Superficie mínima de revolución

En matemáticas , una superficie mínima de revolución es una superficie definida a partir de dos puntos en un semiplano , cuyo límite es el eje de revolución de la superficie. Se genera mediante una curva que se encuentra en el semiplano y conecta los dos puntos; entre todas las superficies que se pueden generar de esta manera, es la que minimiza el área superficial . ^{[ 1 ]} Un problema fundamental en el cálculo de variaciones es encontrar la curva entre dos puntos que produce esta superficie mínima de revolución. ^{[ 1 ]}

Una superficie mínima de revolución es un subtipo de superficie mínima . ^{[ 1 ]} Una superficie mínima se define no como una superficie de área mínima, sino como una superficie con una curvatura media de 0. ^{[ 2 ]} Dado que una curvatura media de 0 es una condición necesaria para una superficie de área mínima, todas las superficies mínimas de revolución son superficies mínimas, pero no todas las superficies mínimas son superficies mínimas de revolución. Como un punto forma un círculo al girar alrededor de un eje , encontrar la superficie mínima de revolución es equivalente a encontrar la superficie mínima que pasa por dos estructuras circulares de alambre . ^{[ 1 ]} Una realización física de una superficie mínima de revolución es una película de jabón estirada entre dos alambres circulares paralelos : la película de jabón adopta naturalmente la forma con la menor área superficial. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

Si al semiplano que contiene los dos puntos y el eje de revolución se le dan coordenadas cartesianas , haciendo que el eje de revolución sea el eje x del sistema de coordenadas, entonces la curva que conecta los puntos puede interpretarse como la gráfica de una función . Si las coordenadas cartesianas de los dos puntos dados son${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$,${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$, entonces el área de la superficie generada por una función diferenciable no negativa${\displaystyle f}$puede expresarse matemáticamente como

${\displaystyle 2\pi \int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}dx}$

y el problema de encontrar la superficie de revolución mínima se convierte en uno de encontrar la función que minimiza esta integral, sujeta a las condiciones de contorno que${\displaystyle f(x_{1})=y_{1}}$y${\displaystyle f(x_{2})=y_{2}}$. ^{[ 5 ]} En este caso, la curva óptima será necesariamente una catenaria . ^{[ 1 ] [ 5 ]} El eje de revolución es la directriz de la catenaria, y la superficie mínima de revolución será, por lo tanto, un catenoide . ^{[ 1 ] [ 6 ] [ 7 ]}

También se pueden definir soluciones basadas en funciones discontinuas. En particular, para ciertas ubicaciones de los dos puntos, la solución óptima se genera mediante una función discontinua que es distinta de cero en los dos puntos y cero en cualquier otro lugar. Esta función conduce a una superficie de revolución que consta de dos discos circulares, uno para cada punto, conectados por un segmento de línea degenerado a lo largo del eje de revolución. Esto se conoce como solución de Goldschmidt ^{[ 5 ] [ 8 ]} en honor al matemático alemán Carl Wolfgang Benjamin Goldschmidt , ^{[ 4 ]} quien anunció su descubrimiento en su artículo de 1831 "Determinatio superficiei minimae rotatione curvae data duo puncta jungentis circa datum axem ortae" ("Determinación de la curva de rotación mínima de la superficie dados dos puntos unidos alrededor de un eje de origen dado"). ^{[ 9 ]}

Para continuar con la analogía física de la película de jabón mencionada anteriormente, estas soluciones de Goldschmidt pueden visualizarse como casos en los que la película de jabón se rompe al estirarse los alambres circulares. ^{[ 4 ]} Sin embargo, en una película de jabón física, el segmento de línea de conexión no estaría presente. Además, si una película de jabón se estira de esta manera, existe un rango de distancias dentro del cual la solución catenoide sigue siendo factible, pero tiene un área mayor que la solución de Goldschmidt, por lo que la película de jabón puede estirarse hasta una configuración en la que el área es un mínimo local , pero no un mínimo global. Para distancias mayores que este rango, la catenaria que define la catenoide cruza el eje x y conduce a una superficie autointersecante, por lo que solo la solución de Goldschmidt es factible. ^{[ 10 ]}