debería tener una continuación mediante una larga secuencia exacta . Nótese que el grupo de la izquierda es la teoría K relativa . Esto dio lugar a muchos estudios y, como primera aproximación a cómo sería esta teoría, Milnor dio una definición de campos. Su definición se basa en dos cálculos de cómo "debería" ser la teoría K superior en grados.${\displaystyle 1}$y${\displaystyle 2}$. Entonces, si en una generalización posterior de la teoría K algebraica se diera, si los generadores de${\displaystyle K_{*}(R)}$vivió en grado${\displaystyle 1}$y las relaciones en grado${\displaystyle 2}$, luego las construcciones en grados${\displaystyle 1}$y${\displaystyle 2}$daría la estructura para el resto del anillo de la teoría K. Bajo esta suposición, Milnor dio su definición "ad hoc". Resulta que la teoría K algebraica${\displaystyle K_{*}(R)}$en general tiene una estructura más compleja, pero para los campos los grupos de la teoría K de Milnor están contenidos en los grupos de la teoría K algebraica general después de tensorializar con${\displaystyle \mathbb {Q} }$, es decir${\displaystyle K_{n}^{M}(F)\otimes \mathbb {Q} \subseteq K_{n}(F)\otimes \mathbb {Q} }$. ^{[ 3 ]} Resulta que el mapa natural${\displaystyle \lambda :K_{4}^{M}(F)\to K_{4}(F)}$no logra ser inyectable para un campo global.${\displaystyle F}$^{[ 3 ] pág. 96}.

Nota: para los campos, el grupo de Grothendieck se puede calcular fácilmente como${\displaystyle K_{0}(F)=\mathbb {Z} }$ya que los únicos módulos generados finitamente son espacios vectoriales de dimensión finita . Además, la definición de Milnor de grupos K superiores depende del isomorfismo canónico.

${\displaystyle l\colon K_{1}(F)\to F^{*}}$

(el grupo de unidades de${\displaystyle F}$) y observando el cálculo de K ₂ de un campo por Hideya Matsumoto , que dio la presentación simple

${\displaystyle K_{2}(F)={\frac {F^{*}\otimes F^{*}}{\{l(a)\otimes l(1-a):a\neq 0,1\}}}}$

para un ideal bilateral generado por elementos${\displaystyle l(a)\otimes l(a-1)}$, llamadas relaciones de Steinberg . Milnor tomó la hipótesis de que estas eran las únicas relaciones, por lo que dio la siguiente definición "ad hoc" de la teoría K de Milnor como

${\displaystyle K_{n}^{M}(F)={\frac {K_{1}(F)\otimes \cdots \otimes K_{1}(F)}{\{l(a_{1})\otimes \cdots \otimes l(a_{n}):a_{i}+a_{i+1}=1\}}}.}$

La suma directa de estos grupos es isomorfa a un álgebra tensorial sobre los enteros del grupo multiplicativo.${\displaystyle K_{1}(F)\cong F^{*}}$modificado por el ideal bilateral generado por:

${\displaystyle \left\{l(a)\otimes l(1-a):0,1\neq a\in F\right\}}$

entonces

${\displaystyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }K_{n}^{M}(F)\cong {\frac {T^{*}(K_{1}^{M}(F))}{\{l(a)\otimes l(1-a):a\neq 0,1\}}}}$

demostrando que su definición es una extensión directa de las relaciones de Steinberg.

El módulo calificado${\displaystyle K_{*}^{M}(F)}$es un anillo graduado-conmutativo ^{[ 1 ] págs. 1-3} . ^{[ 4 ]} Si escribimos

${\displaystyle (l(a_{1})\otimes \cdots \otimes l(a_{n}))\cdot (l(b_{1})\otimes \cdots \otimes l(b_{m}))}$

como

${\displaystyle l(a_{1})\otimes \cdots \otimes l(a_{n})\otimes l(b_{1})\otimes \cdots \otimes l(b_{m})}$

entonces para${\displaystyle \xi \in K_{i}^{M}(F)}$y${\displaystyle \eta \in K_{j}^{M}(F)}$tenemos

${\displaystyle \xi \cdot \eta =(-1)^{i\cdot j}\eta \cdot \xi .}$

De la prueba de esta propiedad, se derivan algunas propiedades adicionales, como$${\displaystyle l(a)^{2}=l(a)l(-1)}$$para${\displaystyle l(a)\in K_{1}(F)}$desde${\displaystyle l(a)l(-a)=0}$. Además, si${\displaystyle a_{1}+\cdots +a_{n}}$de elementos de campos distintos de cero es igual a${\displaystyle 0,1}$, entonces$${\displaystyle l(a_{1})\cdots l(a_{n})=0}$$Existe una aplicación aritmética directa:${\displaystyle -1\in F}$es una suma de cuadrados si y solo si cada dimensión positiva${\displaystyle K_{n}^{M}(F)}$es nilpotente, lo cual es una afirmación poderosa sobre la estructura de los grupos K de Milnor . En particular, para los campos${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$,${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}(i)}$con${\displaystyle {\sqrt {-1}}\not \in \mathbb {Q} _{p}}$, todos sus grupos K de Milnor son nilpotentes. En el caso contrario, el campo${\displaystyle F}$puede integrarse en un campo cerrado real , lo que proporciona un orden total en el campo.

Una de las propiedades fundamentales que relacionan la teoría K de Milnor con la teoría K algebraica superior es el hecho de que existen isomorfismos naturales.$${\displaystyle K_{n}^{M}(F)\to {\text{CH}}^{n}(F,n)}$$a los grupos de chow superiores de Bloch que inducen un morfismo de anillos graduados$${\displaystyle K_{*}^{M}(F)\to {\text{CH}}^{*}(F,*)}$$Esto se puede verificar utilizando un morfismo explícito ^{[ 2 ] pág. 181}$${\displaystyle \phi :F^{*}\to {\text{CH}}^{1}(F,1)}$$dónde$${\displaystyle \phi (a)\phi (1-a)=0~{\text{in}}~{\text{CH}}^{2}(F,2)~{\text{for}}~a,1-a\in F^{*}}$$Este mapa es proporcionado por$${\displaystyle {\begin{aligned}\{1\}&\mapsto 0\in {\text{CH}}^{1}(F,1)\\\{a\}&\mapsto [a]\in {\text{CH}}^{1}(F,1)\end{aligned}}}$$para${\displaystyle [a]}$la clase del punto${\displaystyle [a:1]\in \mathbb {P} _{F}^{1}-\{0,1,\infty \}}$con${\displaystyle a\in F^{*}-\{1\}}$. La propiedad principal a comprobar es que${\displaystyle [a]+[1/a]=0}$para${\displaystyle a\in F^{*}-\{1\}}$y${\displaystyle [a]+[b]=[ab]}$. Tenga en cuenta que esto es distinto de${\displaystyle [a]\cdot [b]}$ya que este es un elemento en${\displaystyle {\text{CH}}^{2}(F,2)}$. Además, la segunda propiedad implica la primera para${\displaystyle b=1/a}$Esta comprobación se puede realizar utilizando una curva racional que define un ciclo en${\displaystyle C^{1}(F,2)}$cuya imagen se encuentra debajo del mapa de límites${\displaystyle \partial }$es la suma${\displaystyle [a]+[b]-[ab]}$para${\displaystyle ab\neq 1}$, mostrando que difieren por un límite. De manera similar, si${\displaystyle ab=1}$El mapa de límites envía este ciclo a${\displaystyle [a]-[1/a]}$, mostrando que difieren por un límite. La segunda propiedad principal a mostrar son las relaciones de Steinberg. Con estas, y el hecho de que los grupos de Chow superiores tienen una estructura de anillo$${\displaystyle {\text{CH}}^{p}(F,q)\otimes {\text{CH}}^{r}(F,s)\to {\text{CH}}^{p+r}(F,q+s)}$$obtenemos un mapa explícito$${\displaystyle K_{*}^{M}(F)\to {\text{CH}}^{*}(F,*)}$$Mostrar el mapa en la dirección inversa como un isomorfismo requiere más trabajo, pero obtenemos los isomorfismos.$${\displaystyle K_{n}^{M}(F)\to {\text{CH}}^{n}(F,n)}$$Podemos entonces relacionar los grupos de Chow superiores con la teoría K algebraica superior utilizando el hecho de que existen isomorfismos.$${\displaystyle K_{n}(X)\otimes \mathbb {Q} \cong \bigoplus _{p}{\text{CH}}^{p}(X,n)\otimes \mathbb {Q} }$$estableciendo la relación con la teoría K algebraica superior de Quillen. Nótese que los mapas

${\displaystyle K_{n}^{M}(F)\to K_{n}(F)}$

de los grupos K de Milnor de un cuerpo a los grupos K de Quillen , que es un isomorfismo para${\displaystyle n\leq 2}$pero no para n más grande , en general. Para elementos distintos de cero${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$en F , el símbolo${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{n}\}}$en${\displaystyle K_{n}^{M}(F)}$significa la imagen de${\displaystyle a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n}}$en el álgebra tensorial. Cada elemento de la teoría K de Milnor puede escribirse como una suma finita de símbolos. El hecho de que${\displaystyle \{a,1-a\}=0}$en${\displaystyle K_{2}^{M}(F)}$para${\displaystyle a\in F\setminus \{0,1\}}$A veces se la denomina relación de Steinberg .

En la cohomología motivacional , específicamente en la teoría de la homotopía motivacional , hay un haz${\displaystyle K_{n,A}}$representa una generalización de la teoría K de Milnor con coeficientes en un grupo abeliano${\displaystyle A}$Si denotamos .${\displaystyle A_{tr}(X)=\mathbb {Z} _{tr}(X)\otimes A}$Luego definimos el haz${\displaystyle K_{n,A}}$como la formación de haces del siguiente prehaz ^{[ 5 ] pág. 4}$${\displaystyle K_{n,A}^{pre}:U\mapsto A_{tr}(\mathbb {A} ^{n})(U)/A_{tr}(\mathbb {A} ^{n}-\{0\})(U)}$$Nótese que las secciones de este prehaz son clases equivalentes de ciclos en${\displaystyle U\times \mathbb {A} ^{n}}$con coeficientes en${\displaystyle A}$que son equidimensionales y finitos sobre${\displaystyle U}$(que se deduce directamente de la definición de${\displaystyle \mathbb {Z} _{tr}(X)}$). Se puede demostrar que hay un${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$-equivalencia débil con los haces motivacionales de Eilenberg-Maclane${\displaystyle K(A,2n,n)}$(dependiendo del sistema de calificación).

Para un campo finito${\displaystyle F=\mathbb {F} _{q}}$,${\displaystyle K_{1}^{M}(F)}$es un grupo cíclico de orden${\displaystyle q-1}$(ya que es isomorfo a${\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{*}}$), por lo que la conmutatividad graduada da$${\displaystyle l(a)\cdot l(b)=-l(b)\cdot l(a)}$$por eso$${\displaystyle l(a)^{2}=-l(a)^{2}}$$Porque${\displaystyle K_{2}^{M}(F)}$es un grupo finito , esto implica que debe tener orden${\displaystyle \leq 2}$. Mirando más allá,${\displaystyle 1}$siempre se puede expresar como una suma de no residuos cuadráticos, es decir, elementos${\displaystyle a,b\in F}$de tal manera que${\displaystyle [a],[b]\in F/F^{\times 2}}$no son iguales a${\displaystyle 0}$, por eso${\displaystyle a+b=1}$demostración${\displaystyle K_{2}^{M}(F)=0}$. Debido a que las relaciones de Steinberg generan todas las relaciones en el anillo de la teoría K de Milnor, tenemos${\displaystyle K_{n}^{M}(F)=0}$para${\displaystyle n>2}$.

Para el campo de los números reales${\displaystyle \mathbb {R} }$Los grupos de la teoría K de Milnor se pueden calcular fácilmente. En grado${\displaystyle n}$El grupo es generado por$${\displaystyle K_{n}^{M}(\mathbb {R} )=\{(-1)^{n},l(a_{1})\cdots l(a_{n}):a_{1},\ldots ,a_{n}>0\}}$$dónde${\displaystyle (-1)^{n}}$da un grupo de orden${\displaystyle 2}$y el subgrupo generado por el${\displaystyle l(a_{1})\cdots l(a_{n})}$es divisible. El subgrupo generado por${\displaystyle (-1)^{n}}$no es divisible porque de otro modo podría expresarse como una suma de cuadrados. El anillo de la teoría K de Milnor es importante en el estudio de la teoría de homotopía motivacional porque proporciona generadores para parte del álgebra de Steenrod motivacional . ^{[ 6 ]} Los demás son elevaciones de las operaciones clásicas de Steenrod a la cohomología motivacional.

${\displaystyle K_{2}^{M}(\mathbb {C} )}$es un grupo incontable y divisible de forma única . ^{[ 7 ]} Además,${\displaystyle K_{2}^{M}(\mathbb {R} )}$es la suma directa de un grupo cíclico de orden 2 y un grupo no numerable y unívocamente divisible;${\displaystyle K_{2}^{M}(\mathbb {Q} _{p})}$es la suma directa del grupo multiplicativo de${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$y un grupo incontable divisible de forma única;${\displaystyle K_{2}^{M}(\mathbb {Q} )}$es la suma directa del grupo cíclico de orden 2 y los grupos cíclicos de orden${\displaystyle p-1}$para todos los primos impares${\displaystyle p}$. Para${\displaystyle n\geq 3}$,${\displaystyle K_{n}^{M}(\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Z} /2}$La prueba completa se encuentra en el apéndice del artículo original de Milnor. ^{[ 1 ]} Parte del cálculo se puede observar mirando un mapa en${\displaystyle K_{2}^{M}(F)}$inducido por la inclusión de un campo global${\displaystyle F}$hasta su finalización${\displaystyle F_{v}}$, por lo tanto hay un morfismo$${\displaystyle K_{2}^{M}(F)\to \bigoplus _{v}K_{2}^{M}(F_{v})/({\text{max. divis. subgr.}})}$$cuyo núcleo es finitamente generado. Además, el co-núcleo es isomorfo a las raíces de la unidad en${\displaystyle F}$.

Además, para un campo local general${\displaystyle F}$(como una extensión finita)${\displaystyle K/\mathbb {Q} _{p}}$), los grupos K de Milnor${\displaystyle K_{n}^{M}(F)}$son divisibles.

Existe un teorema de estructura general que calcula${\displaystyle K_{n}^{M}(F(t))}$para un campo${\displaystyle F}$en relación con la teoría K de Milnor de${\displaystyle F}$y extensiones${\displaystyle F[t]/(\pi )}$para ideales primos distintos de cero${\displaystyle (\pi )\in {\text{Spec}}(F[t])}$Esto viene dado por una secuencia exacta.$${\displaystyle 0\to K_{n}^{M}(F)\to K_{n}^{M}(F(t))\xrightarrow {\partial _{\pi }} \bigoplus _{(\pi )\in {\text{Spec}}(F[t])}K_{n-1}F[t]/(\pi )\to 0}$$dónde${\displaystyle \partial _{\pi }:K_{n}^{M}(F(t))\to K_{n-1}F[t]/(\pi )}$es un morfismo construido a partir de una reducción de${\displaystyle F}$a${\displaystyle {\overline {F}}_{v}}$para una valoración discreta${\displaystyle v}$. Esto se deduce del teorema de que existe un único homomorfismo$${\displaystyle \partial :K_{n}^{M}(F)\to K_{n-1}^{M}({\overline {F}})}$$que para el grupo de unidades${\displaystyle U\subset F}$que son elementos que tienen valoración${\displaystyle 0}$, que posee un morfismo natural$${\displaystyle U\to {\overline {F}}_{v}^{*}}$$dónde${\displaystyle u\mapsto {\overline {u}}}$tenemos$${\displaystyle \partial (l(\pi )l(u_{2})\cdots l(u_{n}))=l({\overline {u}}_{2})\cdots l({\overline {u}}_{n})}$$dónde${\displaystyle \pi }$un elemento primo , lo que significa${\displaystyle {\text{Ord}}_{v}(\pi )=1}$, y$${\displaystyle \partial (l(u_{1})\cdots l(u_{n}))=0}$$Dado que cada ideal primo distinto de cero${\displaystyle (\pi )\in {\text{Spec}}(F[t])}$da una valoración${\displaystyle v_{\pi }:F(t)\to F[t]/(\pi )}$, obtenemos el mapa${\displaystyle \partial _{\pi }}$en los grupos K de Milnor.