Configuración de Möbius-Kantor

En geometría , la configuración de Möbius-Kantor es una configuración formada por ocho puntos y ocho rectas, con tres puntos en cada recta y tres rectas que pasan por cada punto. No es posible dibujar puntos y rectas con este patrón de incidencias en el plano euclidiano , pero sí es posible en el plano proyectivo complejo .

August Ferdinand Möbius ( 1828 ) preguntó si existe un par de polígonos con p lados cada uno, que tengan la propiedad de que los vértices de un polígono se encuentran sobre las líneas que pasan por las aristas del otro polígono, y viceversa. De ser así, los vértices y las aristas de estos polígonos formarían una configuración proyectiva . ${\displaystyle p=4}$No existe solución en el plano euclidiano , pero Seligmann Kantor ( 1882 ) encontró pares de polígonos de este tipo, para una generalización del problema en la que los puntos y las aristas pertenecen al plano proyectivo complejo . Es decir, en la solución de Kantor, las coordenadas de los vértices del polígono son números complejos . La solución de Kantor para ${\displaystyle p=4}$Un par de cuadriláteros inscritos mutuamente en el plano proyectivo complejo se denomina configuración de Möbius-Kantor.

HSM Coxeter ( 1950 ) proporciona las siguientes coordenadas proyectivas complejas simples para los ocho puntos de la configuración de Möbius-Kantor: 

(1,0,0), (0,0,1), ( ω , − 1, 1), ( − 1, 0, 1),

( − 1, ω ² ,1), (1, ω ,0), (0,1,0), (0, − 1,1),

donde ω denota una raíz cúbica compleja de 1 .

Los ocho puntos y las ocho líneas de la configuración de Möbius-Kantor, con estas coordenadas, forman los ocho vértices y las ocho 3-aristas del polígono complejo 3{3}3. ^{[ 1 ]} Coxeter lo denominó polígono de Möbius-Kantor .

De forma más abstracta, la configuración de Möbius-Kantor puede describirse como un sistema de ocho puntos y ocho tríos de puntos, de modo que cada punto pertenece a exactamente tres de los tríos. Con las condiciones adicionales (naturales para puntos y líneas) de que ningún par de puntos pertenece a más de un trío y que ningún par de tríos tiene más de un punto en su intersección, cualesquiera dos sistemas de este tipo son equivalentes bajo alguna permutación de los puntos. Es decir, la configuración de Möbius-Kantor es la única configuración proyectiva de tipo (8 ₃ 8 ₃ ).

El grafo de Möbius-Kantor debe su nombre a que es el grafo de Levi de la configuración de Möbius-Kantor. Tiene un vértice por punto y un vértice por terna, con una arista que conecta dos vértices si corresponden a un punto y a una terna que contiene dicho punto.

Los puntos y las líneas de la configuración de Möbius-Kantor se pueden describir como un matroide , cuyos elementos son los puntos de la configuración y cuyos planos no triviales son las líneas de la configuración. En este matroide, un conjunto S de puntos es independiente si y solo si${\displaystyle |S|\leq 2}$o S consta de tres puntos no colineales. Como matroide, se le ha llamado matroide de MacLane , en honor al trabajo de Saunders MacLane ( 1936 ) que demostró que no puede orientarse ; es uno de los varios matroides menores-mínimos no orientables conocidos. ^{[ 2 ]} 

La solución al problema de Möbius de polígonos mutuamente inscritos para valores de p mayores que cuatro también es de interés. En particular, una posible solución para${\displaystyle p=5}$La configuración de Desargues , un conjunto de diez puntos y diez líneas (tres puntos por línea y tres líneas por punto), admite una realización euclidiana. La configuración de Möbius es un análogo tridimensional de la configuración de Möbius-Kantor, que consta de dos tetraedros inscritos mutuamente.

La configuración de Möbius-Kantor se puede ampliar añadiendo cuatro líneas que pasen por los cuatro pares de puntos que no estén ya conectados por líneas, y añadiendo un noveno punto en las cuatro nuevas líneas. La configuración resultante, la configuración de Hesse , comparte con la configuración de Möbius-Kantor la propiedad de ser realizable con coordenadas complejas pero no con coordenadas reales. ^{[ 3 ]} Eliminar cualquier punto de la configuración de Hesse produce una copia de la configuración de Möbius-Kantor. Ambas configuraciones también se pueden describir algebraicamente en términos del grupo abeliano.${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}\times \mathbb {Z} _{3}}$con nueve elementos. Este grupo tiene cuatro subgrupos de orden tres (los subconjuntos de elementos de la forma${\displaystyle (i,0)}$,${\displaystyle (i,i)}$,${\displaystyle (i,2i)}$, y${\displaystyle (0,i)}$respectivamente), cada uno de los cuales puede usarse para dividir los nueve elementos del grupo en tres clases laterales de tres elementos cada una. Estos nueve elementos y doce clases laterales forman la configuración de Hesse. Al eliminar el elemento cero y las cuatro clases laterales que contienen cero, se obtiene la configuración de Möbius-Kantor.

• Coxeter, HSM (1950), "Configuraciones autoduales y grafos regulares" (PDF) , Boletín de la Sociedad Matemática Americana , 56 (5): 413–455 , doi : 10.1090/S0002-9904-1950-09407-5 , MR 0038078 .
• Coxeter, HSM; Shephard, GC (1992), "Retratos de una familia de politopos complejos", Leonardo , 25 (3/4): 239, doi : 10.2307/1575843 , JSTOR 1575843 . Reimpreso en The Visual Mind , MIT Press, 1993, pp. 19–26, MR 1255836 . 
• Dolgachev, Igor V. (2004), "Configuraciones abstractas en geometría algebraica", Conferencia Fano , Turín: Universidad de Turín, pp. 423–462 , arXiv : math.AG/0304258 , MR 2112585  .
• Kantor, Seligmann (1882), "Über die Configurationen (3, 3) mit den Indices 8, 9 und ihren Zusammenhang mit den Curven dritter Ordnung", Sitzungsberichte der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Classe der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Viena , 84 (1): 915-932​.
• MacLane, Saunders (1936), "Algunas interpretaciones de la dependencia lineal abstracta en términos de geometría proyectiva", American Journal of Mathematics , 58 (1): 236–240 , doi : 10.2307/2371070 , JSTOR 2371070 , MR 1507146  .
• Möbius, August Ferdinand (1828), "Kann von zwei dreiseitigen Pyramiden eine jede in Bezug auf die andere um- und eingeschrieben zugleich heissen?" , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 3 : 273– 278. En Gesammelte Werke (1886), vol. 1, págs.  439–446.
• Ziegler, Günter M. (1991), "Algunos matroides no orientables mínimos de rango tres", Geometriae Dedicata , 38 (3): 365–371 , doi : 10.1007/BF00181199 , MR 1112674 .

• Weisstein, Eric W. , "Configuración de Möbius-Kantor" , MathWorld