Ideal mínimo

En la rama del álgebra abstracta conocida como teoría de anillos , un ideal derecho mínimo de un anillo R es un ideal derecho no nulo que no contiene ningún otro ideal derecho no nulo. Del mismo modo, un ideal izquierdo mínimo es un ideal izquierdo no nulo de R que no contiene ningún otro ideal izquierdo no nulo de R , y un ideal mínimo de R es un ideal no nulo que no contiene ningún otro ideal bilateral no nulo de R ( Isaacs 2009 , p. 190) . 

En otras palabras, los ideales derechos minimales son elementos minimales del conjunto parcialmente ordenado (poset) de ideales derechos no nulos de R ordenados por inclusión . Se advierte al lector que, fuera de este contexto, algunos posets de ideales pueden admitir el ideal cero, por lo que este podría ser un elemento minimal en dicho poset. Este es el caso del poset de ideales primos de un anillo, que puede incluir el ideal cero como un ideal primo minimal .

La definición de un ideal derecho mínimo N de un anillo R es equivalente a las siguientes condiciones:

• N es distinto de cero y si K es un ideal derecho de R con {0} ⊆ K ⊆ N , entonces o K = {0} o K = N.
• N es un R - módulo derecho simple .

Los ideales mínimos son la noción dual de los ideales máximos .

Muchos hechos estándar sobre ideales mínimos se pueden encontrar en textos estándar como ( Anderson y Fuller 1992 ) , ( Isaacs 2009 ) , ( Lam 2001 ) y ( Lam 1999 ) .

• En un anillo con unidad , siempre existen ideales derechos máximos . Por el contrario, en un anillo con unidad, no necesariamente existen ideales derechos, izquierdos o bilaterales mínimos.
• El zócalo derecho de un anillo${\displaystyle \mathrm {soc} (R_ {R})}$es una estructura importante definida en términos de los ideales derechos mínimos de R.
• Los anillos para los que cada ideal derecho contiene un ideal derecho mínimo son precisamente los anillos con un zócalo derecho esencial.
• Cualquier anillo artiniano derecho o anillo kasch derecho tiene un ideal derecho mínimo.
• Los dominios que no son anillos de división no tienen ideales mínimos de derecho.
• En anillos con unidad, los ideales derechos mínimos son necesariamente ideales derechos principales , porque para cualquier x distinto de cero en un ideal derecho mínimo N , el conjunto xR es un ideal derecho distinto de cero de R dentro de N , y por lo tanto xR = N.
• Lema de Brauer: Cualquier ideal derecho mínimo N en un anillo R satisface N ² = {0} o N = eR para algún elemento idempotente e de R ( Lam 2001 , p. 162) . 
• Si N ₁ y N ₂ son ideales derechos mínimos no isomorfos de R , entonces el producto N ₁ N ₂ es igual a {0}.
• Si N ₁ y N ₂ son ideales mínimos distintos de un anillo R , entonces N ₁ N ₂ = {0}.
• Un anillo sencillo con un ideal mínimo a la derecha es un anillo semisimple .
• En un anillo semiprimo , existe un ideal derecho mínimo si y solo si existe un ideal izquierdo mínimo ( Lam 2001 , p. 174) . 

Un submódulo no nulo N de un módulo derecho M se denomina submódulo mínimo si no contiene otros submódulos no nulos de M. De forma equivalente, N es un submódulo no nulo de M que es un módulo simple . Esto también puede extenderse a bimódulos , denominando subbimódulo mínimo de M a un subbimódulo no nulo N si N no contiene otros subbimódulos no nulos.

Si el módulo M se considera el R -módulo derecho R _R , entonces los submódulos mínimos son exactamente los ideales derechos mínimos de R . De igual modo, los ideales izquierdos mínimos de R son precisamente los submódulos mínimos del módulo izquierdo _R R . En el caso de ideales bilaterales, vemos que los ideales mínimos de R son exactamente los subbimódulos mínimos del bimódulo _R R _R .

Al igual que con los anillos, no hay garantía de que existan submódulos mínimos en un módulo. Los submódulos mínimos pueden usarse para definir el socle de un módulo .

• Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992), Anillos y categorías de módulos , Textos de posgrado en matemáticas , vol.  13 (2.ª  ed.), Nueva York: Springer-Verlag, pp.  x+376, ISBN 0-387-97845-3, MR 1245487 
• Isaacs, I. Martin (2009) [1994], Álgebra: un curso de posgrado , Estudios de posgrado en matemáticas , vol.  100, Providence, RI: American Mathematical Society, pp.  xii+516, ISBN 978-0-8218-4799-2, MR 2472787 
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Lecciones sobre módulos y anillos , Textos de posgrado en matemáticas n.° 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294 
• Lam, TY (2001), Un primer curso sobre anillos no conmutativos , Textos de posgrado en matemáticas, vol.  131 (2.ª  ed.), Nueva York: Springer-Verlag, pp.  xx+385, ISBN 0-387-95183-0, MR 1838439 

• http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Minimal_ideal