Módulo y característica de convexidad

En matemáticas , el módulo de convexidad y la característica de convexidad son medidas de "cuán convexa " es la bola unitaria en un espacio de Banach . En cierto sentido, el módulo de convexidad guarda la misma relación con la definición ε - δ de convexidad uniforme que el módulo de continuidad con la definición ε - δ de continuidad .

El módulo de convexidad de un espacio de Banach ( X ,  || ⋅ ||) es la función δ  : [0, 2] → [0, 1] definida por

${\displaystyle \delta (\varepsilon )=\inf \left\{1-\left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\,:\,x,y\in S,\|xy\|\geq \varepsilon \right\},}$

donde S denota la esfera unitaria de ( X ,  ||  ||). En la definición de δ ( ε ), también se puede tomar el ínfimo sobre todos los vectores x , y en X tales que ǁ x ǁ, ǁ y ǁ ≤ 1 y ǁ x − y ǁ ≥ ε . ^{[ 1 ]}  

La característica de convexidad del espacio ( X ,  ||  ||) es el número ε ₀ definido por

${\displaystyle \varepsilon _{0}=\sup\{\varepsilon \,:\,\delta (\varepsilon )=0\}.}$

Estas nociones están implícitas en el estudio general de la convexidad uniforme realizado por J.  A.  Clarkson ( Clarkson (1936) ; este es el mismo artículo que contiene los enunciados de las desigualdades de Clarkson ). El término "módulo de convexidad" parece deberse a M.  M.  Day. ^{[ 2 ]}

• El módulo de convexidad, δ ( ε ), es una función no decreciente de ε , y el cociente δ ( ε ) / ε también es no decreciente en (0, 2] . ^{[ 3 ]} El módulo de convexidad no tiene por qué ser una función convexa de ε . ^{[ 4 ]} Sin embargo, el módulo de convexidad es equivalente a una función convexa en el siguiente sentido: ^{[ 5 ]} existe una función convexa δ ₁ ( ε ) tal que  

${\displaystyle \delta (\varepsilon /2)\leq \delta _ {1}(\varepsilon )\leq \delta (\varepsilon ),\quad \varepsilon \in [0,2].}$

• El espacio normado ( X , ǁ ⋅ ǁ) es uniformemente convexo si y solo si su característica de convexidad ε ₀ es igual a  0, es decir , si y solo si δ ( ε ) > 0 para todo ε > 0 . 
• El espacio de Banach ( X , ǁ ⋅ ǁ) es un espacio estrictamente convexo (es decir, el límite de la bola unitaria B no contiene segmentos de línea) si y solo si δ (2)  =  1, es decir , si solo los puntos antipodales (de la forma x e y  = − x ) de la esfera unitaria pueden tener una distancia igual a 2.  
• Cuando X es uniformemente convexa, admite una norma equivalente con módulo de convexidad de tipo potencia. ^{[ 6 ]} Es decir, existe q ≥ 2 y una constante c > 0 tal que 

${\displaystyle \delta (\varepsilon )\geq c\,\varepsilon ^{q},\quad \varepsilon \in [0,2].}$

Se conoce el módulo de convexidad para los espacios L ^{P. [ 7 ]} Si${\displaystyle 1<p\leq 2}$, entonces satisface la siguiente ecuación implícita:

${\displaystyle \left(1-\delta _{p}(\varepsilon )+{\frac {\varepsilon }{2}}\right)^{p}+\left(1-\delta _{p}(\varepsilon )-{\frac {\varepsilon }{2}}\right)^{p}=2.}$

Sabiendo que${\displaystyle \delta _ {p}(\varepsilon +)=0,}$uno puede suponer que${\displaystyle \delta _ {p}(\varepsilon )=a_{0}\varepsilon +a_{1}\varepsilon ^{2}+\cdots }$Sustituyendo esto en lo anterior y expandiendo el lado izquierdo como una serie de Taylor alrededor de${\displaystyle \varepsilon =0}$, se puede calcular el${\displaystyle a_{i}}$coeficientes:

${\displaystyle \delta _{p}(\varepsilon )={\frac {p-1}{8}}\varepsilon ^{2}+{\frac {1}{384}}(3-10p+9p^{2}-2p^{3})\varepsilon ^{4}+\cdots .}$

Para${\displaystyle 2<p<\infty }$, uno tiene la expresión explícita

${\displaystyle \delta _{p}(\varepsilon )=1-\left(1-\left({\frac {\varepsilon }{2}}\right)^{p}\right)^{\frac {1}{p}}.}$

Por lo tanto,${\displaystyle \delta _{p}(\varepsilon )={\frac {1}{p2^{p}}}\varepsilon ^{p}+\cdots }$.

• Espacio uniformemente liso

• Beauzamy, Bernard (1985) [1982]. Introducción a los espacios de Banach y su geometría (Segunda  edición revisada). North-Holland. ISBN 0-444-86416-4. SR 0889253 . 
• Clarkson, James (1936), "Espacios uniformemente convexos", Transactions of the American Mathematical Society , 40 (3), American Mathematical Society: 396–414 , doi : 10.2307/1989630 , JSTOR 1989630 
• Fuster, Enrique Llorens. Algunos módulos y constantes relacionados con la teoría del punto fijo métrico. Manual de teoría del punto fijo métrico , 133-175, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2001. MR 1904276 
• Lindenstrauss, Joram y Benyamini, Yoav. Análisis funcional no lineal geométrico. Publicaciones del coloquio, 48. Sociedad Matemática Americana.
• Lindenstrauss, Joram ; Tzafriri, Lior (1979), Espacios clásicos de Banach. II. Espacios funcionales , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete [Resultados en Matemáticas y Áreas Afines], vol.  97, Berlín-Nueva York: Springer-Verlag, págs.  x+243, ISBN 3-540-08888-1.
• Vitali D. Milman . Teoría geométrica de los espacios de Banach II. Geometría de la esfera unitaria. Uspechi Mat. Nauk, vol. 26, n.º 6, 73–149, 1971; Russian Math. Surveys , vol. 26 6, 80–159.