Formulario Pfister

En matemáticas , una forma de Pfister es un tipo particular de forma cuadrática , introducida por Albrecht Pfister en 1965. En lo que sigue, se consideran formas cuadráticas sobre un cuerpo F de característica no 2. Para un número natural n , una forma de Pfister n -fold sobre F es una forma cuadrática de dimensión 2 ⁿ que se puede escribir como un producto tensorial de formas cuadráticas.

${\displaystyle \langle \!\langle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\rangle \!\rangle \cong \langle 1,-a_{1}\rangle \otimes \langle 1 ,-a_{2}\rangle \otimes \cdots \otimes \langle 1,-a_{n}\rangle ,}$

para algunos elementos distintos de cero a ₁ , ..., a _n de F . ^[1] (Algunos autores omiten los signos en esta definición; la notación aquí simplifica la relación con la teoría K de Milnor , que se analiza más adelante). Una forma de Pfister de n pliegues también se puede construir inductivamente a partir de una forma de Pfister de ( n −1) pliegues q y un elemento distinto de cero a de F , como . ${\displaystyle q\oplus (-a)q}$

Así, las formas Pfister de 1 y 2 pliegues se ven así:

${\displaystyle \langle \!\langle a\rangle \!\rangle \cong \langle 1,-a\rangle =x^{2}-ay^{2}}$.

${\displaystyle \langle \!\langle a,b\rangle \!\rangle \cong \langle 1,-a,-b,ab\rangle =x^{2}-ay^{2}-bz^{2 }+abw^{2}.}$

Para n ≤ 3, las formas de Pfister n -fold son formas normativas de álgebras de composición . ^[2] En ese caso, dos formas de Pfister n -fold son isomorfas si y solo si las álgebras de composición correspondientes son isomorfas. En particular, esto da la clasificación de las álgebras de octoniones .

Las formas de Pfister de n pliegues generan de forma aditiva la potencia n -ésima I ⁿ del ideal fundamental del anillo de Witt de F . ^[2]

Una forma cuadrática q sobre un cuerpo F es multiplicativa si, para vectores de indeterminados x e y , podemos escribir q ( x ). q ( y ) = q ( z ) para algún vector z de funciones racionales en x e y sobre F . Las formas cuadráticas isótropas son multiplicativas. ^[3] Para formas cuadráticas anisotrópicas , las formas de Pfister son multiplicativas, y viceversa. ^[4]

Para las formas de Pfister de n pliegues con n ≤ 3, esto se conocía desde el siglo XIX; en ese caso, z puede tomarse como bilineal en x e y , por las propiedades de las álgebras de composición. Fue un descubrimiento notable de Pfister que las formas de Pfister de n pliegues para todos los n son multiplicativas en el sentido más general aquí, involucrando funciones racionales. Por ejemplo, dedujo que para cualquier cuerpo F y cualquier número natural n , el conjunto de sumas de 2 ⁿ cuadrados en F es cerrado bajo multiplicación, usando que la forma cuadrática es una forma de Pfister de n pliegues (es decir, ). ^[5]${\displaystyle x_{1}^{2}+\cpuntos +x_{2^{n}}^{2}}$${\displaystyle \langle \!\langle -1,\ldots ,-1\rangle \!\rangle }$

Otra característica sorprendente de las formas de Pfister es que cada forma de Pfister isótropa es de hecho hiperbólica, es decir, isomorfa a una suma directa de copias del plano hiperbólico . Esta propiedad también caracteriza a las formas de Pfister, como sigue: Si q es una forma cuadrática anisotrópica sobre un cuerpo F , y si q se vuelve hiperbólica sobre cada cuerpo de extensión E tal que q se vuelve isótropa sobre E , entonces q es isomorfa a a φ para algún a distinto de cero en F y alguna forma de Pfister φ sobre F . ^[6]${\displaystyle \langle 1,-1\rangle }$

Sea k _n ( F ) el n -ésimo grupo K de Milnor módulo 2. Existe un homomorfismo de k _n ( F ) al cociente I ⁿ / I ^{n +1} en el anillo de Witt de F , dado por

${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{n}\}\mapsto \langle \!\langle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\rangle \!\rangle ,}$

donde la imagen es una forma de Pfister n -fold. ^[7] El homomorfismo es sobreyectivo , ya que las formas de Pfister generan aditivamente I ⁿ . Una parte de la conjetura de Milnor , probada por Orlov, Vishik y Voevodsky , establece que este homomorfismo es de hecho un isomorfismo k _n ( F ) ≅ I ⁿ / I ^{n +1} . ^[8] Esto da una descripción explícita del grupo abeliano I ⁿ / I ^{n +1} por generadores y relaciones . La otra parte de la conjetura de Milnor, probada por Voevodsky, dice que k _n ( F ) (y por lo tanto I ⁿ / I ^{n +1} ) se asigna isomórficamente al grupo de cohomología de Galois H ⁿ ( F , F ₂ ).

Un vecino de Pfister es una forma anisotrópica σ que es isomorfa a una subforma de a φ para algún a distinto de cero en F y alguna forma de Pfister φ con dim φ < 2 dim σ. ^[9] La forma de Pfister asociada φ está determinada hasta el isomorfismo por σ. Toda forma anisotrópica de dimensión 3 es un vecino de Pfister; una forma anisotrópica de dimensión 4 es un vecino de Pfister si y solo si su discriminante en F ^* /( F ^* ) ² es trivial. ^[10] Un cuerpo F tiene la propiedad de que toda forma anisotrópica de 5 dimensiones sobre F es un vecino de Pfister si y solo si es un cuerpo vinculado . ^[11]

• Elman, Richard ; Karpenko, Nikita; Merkurjev, Alexander (2008), Teoría algebraica y geométrica de formas cuadráticas , American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4329-1, Sr.  2427530
• Lam, Tsit-Yuen (2005), Introducción a las formas cuadráticas sobre cuerpos , Estudios de posgrado en matemáticas , vol. 67, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1095-2, MR  2104929, Zbl  1068.11023, Cap. 10
• Orlov, Dmitri; Vishik, Alexander; Voevodsky, Vladimir (2007), "Una secuencia exacta para K _* ^M /2 con aplicaciones a formas cuadráticas", Annals of Mathematics , 165 : 1–13, arXiv : math/0101023 , doi :10.4007/annals.2007.165.1, MR  2276765