Álgebra abstracta

El estudio de las ecuaciones polinómicas o algebraicas tiene una larga historia. Hacia el año 1700 a. C., los babilonios eran capaces de resolver ecuaciones cuadráticas planteadas como problemas verbales. Esta etapa de problemas verbales se clasifica como álgebra retórica y fue el enfoque dominante hasta el siglo XVI. Al-Juarismi acuñó el término "álgebra" en el año 830 d. C., pero su obra era enteramente álgebra retórica. El álgebra completamente simbólica no apareció hasta la publicación de la Nueva Álgebra de François Viète en 1591 , e incluso esta contenía algunas palabras escritas a las que se les asignaron símbolos en la Geometría de Descartes de 1637. ^{[ 6 ]} El estudio formal de la resolución de ecuaciones simbólicas llevó a Leonhard Euler a aceptar , a finales del siglo XVIII, raíces que entonces se consideraban "sin sentido", como los números negativos y los números imaginarios . ^{[ 7 ]} Sin embargo, los matemáticos europeos, en su mayoría, se resistieron a estos conceptos hasta mediados del siglo XIX. ^{[ 8 ]}

El Tratado de Álgebra de George Peacock de 1830 fue el primer intento de establecer el álgebra sobre una base estrictamente simbólica. Distinguió una nueva álgebra simbólica , distinta de la antigua álgebra aritmética . Mientras que en el álgebra aritmética${\displaystyle ab}$está restringido a${\displaystyle a\geq b}$En álgebra simbólica, todas las reglas de las operaciones se cumplen sin restricciones. Usando esto, Peacock podría mostrar leyes como${\displaystyle (-a)(-b)=ab}$, dejando${\displaystyle d=0,c=0}$en${\displaystyle (db)(ca)=dc+ba-ad-bc}$Peacock utilizó lo que denominó el principio de la permanencia de las formas equivalentes para justificar su argumento, pero su razonamiento adolecía del problema de la inducción . ^{[ 9 ]} Por ejemplo,${\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}}$Esto se cumple para los números reales no negativos , pero no para los números complejos en general .

Varias áreas de las matemáticas llevaron al estudio de los grupos. El estudio de Lagrange en 1770 sobre las soluciones de la ecuación quíntica condujo al grupo de Galois de un polinomio . El estudio de Gauss en 1801 sobre el pequeño teorema de Fermat condujo al anillo de enteros módulo n , al grupo multiplicativo de enteros módulo n y a los conceptos más generales de grupos cíclicos y grupos abelianos . El programa de Klein en Erlangen en 1872 estudió la geometría y condujo a grupos de simetría como el grupo euclidiano y el grupo de transformaciones proyectivas . En 1874, Lie introdujo la teoría de los grupos de Lie , con el objetivo de lograr "la teoría de Galois de las ecuaciones diferenciales". En 1876, Poincaré y Klein introdujeron el grupo de transformaciones de Möbius y sus subgrupos, como el grupo modular y el grupo fuchsiano , basándose en trabajos sobre funciones automorfas en análisis. ^{[ 10 ]}

El concepto abstracto de grupo surgió lentamente a mediados del siglo XIX. Galois, en 1832, fue el primero en usar el término "grupo" ^{[ 11 ]} , para referirse a una colección de permutaciones cerradas bajo composición ^{[ 12 ]} . El artículo de Arthur Cayley de 1854, Sobre la teoría de los grupos, definió un grupo como un conjunto con una operación de composición asociativa y la identidad 1, hoy llamado monoide ^{[ 13 ]} . En 1870, Kronecker definió una operación binaria abstracta que era cerrada, conmutativa, asociativa y tenía la propiedad de cancelación izquierda.${\displaystyle b\neq c\to a\cdot b\neq a\cdot c}$[ ^{14 ]} similar a las leyes modernas para un grupo abeliano finito . ^{[ 15 ] La} definición de grupo de Weber de 1882 era una operación binaria cerrada que era asociativa y tenía cancelación izquierda y derecha. ^{[ 16 ]} Walther von Dyck en 1882 fue el primero en requerir elementos inversos como parte de la definición de un grupo. ^{[ 17 ]}

Una vez que surgió este concepto abstracto de grupo, los resultados se reformularon en este contexto abstracto. Por ejemplo, el teorema de Sylow fue refutado por Frobenius en 1887 directamente a partir de las leyes de un grupo finito, aunque Frobenius señaló que el teorema se derivaba del teorema de Cauchy sobre grupos de permutación y del hecho de que todo grupo finito es un subgrupo de un grupo de permutación. ^{[ 18 ] [ 19 ]} Otto Hölder fue particularmente prolífico en esta área, definiendo grupos cociente en 1889, automorfismos de grupo en 1893, así como grupos simples. También completó el teorema de Jordan-Hölder . Dedekind y Miller caracterizaron independientemente los grupos hamiltonianos e introdujeron la noción del conmutador de dos elementos. Burnside, Frobenius y Molien crearon la teoría de la representación de grupos finitos a finales del siglo XIX. ^{[ 18 ]} La monografía de JA de Séguier de 1905, Elementos de la teoría de los grupos abstractos, presentó muchos de estos resultados de forma abstracta y general, relegando los grupos "concretos" a un apéndice, aunque se limitaba a grupos finitos. La primera monografía sobre grupos abstractos finitos e infinitos fue Teoría abstracta de los grupos de OK Schmidt de 1916. ^{[ 20 ]}

La teoría de anillos no conmutativos comenzó con extensiones de los números complejos a números hipercomplejos , específicamente los cuaterniones de William Rowan Hamilton en 1843. Muchos otros sistemas numéricos siguieron poco después. En 1844, Hamilton presentó bicuaterniones , Cayley introdujo octoniones y Grassman introdujo álgebras exteriores . ^{[ 21 ]} James Cockle presentó tesarinas en 1848 ^{[ 22 ]} y cocuaterniones en 1849. ^{[ 23 ]} William Kingdon Clifford introdujo bicuaterniones divididos en 1873. Además, Cayley introdujo álgebras de grupo sobre los números reales y complejos en 1854 y matrices cuadradas en dos artículos de 1855 y 1858. ^{[ 24 ]}

Una vez que hubo suficientes ejemplos, restaba clasificarlos. En una monografía de 1870, Benjamin Peirce clasificó los más de 150 sistemas de números hipercomplejos de dimensión inferior a 6 y dio una definición explícita de un álgebra asociativa . Definió elementos nilpotentes e idempotentes y demostró que cualquier álgebra contiene uno u otro. También definió la descomposición de Peirce . Frobenius en 1878 y Charles Sanders Peirce en 1881 demostraron independientemente que las únicas álgebras de división de dimensión finita sobre${\displaystyle \mathbb {R} }$eran los números reales, los números complejos y los cuaterniones. En la década de 1880, Killing y Cartan demostraron que las álgebras de Lie semisimples podían descomponerse en simples y clasificaron todas las álgebras de Lie simples. Inspirados por esto, en la década de 1890, Cartan, Frobenius y Molien demostraron (de forma independiente) que un álgebra asociativa de dimensión finita sobre${\displaystyle \mathbb {R} }$o${\displaystyle \mathbb {C} }$Se descompone de forma única en las sumas directas de un álgebra nilpotente y un álgebra semisimple que es el producto de un cierto número de álgebras simples , matrices cuadradas sobre álgebras de división. Cartan fue el primero en definir conceptos como suma directa y álgebra simple, y estos conceptos resultaron bastante influyentes. En 1907, Wedderburn extendió los resultados de Cartan a un cuerpo arbitrario, en lo que ahora se conoce como el teorema principal de Wedderburn y el teorema de Artin-Wedderburn . ^{[ 25 ]}

Para anillos conmutativos, varias áreas en conjunto llevaron a la teoría de anillos conmutativos. ^{[ 26 ]} En dos artículos de 1828 y 1832, Gauss formuló los enteros gaussianos y demostró que forman un dominio de factorización única (UFD) y probó la ley de reciprocidad bicuadrática . Jacobi y Eisenstein, casi al mismo tiempo, probaron una ley de reciprocidad cúbica para los enteros de Eisenstein . ^{[ 25 ]} El estudio del Último Teorema de Fermat condujo a los enteros algebraicos . En 1847, Gabriel Lamé pensó que había probado el Último Teorema de Fermat, pero su prueba era defectuosa ya que asumió que todos los cuerpos ciclotómicos eran UFD, sin embargo, como señaló Kummer,${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{23}))}$no era un UFD. ^{[ 27 ]} En 1846 y 1847, Kummer introdujo los números ideales y demostró la factorización única en primos ideales para cuerpos ciclotómicos. ^{[ 28 ]} Dedekind extendió esto en 1871 para demostrar que todo ideal no nulo en el dominio de los enteros de un cuerpo de números algebraicos es un producto único de ideales primos , un precursor de la teoría de los dominios de Dedekind . En general, el trabajo de Dedekind creó el campo de la teoría de números algebraicos . ^{[ 29 ]}

En la década de 1850, Riemann introdujo el concepto fundamental de superficie de Riemann . Los métodos de Riemann se basaban en una suposición que él denominó principio de Dirichlet , ^{[ 30 ]} que en 1870 fue cuestionada por Weierstrass. Mucho más tarde, en 1900, Hilbert justificó el enfoque de Riemann desarrollando el método directo en el cálculo de variaciones . ^{[ 31 ]} En las décadas de 1860 y 1870, Clebsch, Gordan, Brill y, especialmente, M. Noether estudiaron funciones y curvas algebraicas . En particular, Noether estudió qué condiciones se requerían para que un polinomio fuera un elemento del ideal generado por dos curvas algebraicas en el anillo de polinomios.${\displaystyle \mathbb {R} [x,y]}$, aunque Noether no utilizó este lenguaje moderno. En 1882, Dedekind y Weber, en analogía con el trabajo anterior de Dedekind sobre teoría algebraica de números, crearon una teoría de campos de funciones algebraicas que permitió la primera definición rigurosa de una superficie de Riemann y una demostración rigurosa del teorema de Riemann-Roch . Kronecker en la década de 1880, Hilbert en 1890, Lasker en 1905 y Macaulay en 1913 investigaron más a fondo los ideales de anillos de polinomios implícitos en el trabajo de E. Noether . Lasker demostró un caso especial del teorema de Lasker-Noether , a saber, que todo ideal en un anillo de polinomios es una intersección finita de ideales primarios . Macaulay demostró la unicidad de esta descomposición. ^{[ 32 ]} En general, este trabajo condujo al desarrollo de la geometría algebraica . ^{[ 26 ]}

En 1801, Gauss introdujo las formas cuadráticas binarias sobre los enteros y definió su equivalencia . Además, definió el discriminante de estas formas, que es un invariante de una forma binaria . Entre las décadas de 1860 y 1890, la teoría de invariantes se desarrolló y se convirtió en un campo importante del álgebra. Cayley, Sylvester, Gordan y otros hallaron el jacobiano y el hessiano para las formas cuárticas y cúbicas binarias. ^{[ 33 ]} En 1868, Gordan demostró que el álgebra graduada de invariantes de una forma binaria sobre los números complejos era finitamente generada, es decir, tiene una base. ^{[ 34 ]} Hilbert escribió una tesis sobre invariantes en 1885 y en 1890 demostró que cualquier forma de cualquier grado o número de variables tiene una base. En 1890, extendió este concepto al teorema de la base de Hilbert . ^{[ 35 ]}

Una vez desarrolladas estas teorías, transcurrieron varias décadas hasta que surgió un concepto abstracto de anillo. La primera definición axiomática la dio Abraham Fraenkel en 1914. ^{[ 35 ]} Su definición se basaba principalmente en los axiomas estándar: un conjunto con dos operaciones, la suma, que forma un grupo (no necesariamente conmutativo), y la multiplicación, que es asociativa, se distribuye sobre la suma y tiene un elemento identidad. ^{[ 36 ]} Además, tenía dos axiomas sobre "elementos regulares" inspirados en trabajos sobre los números p-ádicos , que excluían anillos ahora comunes como el anillo de los enteros. Estos permitieron a Fraenkel demostrar que la suma era conmutativa. ^{[ 37 ]} El trabajo de Fraenkel tenía como objetivo transferir la definición de cuerpos de Steinitz de 1910 a los anillos, pero no estaba conectado con el trabajo existente sobre sistemas concretos. La definición de Masazo Sono de 1917 fue la primera equivalente a la actual. ^{[ 38 ]}

En 1920, Emmy Noether , en colaboración con W. Schmeidler, publicó un artículo sobre la teoría de los ideales en el que definieron los ideales izquierdo y derecho en un anillo . Al año siguiente publicó un artículo fundamental llamado Idealtheorie in Ringbereichen ( Teoría de los ideales en anillos ), que analizaba las condiciones de cadena ascendente con respecto a los ideales (matemáticos). Esta publicación dio origen al término " anillo noetheriano " y a que otros objetos matemáticos también se denominaran noetherianos . ^{[ 39 ] [ 40 ]} El reconocido algebrista Irving Kaplansky calificó este trabajo de "revolucionario"; ^{[ 39 ]} se demostró que resultados que parecían inextricablemente conectados con propiedades de anillos polinomiales se derivaban de un único axioma. ^{[ 41 ]} Artin, inspirado por el trabajo de Noether, formuló la condición de cadena descendente . Estas definiciones marcaron el nacimiento de la teoría abstracta de anillos. ^{[ 42 ]}

En 1801, Gauss introdujo los enteros módulo p , donde p es un número primo. Galois extendió esto en 1830 a cuerpos finitos con${\displaystyle p^{n}}$elementos. ^{[ 43 ]} En 1871, Richard Dedekind introdujo, para un conjunto de números reales o complejos que es cerrado bajo las cuatro operaciones aritméticas, ^{[ 44 ]} la palabra alemana Körper , que significa "cuerpo" o "corpus" (para sugerir una entidad orgánicamente cerrada). El término inglés "field" fue introducido por Moore en 1893. ^{[ 45 ]} En 1881, Leopold Kronecker definió lo que llamó un dominio de racionalidad , que es un campo de fracciones racionales en términos modernos. ^{[ 46 ]} La primera definición clara de un campo abstracto se debió a Heinrich Martin Weber en 1893. Carecía de la ley asociativa para la multiplicación, pero cubría campos finitos y los campos de la teoría algebraica de números y la geometría algebraica. ^{[ 47 ]} En 1910, Steinitz sintetizó el conocimiento de la teoría de campos abstractos acumulado hasta entonces. Definió axiomáticamente los campos con la definición moderna, los clasificó según su característica y demostró muchos teoremas que se ven comúnmente hoy en día. ^{[ 48 ]}

• Resolución de sistemas de ecuaciones lineales , que condujo al álgebra lineal ^{[ 49 ]}

A finales del siglo XIX y principios del XX se produjo un cambio en la metodología de las matemáticas. El álgebra abstracta surgió a principios del siglo XX, bajo el nombre de álgebra moderna . Su estudio formó parte del impulso hacia un mayor rigor intelectual en matemáticas. Inicialmente, los supuestos del álgebra clásica , de los que dependen todas las matemáticas (y gran parte de las ciencias naturales ), adoptaron la forma de sistemas axiomáticos . Insatisfechos con establecer propiedades de objetos concretos, los matemáticos comenzaron a centrar su atención en la teoría general. En el siglo XIX empezaron a surgir definiciones formales de ciertas estructuras algebraicas . Por ejemplo, los resultados sobre diversos grupos de permutaciones pasaron a considerarse ejemplos de teoremas generales que conciernen a una noción general de grupo abstracto . Las cuestiones de estructura y clasificación de diversos objetos matemáticos cobraron gran importancia. ^{[ 50 ]}

Estos procesos se daban en todas las ramas de las matemáticas, pero se hicieron especialmente evidentes en el álgebra. Se propusieron definiciones formales, mediante operaciones primitivas y axiomas, para muchas estructuras algebraicas básicas, como grupos , anillos y cuerpos . De ahí que conceptos como la teoría de grupos y la teoría de anillos se consolidaran en las matemáticas puras . Las investigaciones algebraicas de cuerpos generales realizadas por Ernst Steinitz y de anillos conmutativos y posteriormente generales por David Hilbert , Emil Artin y Emmy Noether , basándose en el trabajo de Ernst Kummer , Leopold Kronecker y Richard Dedekind , quienes habían estudiado los ideales en anillos conmutativos, y de Georg Frobenius e Issai Schur , en relación con la teoría de la representación de grupos, llegaron a definir el álgebra abstracta. Estos desarrollos del último cuarto del siglo XIX y del primer cuarto del siglo XX fueron expuestos sistemáticamente en Moderne Algebra de Bartel van der Waerden , la monografía en dos volúmenes publicada en 1930-1931 que reorientó la idea del álgebra de la teoría de ecuaciones a la teoría de estructuras algebraicas . ^{[ 51 ]}

Un grupo es un conjunto${\displaystyle G}$junto con un "producto de grupo", una operación binaria${\displaystyle \cdot :G\times G\rightarrow G}$El grupo satisface los siguientes axiomas definitorios:

Identidad

existe un elemento${\displaystyle e}$de tal manera que, para cada elemento${\displaystyle a}$en${\displaystyle G}$, sostiene que${\displaystyle e\cdot a=a\cdot e=a}$.

Inverso

para cada elemento${\displaystyle a}$de${\displaystyle G}$, existe un elemento${\displaystyle b}$de modo que${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a=e}$.

Asociatividad

para cada trío de elementos${\displaystyle a,b,c}$en${\displaystyle G}$, sostiene que${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$.

Un anillo es un conjunto${\displaystyle R}$con dos operaciones binarias , suma:${\displaystyle (x,y)\mapsto x+y,}$y la multiplicación:${\displaystyle (x,y)\mapsto xy}$que satisfacen los siguientes axiomas .

• ${\displaystyle R}$es un grupo conmutativo bajo la suma.
• ${\displaystyle R}$es un monoide bajo la multiplicación.
• La multiplicación es distributiva con respecto a la suma.