Método Milstein

En matemáticas , el método de Milstein es una técnica para la solución numérica aproximada de una ecuación diferencial estocástica . Recibe su nombre de Grigori Milstein , quien lo publicó por primera vez en 1974. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Consideremos la ecuación diferencial estocástica autónoma de Itō :$${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=a(X_{t})\,\mathrm {d} t+b(X_{t})\,\mathrm {d} W_{t}}$$ con condición inicial${\displaystyle X_{0}=x_{0}}$, dónde${\displaystyle W_{t}}$denota el proceso de Wiener , y supongamos que deseamos resolver esta EDE en algún intervalo de tiempo. ${\displaystyle [0,T]}$. Luego, la aproximación de Milstein a la solución verdadera${\displaystyle X}$es la cadena de Markov${\displaystyle Y}$definido de la siguiente manera:

• Dividir el intervalo${\displaystyle [0,T]}$en${\displaystyle N}$subintervalos iguales de ancho${\displaystyle \Delta t>0}$:$${\displaystyle 0=\tau _{0}<\tau _{1}<\dots <\tau _{N}=T{\text{ con }}\tau _{n}:=n\Delta t{\text{ y }}\Delta t={\frac {T}{N}}}$$
• Colocar${\displaystyle Y_{0}=x_{0};}$
• Definir recursivamente${\displaystyle Y_{n}}$para${\displaystyle 1\leq n\leq N}$por:$${\displaystyle Y_{n+1}=Y_{n}+a(Y_{n})\Delta t+b(Y_{n})\Delta W_{n}+{\frac {1}{2}}b(Y_{n})b'(Y_{n})\left((\Delta W_{n})^{2}-\Delta t\right)}$$dónde${\displaystyle b'}$denota la derivada de${\displaystyle b(x)}$con respecto a${\displaystyle x}$y:$${\displaystyle \Delta W_{n}=W_{\tau _{n+1}}-W_{\tau _{n}}}$$son variables aleatorias normales independientes e idénticamente distribuidas con valor esperado cero y varianza${\displaystyle \Delta t}$. Entonces${\displaystyle Y_{n}}$se aproximará${\displaystyle X_{\tau _{n}}}$para${\displaystyle 0\leq n\leq N}$y en aumento${\displaystyle N}$dará como resultado una mejor aproximación.

Tenga en cuenta que cuando${\displaystyle b'(Y_{n})=0}$(es decir, el término de difusión no depende de${\displaystyle X_{t}}$) este método es equivalente al método de Euler-Maruyama .

El esquema de Milstein tiene tanto orden de convergencia débil como fuerte.${\displaystyle \Delta t}$que es superior al método de Euler-Maruyama , que a su vez tiene el mismo orden de convergencia débil.${\displaystyle \Delta t}$pero orden de convergencia fuerte inferior${\displaystyle {\sqrt {\Delta t}}}$. ^{[ 3 ]}

Para esta derivación, solo consideraremos el movimiento browniano geométrico (GBM), cuya ecuación diferencial estocástica viene dada por: $${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu X\mathrm {d} t+\sigma XdW_{t}}$$ con constantes reales${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle \sigma }$Utilizando el lema de Itō obtenemos: $${\displaystyle \mathrm {d} \ln X_{t}=\left(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)\mathrm {d} t+\sigma \mathrm {d} W_{t}}$$

Por lo tanto, la solución al SDE de GBM es: $${\displaystyle {\begin{aligned}X_{t+\Delta t}&=X_{t}\exp \left\{\int _{t}^{t+\Delta t}\left(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)\mathrm {d} t+\int _{t}^{t+\Delta t}\sigma \mathrm {d} W_{u}\right\}\\&\approx X_{t}\left(1+\mu \Delta t-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\Delta t+\sigma \Delta W_{t}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(\Delta W_{t})^{2}\right)\\&=X_{t}+a(X_{t})\Delta t+b(X_{t})\Delta W_{t}+{\frac {1}{2}}b(X_{t})b'(X_{t})((\Delta W_{t})^{2}-\Delta t)\end{aligned}}}$$ dónde $${\displaystyle a(x)=\mu x,~b(x)=\sigma x}$$

La solución numérica se presenta en el gráfico para tres trayectorias diferentes. ^{[ 4 ]}

# -*- coding: utf-8 -*-# Método Milsteinimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltClase Modelo :"""Constantes del modelo estocástico."""mu = 3sigma = 1definición dW ( dt ):"Distribución normal de muestra aleatoria."return np.random.normal ( loc = 0.0 , scale = np.sqrt ( dt ) )​​​​​def ejecutar_simulación ():""" Devuelve el resultado de una simulación completa."""# Un segundo y mil puntos de la cuadrículaT_INIT = 0T_END = 1N = 1000 # Calcular 1000 puntos de la cuadrículaDT = flotante ( T_END - T_INIT ) / NTS = np.arange ( T_INIT , T_END + DT , DT )​​Y_INIT = 1# Vectores para rellenarys = np.zeros ( N + 1 )​​ys [ 0 ] = Y_INICIOpara i en rango ( 1 , TS . tamaño ):t = ( i - 1 ) * DTy = ys [ i - 1 ]dw = dW ( DT )# Resumir los términos como en el método Milsteinys [ i ] = y + \ Modelo . mu * y * DT + \ Modelo . sigma * y * dw + \ ( Modelo . sigma ** 2 / 2 ) * y * ( dw ** 2 - DT )devolver TS , ysdef plot_simulations ( num_sims : int ):"""Representa varias simulaciones en una sola imagen."""para _ en rango ( num_sims ):plt.plot ( * run_simulation ( ) )plt.xlabel ( "tiempo (s ) " )plt.ylabel ( " y " )plt.grid ( )​plt.show ( )​Si __name__ == "__main__" :NUM_SIMS = 2trazar_simulaciones ( NUM_SIMS )

• Método de Euler-Maruyama

• Kloeden, PE ; Platen, E. (1999). Solución numérica de ecuaciones diferenciales estocásticas . Berlín: Springer. ISBN 3-540-54062-8.