Teoría de invariantes modulares

En matemáticas , un invariante modular de un grupo es un invariante de un grupo finito que actúa sobre un espacio vectorial de característica positiva (que suele dividir el orden del grupo). El estudio de los invariantes modulares se originó alrededor de 1914 por Dickson (2004).

Cuando G es el grupo lineal general finito GL n ( F q ) sobre el cuerpo finito F q de orden una potencia prima q que actúa sobre el anillo F q [ X 1 , ..., X n ] de forma natural, Dickson (1911) encontró un conjunto completo de invariantes como sigue. Escriba [ e 1 , ..., e n ] para el determinante de la matriz cuyas entradas son Xq e j
yo, donde e 1 , ..., e n son números enteros no negativos . Por ejemplo, el determinante de Moore [0,1,2] de orden 3 es

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x_{1}&x_{1}^{q}&x_{1}^{q^{2}}\\x_{2}&x_{2}^{q}&x_{2}^{q^{2}}\\x_{3}&x_{3}^{q}&x_{3}^{q^{2}}\end{vmatrix}}}$

Entonces, bajo la acción de un elemento g de GL _n ( F _q ), estos determinantes se multiplican todos por det( g ), por lo que son todos invariantes de SL _n ( F _q ) y las razones [ e ₁ , ..., e _n ] / [0, 1, ..., n  − 1] son ​​invariantes de GL _n ( F _q ), llamados invariantes de Dickson . Dickson demostró que el anillo completo de invariantes F _q [ X ₁ , ..., X _n ] ^{GL _n ( F _q )} es un álgebra polinomial sobre los n invariantes de Dickson [0, 1, ..., i  − 1,  i  + 1, ...,  n ] / [0, 1, ..., n  − 1] para i  = 0, 1, ..., n  − 1. Steinberg (1987) dio una prueba más corta del teorema de Dickson.

Las matrices [ e ₁ , ..., e _n ] son ​​divisibles por todas las formas lineales no nulas en las variables X _i con coeficientes en el cuerpo finito F _q . En particular, el determinante de Moore [0, 1, ...,  n  − 1] es un producto de tales formas lineales, tomadas sobre 1 +  q  +  q ²  + ... +  q ^{n  – 1} representantes del espacio proyectivo de ( n  – 1)-dimensional sobre el cuerpo. Esta factorización es similar a la factorización del determinante de Vandermonde en factores lineales.

• Teorema de Sanderson

• Dickson, Leonard Eugene (1911), "Un sistema fundamental de invariantes del grupo lineal modular general con una solución del problema de la forma", Transactions of the American Mathematical Society , 12 (1): 75–98, doi : 10.2307/1988736 , ISSN  0002-9947, JSTOR  1988736
• Dickson, Leonard Eugene (2004) [1914], Sobre invariantes y la teoría de números, Dover Phoenix editions, Nueva York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-43828-3, Sr.  0201389
• Rutherford, Daniel Edwin (2007) [1932], Invariantes modulares, Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, n.º 27, Ramsay Press, ISBN 978-1-4067-3850-6, Sr.  0186665
• Sanderson, Mildred (1913), "Invariantes modulares formales con aplicación a covariantes modulares binarios", Transactions of the American Mathematical Society , 14 (4): 489–500, doi : 10.2307/1988702 , ISSN  0002-9947, JSTOR  1988702
• Steinberg, Robert (1987), "Sobre el teorema de Dickson sobre invariantes" (PDF) , Journal of the Faculty of Science. University of Tokyo. Section IA. Mathematics , 34 (3): 699–707, ISSN  0040-8980, MR  0927606, archivado desde el original (PDF) el 2012-03-05 , consultado el 2010-12-02