Teoría de invariantes modulares

En matemáticas , un invariante modular de un grupo es un invariante de un grupo finito que actúa sobre un espacio vectorial de característica positiva (que generalmente divide el orden del grupo). El estudio de los invariantes modulares fue iniciado alrededor de 1914 por Dickson (2004) .

Cuando G es el grupo lineal general finito GL n ( F q ) sobre el cuerpo finito F q de orden una potencia prima q que actúa sobre el anillo F q [ X 1 , ..., X n ] de forma natural, Dickson (1911) encontró un conjunto completo de invariantes como sigue. Escribimos [ e 1 , ..., e n ] para el determinante de la matriz cuyas entradas son X q e j i , donde e 1 , ..., e n son enteros no negativos . Por ejemplo, el determinante de Moore [0,1,2] de orden 3 es

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x_{1}&x_{1}^{q}&x_{1}^{q^{2}}\\x_{2}&x_{2}^{q}&x_{2}^{q^{2}}\\x_{3}&x_{3}^{q}&x_{3}^{q^{2}}\end{vmatrix}}}$

Luego, bajo la acción de un elemento g de GL _n ( F _q ) estos determinantes se multiplican todos por det( g ), por lo que todos son invariantes de SL _n ( F _q ) y las razones [ e ₁ , ..., e _n ] / [0,  1,  ..., n  − 1] son ​​invariantes de GL _n ( F _q ), llamados invariantes de Dickson . Dickson demostró que el anillo completo de invariantes F _q [ X ₁ , ..., X _n ] ^{GL _n ( F _q )} es un álgebra polinomial sobre los n invariantes de Dickson [0,  1,  ..., i  −  1, i + 1, ..., n ] / [0, 1, ..., n − 1] para i = 0, 1, ..., n − 1. Steinberg (1987) dio una demostración más corta del teorema de Dickson.          

Las matrices [ e ₁ , ..., e _n ] son ​​divisibles por todas las formas lineales no nulas en las variables X _i con coeficientes en el cuerpo finito F _q . En particular, el determinante de Moore [0,  1,  ..., n − 1] es un producto de dichas formas lineales, tomadas sobre 1 + q + q ² + ... + q ^{n – 1 representantes del} espacio proyectivo ( n – 1)-dimensional sobre el cuerpo. Esta factorización es similar a la factorización del determinante de Vandermonde en factores lineales.             

• Teorema de Sanderson

• Dickson, Leonard Eugene (1911), "Un sistema fundamental de invariantes del grupo lineal modular general con una solución del problema de la forma", Transactions of the American Mathematical Society , 12 (1): 75–98 , doi : 10.2307/1988736 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1988736  
• Dickson, Leonard Eugene (2004) [1914], Sobre invariantes y la teoría de los números , ediciones Dover Phoenix, Nueva York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-43828-3, MR 0201389 
• Rutherford, Daniel Edwin (2007) [1932], Invariantes modulares , Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, n.º 27, Ramsay Press, ISBN 978-1-4067-3850-6, MR 0186665 
• Sanderson, Mildred (1913), "Invariantes modulares formales con aplicación a covariantes modulares binarias", Transactions of the American Mathematical Society , 14 (4): 489– 500, doi : 10.2307/1988702 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1988702  
• Steinberg, Robert (1987), "Sobre el teorema de Dickson sobre invariantes" (PDF) , Revista de la Facultad de Ciencias. Universidad de Tokio. Sección IA. Matemáticas , 34 (3): 699–707 , ISSN 0040-8980 , MR 0927606 , archivado del original (PDF) el 5 de marzo de 2012 , consultado el 2 de diciembre de 2010.