Teoría completa del modelo

En teoría de modelos , una teoría de primer orden se considera completa si toda incrustación de sus modelos es una incrustación elemental . De forma equivalente, toda fórmula de primer orden es equivalente a una fórmula universal. Este concepto fue introducido por Abraham Robinson .

Compañero del modelo y finalización del modelo

Una teoría compañera de una teoría T es una teoría T * tal que cada modelo de T puede estar incrustado en un modelo de T * y viceversa.

Un modelo compañero de una teoría T es un compañero de T que es modelo completo. Robinson demostró que una teoría tiene como máximo un modelo compañero. No todas las teorías son modelo-compañerables, por ejemplo, la teoría de grupos. Sin embargo, si T es un $\aleph _{0}$ - teoría categórica , entonces siempre tiene un modelo complementario. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

Una completación de modelo para una teoría T es un modelo compañero T * tal que, para cualquier modelo M de T , la teoría de T * junto con el diagrama de M es completa . En términos generales, esto significa que cada modelo de T puede integrarse en un modelo de T * de una manera única.

Si T * es un compañero modelo de T , entonces las siguientes condiciones son equivalentes: ^{[ 3 ]}

T * es una completación de modelo T
T tiene la propiedad de fusión .

Si T también tiene axiomatización universal, ambas afirmaciones anteriores también son equivalentes a:

T * tiene eliminación de cuantificadores

Ejemplos

Cualquier teoría que elimine los cuantificadores es un modelo completo.
La teoría de los cuerpos algebraicamente cerrados es la completación del modelo de la teoría de cuerpos. Es completa en cuanto al modelo, pero no completa.
La culminación del modelo de la teoría de las relaciones de equivalencia es la teoría de las relaciones de equivalencia con infinitas clases de equivalencia, cada una de las cuales contiene un número infinito de elementos.
La teoría de los cuerpos cerrados reales , en el lenguaje de los anillos ordenados , es una completación modelo de la teoría de los cuerpos ordenados (o incluso de los dominios ordenados ).
La teoría de los cuerpos cerrados reales, en el lenguaje de los anillos , es el modelo complementario de la teoría de los cuerpos formalmente reales , pero no es una completación de modelos.

No ejemplos

La teoría de los órdenes lineales densos con un primer y un último elemento es completa, pero no un modelo completo.
La teoría de grupos (en un lenguaje con símbolos para la identidad, el producto y los inversos) tiene la propiedad de amalgamación, pero no tiene un modelo complementario.

Condición suficiente para la completitud de las teorías modelo-completas

Si T es una teoría modelo completa y existe un modelo de T que se incrusta en cualquier modelo de T , entonces T es completa. ^{[ 4 ]}

Referencias

Chang, Chen Chung ; Keisler, H. Jerome (1990) [1973]. Teoría de modelos . Estudios en lógica y fundamentos de las matemáticas (3.ª ed.). Elsevier. ISBN 978-0-444-88054-3.

Chang, Chen Chung ; Keisler, H. Jerome (2012) [1990]. Teoría de modelos . Dover Books on Mathematics (3.ª ed.). Dover Publications . pág. 672. ISBN 978-0-486-48821-9.

Hirschfeld, Joram; Wheeler, William H. (1975). «Completaciones de modelos y compañeros de modelos». Forcing, Arithmetic, Division Rings . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 454. Springer. pp. 44–54 . doi : 10.1007/BFb0064085 . ISBN 978-3-540-07157-0. MR 0389581 .

Marker, David (2002). Teoría de modelos: Una introducción . Textos de posgrado en matemáticas 217. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98760-6.

Saracino, D. (agosto de 1973). "Modelos complementarios para teorías categóricas ℵ _{0 ".}Actas de la Sociedad Matemática Americana . 39 (3): 591– 598.