proceso de Poisson mixto

En teoría de la probabilidad , un proceso de Poisson mixto es un proceso puntual especial que es una generalización de un proceso de Poisson . Los procesos de Poisson mixtos son un ejemplo sencillo de procesos de Cox .

Dejar${\displaystyle \mu }$sea ​​una medida localmente finita en${\displaystyle S}$y dejar${\displaystyle X}$ser una variable aleatoria con${\displaystyle X\geq 0}$casi con seguridad .

Luego una medida aleatoria${\displaystyle \xi }$en${\displaystyle S}$se denomina proceso de Poisson mixto basado en${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle X}$si y solo si${\displaystyle \xi }$condicionalmente en${\displaystyle X=x}$es un proceso de Poisson en${\displaystyle S}$con medición de intensidad${\displaystyle x\mu }$.

Los procesos de Poisson mixtos son doblemente estocásticos en el sentido de que en un primer paso, el valor de la variable aleatoria${\displaystyle X}$se determina. Este valor determina entonces la "estocasticidad de segundo orden" aumentando o disminuyendo la medida de intensidad original.${\displaystyle \mu }$.

Condicionado a${\displaystyle X=x}$Los procesos de Poisson mixtos tienen la medida de intensidad${\displaystyle x\mu }$y la transformada de Laplace

${\displaystyle {\mathcal {L}}(f)=\exp \left(-\int 1-\exp(-f(y))\;(x\mu )(\mathrm {d} y)\right)}$.

• Kallenberg, Olav (2017). Medidas aleatorias, teoría y aplicaciones . Suiza: Springer. doi : 10.1007/978-3-319-41598-7 . ISBN 978-3-319-41596-3.