Modelo mínimo (física)

En física teórica , un modelo mínimo o modelo mínimo de Virasoro es una teoría de campos conformes bidimensional cuyo espectro se construye a partir de un número finito de representaciones irreducibles del álgebra de Virasoro . Los modelos mínimos se han clasificado, dando lugar a una clasificación ADE . ^{[ 1 ]} La mayoría de los modelos mínimos se han resuelto, es decir, sus constantes de estructura de 3 puntos se han calculado analíticamente. El término modelo mínimo también puede referirse a una CFT racional basada en un álgebra que es mayor que el álgebra de Virasoro, como un álgebra W.

Representaciones relevantes del álgebra de Virasoro

Representaciones

En los modelos mínimos, la carga central del álgebra de Virasoro toma valores del tipo

c_{p,q}=1-6{(p-q)^{2} \over pq}\ .

dónde $p,q$ son enteros coprimos tales que $p,q\geq 2$ Entonces, las dimensiones conformes de las representaciones degeneradas son

h_{r,s}={\frac {(pr-qs)^{2}-(p-q)^{2}}{4pq}}\ ,\quad {\text{with}}\ r,s\in \mathbb {N} ^{*}\ ,

y obedecen las identidades

h_{r,s}=h_{q-r,p-s}=h_{r+q,s+p}\ .

Los espectros de los modelos mínimos están formados por representaciones irreducibles y degeneradas de peso mínimo del álgebra de Virasoro, cuyas dimensiones conformes son del tipo $h_{r,s}$ con

1\leq r\leq q-1\quad ,\quad 1\leq s\leq p-1\ .

Tal representación ${\mathcal {R}}_{r,s}$ es una clase lateral de un módulo de Verma por sus infinitos submódulos no triviales. Es unitario si y solo si $|p-q|=1$ . A una carga central determinada, hay ${\frac {1}{2}}(p-1)(q-1)$ distintas representaciones de este tipo. El conjunto de estas representaciones, o de sus dimensiones conformes, se denomina tabla de Kac con parámetros $(p,q)$ La tabla de Kac se suele dibujar como un rectángulo de tamaño $(q-1)\times (p-1)$ , donde cada representación aparece dos veces debido a la relación

{\mathcal {R}}_{r,s}={\mathcal {R}}_{q-r,p-s}\ .

Reglas de fusión

Las reglas de fusión de las representaciones degeneradas múltiples ${\mathcal {R}}_{r,s}$ codifican restricciones de todos sus vectores nulos. Por lo tanto, pueden deducirse de las reglas de fusión de representaciones simplemente degeneradas, que codifican restricciones de vectores nulos individuales. ^{[ 2 ]} Explícitamente, las reglas de fusión son

{\mathcal {R}}_{r_{1},s_{1}}\times {\mathcal {R}}_{r_{2},s_{2}}=\sum _{r_{3}{\overset {2}{=}}|r_{1}-r_{2}|+1}^{\min(r_{1}+r_{2},2q-r_{1}-r_{2})-1}\ \sum _{s_{3}{\overset {2}{=}}|s_{1}-s_{2}|+1}^{\min(s_{1}+s_{2},2p-s_{1}-s_{2})-1}{\mathcal {R}}_{r_{3},s_{3}}\ ,

donde las sumas se realizan en incrementos de dos.

Clasificación y espectros

Los modelos mínimos son las únicas CFT bidimensionales consistentes en cualquier superficie de Riemann, y se construyen a partir de un número finito de representaciones del álgebra de Virasoro. ^{[ 2 ]} Existen muchas más CFT racionales consistentes únicamente en la esfera: estas CFT son submodelos de los modelos mínimos, construidas a partir de subconjuntos de la tabla de Kac que son cerrados bajo fusión. Dichos submodelos también pueden clasificarse. ^{[ 3 ]}

Modelos minimalistas de la serie A: el caso diagonal

Para cualquier número entero coprimo $p,q$ de tal manera que $p,q\geq 2$ Existe un modelo mínimo diagonal cuyo espectro contiene una copia de cada representación distinta en la tabla de Kac:

{\mathcal {S}}_{p,q}^{\text{A-series}}={\frac {1}{2}}\bigoplus _{r=1}^{q-1}\bigoplus _{s=1}^{p-1}{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{r,s}\ .

El $(p,q)$ y $(q,p)$ Los modelos son los mismos.

La expansión de operadores de dos campos involucra todos los campos permitidos por las reglas de fusión de las representaciones correspondientes.

Modelos minimalistas de la serie D

Un modelo mínimo de la serie D con la carga central $c_{p,q}$ existe si $p$ o $q$ es uniforme y al menos $6$ . Utilizando la simetría $p\leftrightarrow q$ asumimos que $q$ es par, entonces $p$ es extraño. El espectro es

{\mathcal {S}}_{p,q}^{\text{D-series}}\ \ {\underset {q\equiv 0\operatorname {mod} 4,\ q\geq 8}{=}}\ \ {\frac {1}{2}}\bigoplus _{r{\overset {2}{=}}1}^{q-1}\bigoplus _{s=1}^{p-1}{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{r,s}\oplus {\frac {1}{2}}\bigoplus _{r{\overset {2}{=}}2}^{q-2}\bigoplus _{s=1}^{p-1}{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{q-r,s}\ ,

{\mathcal {S}}_{p,q}^{\text{D-series}}\ \ {\underset {q\equiv 2\operatorname {mod} 4,\ q\geq 6}{=}}\ \ {\frac {1}{2}}\bigoplus _{r{\overset {2}{=}}1}^{q-1}\bigoplus _{s=1}^{p-1}{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{r,s}\oplus {\frac {1}{2}}\bigoplus _{r{\overset {2}{=}}1}^{q-1}\bigoplus _{s=1}^{p-1}{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{q-r,s}\ ,

donde las sumas sobre $r$ se ejecuta en incrementos de dos. En cualquier espectro dado, cada representación tiene multiplicidad uno, excepto las representaciones del tipo ${\mathcal {R}}_{{\frac {q}{2}},s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{{\frac {q}{2}},s}$ si $q\equiv 2\ \mathrm {mod} \ 4$ , que tienen multiplicidad dos. Estas representaciones aparecen efectivamente en ambos términos de nuestra fórmula para el espectro.

La OPE de dos campos involucra todos los campos permitidos por las reglas de fusión de las representaciones correspondientes y que respetan la conservación de la diagonalidad : la OPE de un campo diagonal y uno no diagonal produce solo campos no diagonales, y la OPE de dos campos del mismo tipo produce solo campos diagonales. ^{[ 4 ]} Para esta regla, una copia de la representación ${\mathcal {R}}_{{\frac {q}{2}},s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{{\frac {q}{2}},s}$ una cuenta como diagonal y la otra como no diagonal.

Modelos minimalistas de la serie E

Existen tres series de modelos mínimos de la serie E. Cada serie existe para un valor dado de $q\in \{12,18,30\},$ para cualquier $p\geq 2$ que es coprimo con $q$ . (Esto en realidad implica $p\geq 5$ .) Usando la notación $|{\mathcal {R}}|^{2}={\mathcal {R}}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}$ , los espectros dicen:

{\mathcal {S}}_{p,12}^{\text{E-series}}={\frac {1}{2}}\bigoplus _{s=1}^{p-1}\left\{\left|{\mathcal {R}}_{1,s}\oplus {\mathcal {R}}_{7,s}\right|^{2}\oplus \left|{\mathcal {R}}_{4,s}\oplus {\mathcal {R}}_{8,s}\right|^{2}\oplus \left|{\mathcal {R}}_{5,s}\oplus {\mathcal {R}}_{11,s}\right|^{2}\right\}\ ,

{\mathcal {S}}_{p,18}^{\text{E-series}}={\frac {1}{2}}\bigoplus _{s=1}^{p-1}\left\{\left|{\mathcal {R}}_{9,s}\oplus 2{\mathcal {R}}_{3,s}\right|^{2}\ominus 4\left|{\mathcal {R}}_{3,s}\right|^{2}\oplus \bigoplus _{r\in \{1,5,7\}}\left|{\mathcal {R}}_{r,s}\oplus {\mathcal {R}}_{18-r,s}\right|^{2}\right\}\ ,

{\mathcal {S}}_{p,30}^{\text{E-series}}={\frac {1}{2}}\bigoplus _{s=1}^{p-1}\left\{\left|\bigoplus _{r\in \{1,11,19,29\}}{\mathcal {R}}_{r,s}\right|^{2}\oplus \left|\bigoplus _{r\in \{7,13,17,23\}}{\mathcal {R}}_{r,s}\right|^{2}\right\}\ .

Ejemplos

Los siguientes modelos mínimos de la serie A están relacionados con sistemas físicos bien conocidos: ^{[ 2 ]}

$(p,q)=(3,2)$ : CFT trivial,
$(p,q)=(5,2)$ : Singularidad de borde de Yang-Lee,
$(p,q)=(4,3)$ : modelo crítico de Ising ,
$(p,q)=(5,4)$ : modelo de Ising tricrítico,
$(p,q)=(6,5)$ : modelo de Ising tetracrítico.

Los siguientes modelos mínimos de la serie D están relacionados con sistemas físicos bien conocidos:

$(p,q)=(6,5)$ : Modelo de Potts de 3 estados en criticidad,
$(p,q)=(7,6)$ : modelo de Potts tricrítico de 3 estados.

Las tablas de Kac de estos modelos, junto con algunas otras tablas de Kac con $2\leq q\leq 6$ , son:

{\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cc}1&0&0\\\hline &1&2\end{array}}\\c_{3,2}=0\end{array}}\qquad {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccc}1&0&-{\frac {1}{5}}&-{\frac {1}{5}}&0\\\hline &1&2&3&4\end{array}}\\c_{5,2}=-{\frac {22}{5}}\end{array}}

{\begin{array}{c}{\begin{array}{c|ccc}2&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{16}}&0\\1&0&{\frac {1}{16}}&{\frac {1}{2}}\\\hline &1&2&3\end{array}}\\c_{4,3}={\frac {1}{2}}\end{array}}\qquad {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccc}2&{\frac {3}{4}}&{\frac {1}{5}}&-{\frac {1}{20}}&0\\1&0&-{\frac {1}{20}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {3}{4}}\\\hline &1&2&3&4\end{array}}\\c_{5,3}=-{\frac {3}{5}}\end{array}}

{\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccc}3&{\frac {3}{2}}&{\frac {3}{5}}&{\frac {1}{10}}&0\\2&{\frac {7}{16}}&{\frac {3}{80}}&{\frac {3}{80}}&{\frac {7}{16}}\\1&0&{\frac {1}{10}}&{\frac {3}{5}}&{\frac {3}{2}}\\\hline &1&2&3&4\end{array}}\\c_{5,4}={\frac {7}{10}}\end{array}}\qquad {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccccc}3&{\frac {5}{2}}&{\frac {10}{7}}&{\frac {9}{14}}&{\frac {1}{7}}&-{\frac {1}{14}}&0\\2&{\frac {13}{16}}&{\frac {27}{112}}&-{\frac {5}{112}}&-{\frac {5}{112}}&{\frac {27}{112}}&{\frac {13}{16}}\\1&0&-{\frac {1}{14}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {9}{14}}&{\frac {10}{7}}&{\frac {5}{2}}\\\hline &1&2&3&4&5&6\end{array}}\\c_{7,4}=-{\frac {13}{14}}\end{array}}

{\begin{array}{c}{\begin{array}{c|ccccc}4&3&{\frac {13}{8}}&{\frac {2}{3}}&{\frac {1}{8}}&0\\3&{\frac {7}{5}}&{\frac {21}{40}}&{\frac {1}{15}}&{\frac {1}{40}}&{\frac {2}{5}}\\2&{\frac {2}{5}}&{\frac {1}{40}}&{\frac {1}{15}}&{\frac {21}{40}}&{\frac {7}{5}}\\1&0&{\frac {1}{8}}&{\frac {2}{3}}&{\frac {13}{8}}&3\\\hline &1&2&3&4&5\end{array}}\\c_{6,5}={\frac {4}{5}}\end{array}}\qquad {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccccc}4&{\frac {15}{4}}&{\frac {16}{7}}&{\frac {33}{28}}&{\frac {3}{7}}&{\frac {1}{28}}&0\\3&{\frac {9}{5}}&{\frac {117}{140}}&{\frac {8}{35}}&-{\frac {3}{140}}&{\frac {3}{35}}&{\frac {11}{20}}\\2&{\frac {11}{20}}&{\frac {3}{35}}&-{\frac {3}{140}}&{\frac {8}{35}}&{\frac {117}{140}}&{\frac {9}{5}}\\1&0&{\frac {1}{28}}&{\frac {3}{7}}&{\frac {33}{28}}&{\frac {16}{7}}&{\frac {15}{4}}\\\hline &1&2&3&4&5&6\end{array}}\\c_{7,5}={\frac {11}{35}}\end{array}}

{\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccccc}5&5&{\frac {22}{7}}&{\frac {12}{7}}&{\frac {5}{7}}&{\frac {1}{7}}&0\\4&{\frac {23}{8}}&{\frac {85}{56}}&{\frac {33}{56}}&{\frac {5}{56}}&{\frac {1}{56}}&{\frac {3}{8}}\\3&{\frac {4}{3}}&{\frac {10}{21}}&{\frac {1}{21}}&{\frac {1}{21}}&{\frac {10}{21}}&{\frac {4}{3}}\\2&{\frac {3}{8}}&{\frac {1}{56}}&{\frac {5}{56}}&{\frac {33}{56}}&{\frac {85}{56}}&{\frac {23}{8}}\\1&0&{\frac {1}{7}}&{\frac {5}{7}}&{\frac {12}{7}}&{\frac {22}{7}}&5\\\hline &1&2&3&4&5&6\end{array}}\\c_{7,6}={\frac {6}{7}}\end{array}}

Solución de modelos mínimos

Las constantes de estructura de 3 puntos de los modelos mínimos adoptan diferentes formas dependiendo de la serie:

Para los modelos mínimos de la serie A, se obtuvo una expresión en términos de la función Gamma utilizando técnicas de gas de Coulomb en la década de 1980. ^{[ 5 ]}
Para los modelos mínimos de la serie D, se conoce una expresión en términos de la matriz de fusión . ^{[ 4 ]}
Para modelos mínimos de la serie E con $q=12$ Se conoce una expresión en términos de la función doble Gamma . ^{[ 6 ]} Las constantes de estructura de las series A y D también pueden reescribirse en términos de la misma función especial. ^{[ 7 ]}

Teorías de campos conformes relacionadas

realizaciones de coset

El modelo mínimo de la serie A con índices $(p,q)$ coincide con el siguiente conjunto lateral de modelos WZW : ^{[ 2 ]}

{\frac {SU(2)_{k}\times SU(2)_{1}}{SU(2)_{k+1}}}\ ,\quad {\text{where}}\quad k={\frac {q}{p-q}}-2\ .

Arrogante $p>q$ , el nivel $k$ es entero si y solo si $p=q+1$ es decir, si y solo si el modelo mínimo es unitario.

Existen otras realizaciones de ciertos modelos mínimos, diagonales o no, como clases laterales de modelos WZW, no necesariamente basadas en el grupo $SU(2)$ . ^{[ 2 ]}

Modelos mínimos generalizados

Por cualquier cargo central $c\in \mathbb {C}$ , existe una CFT diagonal cuyo espectro está formado por todas las representaciones degeneradas,

{\mathcal {S}}=\bigoplus _{r,s=1}^{\infty }{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{r,s}\ .

Cuando la carga central tiende a $c_{p,q}$ , los modelos mínimos generalizados tienden al modelo mínimo de la serie A correspondiente. ^{[ 8 ]} Esto significa en particular que las representaciones degeneradas que no están en la tabla de Kac se desacoplan.

Teoría de Liouville

Dado que la teoría de Liouville se reduce a un modelo mínimo generalizado cuando se considera que los campos son degenerados, ^{[ 8 ]} se reduce aún más a un modelo mínimo de la serie A cuando la carga central se envía a $c_{p,q}$ .

Además, los modelos mínimos de la serie A tienen un límite bien definido como $c\to 1$ : una CFT diagonal con un espectro continuo llamada teoría de Runkel-Watts, ^{[ 9 ]} que coincide con el límite de la teoría de Liouville cuando $c\to 1^{+}$ . ^{[ 10 ]}

Productos de modelos minimalistas

Hay tres casos de modelos mínimos que son productos de dos modelos mínimos. ^{[ 11 ]} A nivel de sus espectros, las relaciones son:

{\mathcal {S}}_{2,5}^{\text{A-series}}\otimes {\mathcal {S}}_{2,5}^{\text{A-series}}={\mathcal {S}}_{3,10}^{\text{D-series}}\ ,

{\mathcal {S}}_{2,5}^{\text{A-series}}\otimes {\mathcal {S}}_{3,4}^{\text{A-series}}={\mathcal {S}}_{5,12}^{\text{E-series}}\ ,

{\mathcal {S}}_{2,5}^{\text{A-series}}\otimes {\mathcal {S}}_{2,7}^{\text{A-series}}={\mathcal {S}}_{7,30}^{\text{E-series}}\ .

Extensiones fermiónicas de modelos mínimos

Si $q\equiv 0{\bmod {4}}$ , la serie A y la serie D $(p,q)$ Cada modelo mínimo posee una extensión fermiónica. Estas dos extensiones fermiónicas involucran campos con espines semientero y están relacionadas entre sí mediante una operación de desplazamiento de paridad. ^{[ 12 ]}

Referencias

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