Módulo de continuidad

En análisis matemático , un módulo de continuidad es una función ω : [0, ∞] → [0, ∞] que se utiliza para medir cuantitativamente la continuidad uniforme de las funciones. Por lo tanto, una función f : I → R admite ω como módulo de continuidad si

|f(x)-f(y)|\leq \omega (|xy|),

para todo x e y en el dominio de f . Dado que se requiere que los módulos de continuidad sean infinitesimales en 0, una función resulta ser uniformemente continua si y solo si admite un módulo de continuidad. Además, la relevancia de la noción viene dada por el hecho de que los conjuntos de funciones que comparten el mismo módulo de continuidad son familias exactamente equicontinuas . Por ejemplo, el módulo ω( t ) := kt describe las funciones k-Lipschitz , los módulos ω( t ) := kt ^α describen la continuidad de Hölder , el módulo ω( t ) := kt (|log t |+1) describe la clase casi Lipschitz , y así sucesivamente. En general, el papel de ω es fijar alguna dependencia funcional explícita de ε en δ en la definición (ε, δ) de continuidad uniforme . Las mismas nociones se generalizan naturalmente a funciones entre espacios métricos . Además, una versión local adecuada de estas nociones permite describir cuantitativamente la continuidad en un punto en términos de módulos de continuidad.

Los módulos de continuidad cóncavos desempeñan un papel especial, especialmente en relación con las propiedades de extensión y con la aproximación de funciones uniformemente continuas . Para una función entre espacios métricos, es equivalente admitir un módulo de continuidad que sea cóncavo, subaditivo, uniformemente continuo o sublineal (en el sentido de crecimiento ). De hecho, la existencia de tales módulos de continuidad especiales para una función uniformemente continua siempre está garantizada cuando el dominio es un subconjunto compacto o convexo de un espacio normado . Sin embargo, una función uniformemente continua en un espacio métrico general admite un módulo de continuidad cóncavo si y solo si las razones

{\frac {d_{Y}(f(x),f(x'))}{d_{X}(x,x')}}

son uniformemente acotadas para todos los pares ( x , x ′) acotados fuera de la diagonal de X x X . Las funciones con esta última propiedad constituyen una subclase especial de las funciones uniformemente continuas, a las que en lo sucesivo nos referiremos como las funciones uniformemente continuas especiales . Las funciones uniformemente continuas especiales de valor real en el espacio métrico X también pueden caracterizarse como el conjunto de todas las funciones que son restricciones a X de funciones uniformemente continuas sobre cualquier espacio normado que contenga isométricamente a X . Además, puede caracterizarse como la clausura uniforme de las funciones de Lipschitz en X .

Definición formal

Formalmente, un módulo de continuidad es cualquier función creciente de valores reales extendidos ω : [0, ∞] → [0, ∞], que se anula en 0 y es continua en 0, es decir

\lim _{t\to 0}\omega (t)=\omega (0)=0.

Los módulos de continuidad se utilizan principalmente para dar una descripción cuantitativa tanto de la continuidad en un punto como de la continuidad uniforme para funciones entre espacios métricos, según las siguientes definiciones.

Una función f : ( X , d _X ) → ( Y , d _Y ) admite ω como módulo de continuidad (local) en el punto x en X si y solo si,

\forall x'\in X:d_{Y}(f(x),f(x'))\leq \omega (d_{X}(x,x')).

Además, f admite ω como módulo de continuidad (global) si y solo si,

\forall x,x'\in X:d_{Y}(f(x),f(x'))\leq \omega (d_{X}(x,x')).

De forma equivalente, se dice que ω es un módulo de continuidad (respectivamente, en x ) para f , o, en resumen, que f es ω-continua (respectivamente, en x ). Aquí, nos centramos principalmente en la noción global.

Datos básicos

Si f tiene ω como módulo de continuidad y ω ₁ ≥ ω, entonces f también admite ω ₁ como módulo de continuidad.
Si f : X → Y y g : Y → Z son funciones entre espacios métricos con módulos respectivamente ω ₁ y ω ₂ , entonces el mapa de composición $g\circ f:X\to Z$ tiene módulo de continuidad $\omega _{2}\circ \omega _{1}$ .
Si f y g son funciones del espacio métrico X al espacio de Banach Y , con módulos respectivamente ω ₁ y ω ₂ , entonces cualquier combinación lineal af + bg tiene módulo de continuidad | a |ω ₁ +| b |ω ₂ . El conjunto de todas las funciones de X a Y que tienen ω como módulo de continuidad es un subconjunto convexo del espacio vectorial C ( X , Y ), cerrado bajo convergencia puntual .
Si f y g son funciones reales acotadas en el espacio métrico X , con módulos ω ₁ y ω ₂ respectivamente , entonces el producto puntual fg tiene módulo de continuidad. $\|g\|_{\infty }\omega _{1}+\|f\|_{\infty }\omega _{2}$ .
Si $\{f_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }$ es una familia de funciones de valor real en el espacio métrico X con módulo de continuidad común ω, entonces la envolvente inferior $\inf _{\lambda \in \Lambda }f_{\lambda }$ , respectivamente, la envoltura superior $\sup _{\lambda \in \Lambda }f_{\lambda }$ es una función de valor real con módulo de continuidad ω, siempre que sea de valor finito en cada punto. Si ω es de valor real, basta con que la envolvente sea finita en al menos un punto de X.

Observaciones

Algunos autores no requieren monotonicidad, y otros requieren propiedades adicionales como que ω sea continua. Sin embargo, si f admite un módulo de continuidad en la definición más débil, también admite un módulo de continuidad que es creciente e infinitamente diferenciable en (0, ∞). Por ejemplo, $\omega _{1}(t):=\sup _{s\leq t}\omega (s)$ está aumentando, y ω ₁ ≥ ω; $\omega _{2}(t):={\frac {1}{t}}\int _{t}^{2t}\omega _{1}(s)ds$ También es continua, y ω ₂ ≥ ω ₁ , y una variante adecuada de la definición anterior también hace que ω ₂ sea infinitamente diferenciable en [0, ∞].
Cualquier función uniformemente continua admite un módulo mínimo de continuidad ω _f , que a veces se denomina módulo de continuidad (óptimo) de f : $\omega _{f}(t):=\sup\{d_{Y}(f(x),f(x')):x\in X,x'\in X,d_{X}(x,x')\leq t\},\quad \forall t\geq 0.$ De manera similar, cualquier función continua en el punto x admite un módulo mínimo de continuidad en x , ω _f ( t ; x ) ( el módulo (óptimo) de continuidad de f en x ) : $\omega _{f}(t;x):=\sup\{d_{Y}(f(x),f(x')):x'\in X,d_{X}(x,x')\leq t\},\quad \forall t\geq 0.$ Sin embargo, estas nociones restringidas no son tan relevantes, ya que en la mayoría de los casos el módulo óptimo de f no se puede calcular explícitamente, sino que solo se puede acotar superiormente (por cualquier módulo de continuidad de f ). Además, las propiedades principales de los módulos de continuidad conciernen directamente a la definición no restringida.
En general, el módulo de continuidad de una función uniformemente continua en un espacio métrico debe tomar el valor +∞. Por ejemplo, la función f : N → R tal que f ( n ) := n ² es uniformemente continua con respecto a la métrica discreta en N , y su módulo mínimo de continuidad es ω _f ( t ) = +∞ para cualquier t ≥1, y ω _f ( t ) = 0 en caso contrario. Sin embargo, la situación es diferente para funciones uniformemente continuas definidas en subconjuntos compactos o convexos de espacios normados.

Módulos especiales de continuidad

Los módulos de continuidad especiales también reflejan ciertas propiedades globales de las funciones, como la extensibilidad y la aproximación uniforme. En esta sección, nos ocupamos principalmente de los módulos de continuidad cóncavos , subaditivos , uniformemente continuos o sublineales. Estas propiedades son esencialmente equivalentes, ya que, para un módulo ω (más precisamente, su restricción en [0, ∞)), cada una de las siguientes implica la siguiente:

ω es cóncava;
ω es subaditivo;
ω es uniformemente continua;
ω es sublineal, es decir, existen constantes a y b tales que ω( t ) ≤ at + b para todo t ;
ω está dominado por un módulo cóncavo, es decir, existe un módulo de continuidad cóncavo. ${\tilde {\omega }}$ de tal manera que $\omega (t)\leq {\tilde {\omega }}(t)$ para todo t .

Así, para una función f entre espacios métricos, es equivalente admitir un módulo de continuidad que sea cóncavo, subaditivo, uniformemente continuo o sublineal. En este caso, la función f se denomina a veces una aplicación uniformemente continua especial . Esto siempre es cierto en el caso de dominios compactos o convexos. De hecho, una aplicación uniformemente continua f : C → Y definida en un conjunto convexo C de un espacio normado E siempre admite un módulo de continuidad subaditivo ; en particular, de valor real como una función ω : [0, ∞) → [0, ∞). De hecho, es inmediato comprobar que el módulo de continuidad óptimo ω _f definido anteriormente es subaditivo si el dominio de f es convexo: tenemos, para todo s y t :

{\begin{aligned}\omega _{f}(s+t)&=\sup _{|x-x'|\leq t+s}d_{Y}(f(x),f(x'))\\&\leq \sup _{|x-x'|\leq t+s}\left\{d_{Y}\left(f(x),f\left(x-t{\frac {x-x'}{|x-x'|}}\right)\right)+d_{Y}\left(f\left(x-t{\frac {x-x'}{|x-x'|}}\right),f(x')\right)\right\}\\&\leq \omega _{f}(t)+\omega _{f}(s).\end{aligned}}

Nótese que, como consecuencia inmediata, cualquier función uniformemente continua en un subconjunto convexo de un espacio normado tiene un crecimiento sublineal: existen constantes a y b tales que | f ( x )| ≤ a | x |+ b para todo x . Sin embargo, una función uniformemente continua en un espacio métrico general admite un módulo de continuidad cóncavo si y solo si las razones $d_{Y}(f(x),f(x'))/d_{X}(x,x')$ están uniformemente acotadas para todos los pares ( x , x ′) con distancia acotada lejos de cero; esta condición ciertamente la satisface cualquier función uniformemente continua acotada; por lo tanto, en particular, cualquier función continua en un espacio métrico compacto.

Módulos sublineales y perturbaciones acotadas de Lipschitz

Se puede encontrar fácilmente un módulo de continuidad sublineal para cualquier función uniformemente continua que sea una perturbación acotada de una función de Lipschitz: si f es una función uniformemente continua con módulo de continuidad ω, y g es una función de Lipschitz de orden k con distancia uniforme r de f , entonces f admite el módulo de continuidad sublineal min{ω( t ), 2 r + kt }. Recíprocamente, al menos para funciones de valor real, cualquier función uniformemente continua especial es una perturbación acotada y uniformemente continua de alguna función de Lipschitz; de hecho, ocurre aún más, como se muestra a continuación (aproximación de Lipschitz).

Módulos subaditivos y extensibilidad

La propiedad anterior para funciones uniformemente continuas en dominios convexos admite una especie de recíproca, al menos en el caso de funciones de valor real: es decir, toda función especial uniformemente continua de valor real f : X → R definida en un espacio métrico X , que es un subespacio métrico de un espacio normado E , admite extensiones sobre E que preservan cualquier módulo subaditivo ω de f . La menor y la mayor de dichas extensiones son, respectivamente:

{\begin{aligned}f_{*}(x)&:=\sup _{y\in X}\left\{f(y)-\omega (|x-y|)\right\},\\f^{*}(x)&:=\inf _{y\in X}\left\{f(y)+\omega (|x-y|)\right\}.\end{aligned}}

Como se ha señalado, cualquier módulo de continuidad subaditivo es uniformemente continuo: de hecho, se admite a sí mismo como un módulo de continuidad. Por lo tanto, f _∗ y f* son respectivamente envolventes inferior y superior de familias ω-continuas; por consiguiente, siguen siendo ω-continuas. Cabe mencionar que, mediante la inmersión de Kuratowski, cualquier espacio métrico es isométrico a un subconjunto de un espacio normado. Por lo tanto, las funciones reales uniformemente continuas especiales son esencialmente restricciones de funciones uniformemente continuas en espacios normados. En particular, esta construcción proporciona una demostración rápida del teorema de extensión de Tietze en espacios métricos compactos. Sin embargo, para aplicaciones con valores en espacios de Banach más generales que R , la situación es bastante más complicada; el primer resultado no trivial en esta dirección es el teorema de Kirszbraun .

Módulos cóncavos y aproximación de Lipschitz

Toda función real uniformemente continua especial f : X → R definida en el espacio métrico X es uniformemente aproximable mediante funciones de Lipschitz. Además, la velocidad de convergencia en términos de las constantes de Lipschitz de las aproximaciones está estrictamente relacionada con el módulo de continuidad de f . Precisamente, sea ω el módulo de continuidad cóncavo mínimo de f , que es

\omega (t)=\inf {\big \{}at+b\,:\,a>0,\,b>0,\,\forall x\in X,\,\forall x'\in X\,\,|f(x)-f(x')|\leq ad(x,x')+b{\big \}}.

Sea δ( s ) la distancia uniforme entre la función f y el conjunto Lip _s de todas las funciones reales de Lipschitz en C que tienen constante de Lipschitz s :

\delta (s):=\inf {\big \{}\|f-u\|_{\infty ,X}\,:\,u\in \mathrm {Lip} _{s}{\big \}}\leq +\infty .

Entonces, las funciones ω( t ) y δ( s ) pueden relacionarse entre sí mediante una transformación de Legendre : más precisamente, las funciones 2δ( s ) y −ω(− t ) (adecuadamente extendidas a +∞ fuera de sus dominios de finitud) son un par de funciones convexas conjugadas, ^{[ 1 ]} para

2\delta (s)=\sup _{t\geq 0}\left\{\omega (t)-st\right\},

\omega (t)=\inf _{s\geq 0}\left\{2\delta (s)+st\right\}.

Dado que ω( t ) = o(1) para t → 0 ⁺ , se deduce que δ( s ) = o(1) para s → +∞, lo que significa exactamente que f es uniformemente aproximable por funciones de Lipschitz. Correspondientemente, una aproximación óptima viene dada por las funciones

f_{s}:=\delta (s)+\inf _{y\in X}\{f(y)+sd(x,y)\},\quad \mathrm {for} \ s\in \mathrm {dom} (\delta ):

cada función f _s tiene constante de Lipschitz s y

\|f-f_{s}\|_{\infty ,X}=\delta (s);

De hecho, es la mayor función s -Lipschitz la que realiza la distancia δ( s ). Por ejemplo, las funciones α-Hölder de valor real en un espacio métrico se caracterizan como aquellas funciones que pueden aproximarse uniformemente mediante funciones s -Lipschitz con velocidad de convergencia. $O(s^{-{\frac {\alpha }{1-\alpha }}}),$ mientras que las funciones casi Lipschitz se caracterizan por una velocidad de convergencia exponencial $O(e^{-as}).$

Ejemplos de uso

Sea f : [ a , b ] → R una función continua. En la demostración de que f es integrable de Riemann , se suele acotar la distancia entre las sumas de Riemann superior e inferior con respecto a la partición de Riemann P := { t ₀ , ..., t _n } en términos del módulo de continuidad de f y la malla de la partición P (que es el número ${\textstyle |P|:=\max _{0\leq i<n}(t_{i+1}-t_{i})}$ ) $S^{*}(f;P)-S_{*}(f;P)\leq (b-a)\omega (|P|).$
Para ver un ejemplo de uso en la serie de Fourier , consulte la prueba de Dini .

Historia

Steffens (2006, p. 160) atribuye el primer uso de omega para el módulo de continuidad a Lebesgue (1909, p. 309/p. 75), donde omega se refiere a la oscilación de una transformada de Fourier . De la Vallée Poussin (1919, pp. 7-8) menciona ambos nombres: (1) "módulo de continuidad" y (2) "módulo de oscilación", y luego concluye: "pero elegimos (1) para llamar la atención sobre el uso que le daremos".

El grupo de traslación de las funciones L ^p y los módulos de continuidad L ^p .

Sea 1 ≤ p ; sea f : R ⁿ → R una función de clase L ^p , y sea h ∈ R n . La traslación h de f ^, la función definida por ( τ _h f )( x ) := f ( x − h ), pertenece a la clase L ^p ; además, si 1 ≤ p < ∞, entonces cuando ǁ h ǁ → 0 tenemos:

\|\tau _{h}f-f\|_{p}=o(1).

Por lo tanto, dado que las traslaciones son de hecho isometrías lineales, también

\|\tau _{v+h}f-\tau _{v}f\|_{p}=o(1),

cuando ǁ h ǁ → 0, uniformemente en v ∈ R ⁿ .

En otras palabras, la aplicación h → τ _h define un grupo fuertemente continuo de isometrías lineales de L ^p . En el caso p = ∞ la propiedad anterior no se cumple en general: de hecho, se reduce exactamente a la continuidad uniforme y define las funciones uniformemente continuas. Esto conduce a la siguiente definición, que generaliza la noción de un módulo de continuidad de las funciones uniformemente continuas: un módulo de continuidad L ^p para una función medible f : X → R es un módulo de continuidad ω : [0, ∞] → [0, ∞] tal que

\|\tau _{h}f-f\|_{p}\leq \omega (h).

De esta forma, los módulos de continuidad también proporcionan una descripción cuantitativa de la propiedad de continuidad que comparten todas las funciones L ^p .