Integral de Riemann

En análisis real , la integral de Riemann es una definición rigurosa de la integral de una función en un intervalo . Define la integral aproximando la región bajo la gráfica de una función mediante sumas finitas de áreas de rectángulos verticales. Para funciones adecuadas, incluyendo toda función continua en un intervalo cerrado y acotado, estas sumas de Riemann se aproximan a un único valor límite a medida que las particiones del intervalo se vuelven más finas. Ese valor límite define la integral, y las sumas de Riemann que se encuentran suficientemente cerca del límite pueden utilizarse como aproximaciones numéricas .

Bernhard Riemann introdujo la integral en un trabajo presentado a la facultad de la Universidad de Göttingen en 1854 y publicado en 1868. ^{[ 1 ]} Es la integral que se introduce con mayor frecuencia en el cálculo elemental , aunque en el análisis avanzado a menudo se reemplaza por nociones más generales como la integral de Lebesgue .

Consideremos una curva en un gráfico que se mantiene por encima del eje x , comenzando en x = a y terminando en x = b . El área bajo esa curva, desde a hasta b , es lo que queremos encontrar. Esta área se puede describir como el conjunto de todos los puntos ( x , y ) en el gráfico que siguen estas reglas: a ≤ x ≤ b (la coordenada x está entre a y b ) y 0 < y < f ( x ) (la coordenada y está entre 0 y la altura de la curva f ( x ) ). Matemáticamente, esta región se puede expresar en notación de conjuntos como $${\displaystyle S=\left\{(x,y)\,:\,a\leq x\leq b\,,\,0<y<f(x)\right\}.}$$

Para medir esta área, utilizamos una integral de Riemann , que se escribe como: $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$$

Esta notación significa “la integral de f ( x ) de a a b ”, y representa el área exacta bajo la curva f ( x ) y por encima del eje x , entre x = a y x = b .

La idea detrás de la integral de Riemann es dividir el área en figuras pequeñas y simples (como rectángulos), sumar sus áreas y luego hacer que los rectángulos sean cada vez más pequeños para obtener una mejor estimación. Al final, cuando los rectángulos son infinitamente pequeños, la suma da el área exacta, que es lo que representa la integral.

Si la curva desciende por debajo del eje x , la integral da como resultado un área con signo . Esto significa que la integral suma la parte que está por encima del eje x como positiva y resta la parte que está por debajo como negativa. Por lo tanto, el resultado puede ser positivo, negativo o cero, dependiendo de qué parte de la curva esté por encima o por debajo del eje x . ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

A partition of an interval [a, b] is a finite sequence of numbers of the form^[2]$${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{i}<\dots <x_{n}=b}$$

Each [x_i, x_{i + 1}] is called a sub-interval of the partition. The mesh or norm of a partition is defined to be the length of the longest sub-interval, that is, $${\displaystyle \max \left(x_{i+1}-x_{i}\right),\quad i\in [0,n-1].}$$

A tagged partitionP(x, t) of an interval [a, b] is a partition together with a choice of a sample point within each sub-interval: that is, numbers t₀, ..., t_{n − 1} with t_i ∈ [x_i, x_{i + 1}] for each i. The mesh of a tagged partition is the same as that of an ordinary partition.

A partition ${\displaystyle Q}$ is said to refine the a partition ${\displaystyle P}$ if the intervals in the partition ${\displaystyle Q}$ are all subintervals of the intervals in the partition ${\displaystyle P}$, so that the points marking the partition in ${\displaystyle Q}$ include those of ${\displaystyle P}$ and possibly others making it finer. A refinement of a tagged partition is defined so that each tag ${\displaystyle t_{i}}$ of ${\displaystyle P}$ is a tag of some interval in ${\displaystyle Q}$.

We can turn the set of all tagged partitions into a directed set by saying that one tagged partition is greater than or equal to another if the former is a refinement of the latter.

A sequence of Riemann sums over a regular partition of an interval. The number on top is the total area of the rectangles, which converges to the integral of the function.

The partition does not need to be regular, as shown here. The approximation works as long as the width of each subdivision tends to zero.

Let f be a real-valued function defined on the interval [a, b]. The Riemann sum of f with respect to a tagged partition P(x, t) of [a, b] is^[3]$${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})\left(x_{i+1}-x_{i}\right).}$$

Each term in the sum is the product of the value of the function at a given point and the length of an interval. Consequently, each term represents the (signed) area of a rectangle with height f(t_i) and width x_{i + 1} − x_i. The Riemann sum is the (signed) area of all the rectangles.^[4]

Closely related concepts are the lower and upper Darboux sums. These are similar to Riemann sums, but the tags are replaced by the infimum and supremum (respectively) of f on each sub-interval: $${\displaystyle {\begin{aligned}L(f,P)&=\sum _{i=0}^{n-1}\inf _{t\in [x_{i},x_{i+1}]}f(t)(x_{i+1}-x_{i}),\\U(f,P)&=\sum _{i=0}^{n-1}\sup _{t\in [x_{i},x_{i+1}]}f(t)(x_{i+1}-x_{i}).\end{aligned}}}$$

If f is continuous, then the lower and upper Darboux sums for an untagged partition are equal to the Riemann sum for that partition, where the tags are chosen to be the minimum or maximum (respectively) of f on each subinterval. (When f is discontinuous on a subinterval, there may not be a tag that achieves the infimum or supremum on that subinterval.) The Darboux integral, which is similar to the Riemann integral but based on Darboux sums, is equivalent to the Riemann integral.

Loosely speaking, the Riemann integral is the limit of the Riemann sums of a function as the partitions get finer. If the limit exists then the function is said to be integrable (or more specifically Riemann-integrable). The Riemann sum can be made as close as desired to the Riemann integral by making the partition fine enough.^[5]

One important requirement is that the mesh of the partitions must become smaller and smaller, so that it has the limit zero. If this were not so, then we would not be getting a good approximation to the function on certain subintervals. In fact, this is enough to define an integral. To be specific, we say that the Riemann integral of f exists and equals s if the following condition holds:

For all ε > 0, there exists δ > 0 such that for any tagged partitionx₀, ..., x_n and t₀, ..., t_{n − 1} whose mesh is less than δ, we have $${\displaystyle \left|\left(\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\right)-s\right|<\varepsilon .}$$

Desafortunadamente, esta definición es muy difícil de usar. Sería útil desarrollar una definición equivalente de la integral de Riemann que sea más fácil de manejar. Desarrollamos esta definición a continuación, seguida de una demostración de equivalencia. Nuestra nueva definición establece que la integral de Riemann de f existe y es igual a s si se cumple la siguiente condición:

Para todo ε > 0 , existe una partición etiquetada y ₀ , ..., y _m y r ₀ , ..., r _{m − 1} tal que para cualquier partición etiquetada x ₀ , ..., x _n y t ₀ , ..., t _{n − 1} que sea un refinamiento de y ₀ , ..., y _m y r ₀ , ..., r _{m − 1} , tenemos $${\displaystyle \left|\left(\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\right)-s\right|<\varepsilon .}$$

Ambas implican que, eventualmente, la suma de Riemann de f con respecto a cualquier partición queda atrapada cerca de s . Dado que esto es cierto sin importar cuán cerca exijamos que queden atrapadas las sumas, decimos que las sumas de Riemann convergen a s . Estas definiciones son en realidad un caso especial de un concepto más general, una red .

Como ya hemos mencionado, estas dos definiciones son equivalentes. En otras palabras, s funciona en la primera definición si y solo si s funciona en la segunda. Para demostrar que la primera definición implica la segunda, partimos de un ε y elegimos un δ que satisface la condición. Elegimos cualquier partición etiquetada cuya malla sea menor que δ . Su suma de Riemann está dentro de ε de s , y cualquier refinamiento de esta partición también tendrá una malla menor que δ , por lo que la suma de Riemann del refinamiento también estará dentro de ε de s .

Para demostrar que la segunda definición implica la primera, lo más sencillo es usar la integral de Darboux . Primero, se demuestra que la segunda definición es equivalente a la definición de la integral de Darboux; para ello, véase el artículo sobre la integral de Darboux . Ahora demostraremos que una función integrable de Darboux satisface la primera definición. Fijemos ε y elijamos una partición y₀ _, ..., yᵐ _tal que las sumas de Darboux inferior y superior con respecto a esta partición estén dentro de ε /2 del valor s de la integral de Darboux. Sea $${\displaystyle r=2\sup _{x\in [a,b]}|f(x)|.}$$

Si r = 0 , entonces f es la función cero, que claramente es integrable tanto en el sentido de Darboux como en el de Riemann con cero entero. Por lo tanto, asumiremos que r > 0. Si m > 1 , entonces elegimos δ tal que $${\displaystyle \delta <\min \left\{{\frac {\varepsilon }{2r(m-1)}},\left(y_{1}-y_{0}\right),\left(y_{2}-y_{1}\right),\cdots ,\left(y_{m}-y_{m-1}\right)\right\}}$$

Si m = 1 , entonces elegimos δ menor que uno. Elegimos una partición etiquetada x ₀ , ..., x _n y t ₀ , ..., t _{n − 1} con una malla menor que δ . Debemos demostrar que la suma de Riemann está dentro de ε de s .

Para ver esto, elija un intervalo [ x _i , x _{i + 1} ] . Si este intervalo está contenido en algún [ y _j , y _{j + 1} ] , entonces donde m _j y M _j son respectivamente el ínfimo y el supremo de f en [ y _j , y _{j + 1} ] . Si todos los intervalos tuvieran esta propiedad, entonces esto concluiría la demostración, porque cada término en la suma de Riemann estaría acotado por un término correspondiente en las sumas de Darboux, y elegimos las sumas de Darboux para que estén cerca de s . Este es el caso cuando m = 1 , por lo que la demostración está terminada en ese caso. $${\displaystyle m_{j}\leq f(t_{i})\leq M_{j}}$$

Por lo tanto, podemos suponer que m > 1. En este caso, es posible que uno de los [ x _i , x _{i + 1} ] no esté contenido en ningún [ y _j , y _{j + 1} ] . En cambio, puede extenderse a través de dos de los intervalos determinados por y ₀ , ..., y _m . (No puede abarcar tres intervalos porque se supone que δ es menor que la longitud de cualquier intervalo). En símbolos, puede suceder que $${\displaystyle y_{j}<x_{i}<y_{j+1}<x_{i+1}<y_{j+2}.}$$

(Podemos suponer que todas las desigualdades son estrictas porque, de lo contrario, estaríamos en el caso anterior debido a nuestra suposición sobre la longitud de δ ). Esto puede ocurrir como máximo m − 1 veces.

Para manejar este caso, estimaremos la diferencia entre la suma de Riemann y la suma de Darboux subdividiendo la partición x ₀ , ..., x _n en y _{j + 1} . El término f ( t _i )( x _{i + 1} − x _i ) en la suma de Riemann se divide en dos términos: $${\displaystyle f\left(t_{i}\right)\left(x_{i+1}-x_{i}\right)=f\left(t_{i}\right)\left(x_{i+1}-y_{j+1}\right)+f\left(t_{i}\right)\left(y_{j+1}-x_{i}\right).}$$

Supongamos, sin pérdida de generalidad , que t _i ∈ [ y _j , y _{j + 1} ] . Entonces , este término está acotado por el término correspondiente en la suma de Darboux para y _j . Para acotar el otro término, observemos que $${\displaystyle m_{j}\leq f(t_{i})\leq M_{j},}$$$${\displaystyle x_{i+1}-y_{j+1}<\delta <{\frac {\varepsilon }{2r(m-1)}},}$$

De ello se deduce que, para algunos (de hecho, para cualquiera )^* _i∈ [ y _{j + 1} , x _{i + 1} ] , $${\displaystyle \left|f\left(t_{i}\right)-f\left(t_{i}^{*}\right)\right|\left(x_{i+1}-y_{j+1}\right)<{\frac {\varepsilon }{2(m-1)}}.}$$

Dado que esto ocurre como máximo m − 1 veces, la distancia entre la suma de Riemann y una suma de Darboux es como máximo ε /2 . Por lo tanto, la distancia entre la suma de Riemann y s es como máximo  ε .

Sea f la función que toma el valor 1 en cada punto. Cualquier suma de Riemann de f en [0, 1] tendrá el valor 1, por lo tanto, la integral de Riemann de f en [0, 1] es 1. ${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} }$

Sea la función indicadora de los números racionales en [0, 1] ; es decir, toma el valor 1 para los números racionales y 0 para los irracionales. Esta función no tiene una integral de Riemann. Para demostrarlo, mostraremos cómo construir particiones etiquetadas cuyas sumas de Riemann se aproximan arbitrariamente tanto a cero como a uno. ${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }:[0,1]\to \mathbb {R} }$${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }}$

Para empezar, sea x ₀ , ..., x _n y t ₀ , ..., t _{n − 1} una partición etiquetada (cada t _i está entre x _i y x _{i + 1} ). Elija ε > 0. Los t _i ya han sido elegidos y no podemos cambiar el valor de f en esos puntos. Pero si dividimos la partición en pequeños fragmentos alrededor de cada t _i , podemos minimizar el efecto de t _i . Entonces, eligiendo cuidadosamente las nuevas etiquetas, podemos hacer que el valor de la suma de Riemann resulte estar dentro de ε de cero o uno.

Nuestro primer paso es dividir la partición. Hay n de los t _i , y queremos que su efecto total sea menor que ε . Si confinamos cada uno de ellos a un intervalo de longitud menor que ε / n , entonces la contribución de cada t _i a la suma de Riemann será al menos 0 · ε / n y como máximo 1 · ε / n . Esto hace que la suma total sea al menos cero y como máximo ε . Así que sea δ un número positivo menor que ε / n . Si sucede que dos de los t _i están dentro de δ uno del otro, escojamos δ menor. Si sucede que algún t _i está dentro de δ de algún x _j , y t _i no es igual a x _j , escojamos δ menor. Como solo hay un número finito de t _i y x _j , siempre podemos elegir δ suficientemente pequeño.

Ahora agregamos dos cortes a la partición para cada t _i . Uno de los cortes estará en t _i − δ /2 , y el otro estará en t _i + δ /2 . Si uno de estos deja el intervalo [0, 1], entonces lo omitimos. t _i será la etiqueta correspondiente al subintervalo $${\displaystyle \left[t_{i}-{\frac {\delta }{2}},t_{i}+{\frac {\delta }{2}}\right].}$$

Si t _i está directamente encima de uno de los x _j , entonces dejamos que t _i sea la etiqueta para ambos intervalos: $${\displaystyle \left[t_{i}-{\frac {\delta }{2}},x_{j}\right],\quad {\text{and}}\quad \left[x_{j},t_{i}+{\frac {\delta }{2}}\right].}$$

Todavía tenemos que elegir etiquetas para los demás subintervalos. Las elegiremos de dos maneras diferentes. La primera es elegir siempre un punto racional , de modo que la suma de Riemann sea lo más grande posible. Esto hará que el valor de la suma de Riemann sea al menos 1 − ε . La segunda es elegir siempre un punto irracional, de modo que la suma de Riemann sea lo más pequeña posible. Esto hará que el valor de la suma de Riemann sea como máximo ε .

Dado que partimos de una partición arbitraria y terminamos tan cerca como quisimos de cero o uno, es falso afirmar que finalmente quedamos atrapados cerca de algún número s , por lo que esta función no es integrable en el sentido de Riemann. Sin embargo, sí es integrable en el sentido de Lebesgue . En el sentido de Lebesgue, su integral es cero, puesto que la función es cero casi en todas partes . Pero este es un hecho que escapa al alcance de la integral de Riemann.

Hay ejemplos aún peores. es equivalente (es decir, igual casi en todas partes) a una función integrable de Riemann, pero hay funciones acotadas no integrables de Riemann que no son equivalentes a ninguna función integrable de Riemann. Por ejemplo, sea C el conjunto de Smith-Volterra-Cantor y sea I _C su función indicadora. Como C no es medible de Jordan , I _C no es integrable de Riemann. Además, ninguna función g equivalente a I _C es integrable de Riemann: g , como I _C , debe ser cero en un conjunto denso, por lo que, como en el ejemplo anterior, cualquier suma de Riemann de g tiene un refinamiento que está dentro de ε de 0 para cualquier número positivo  ε . Pero si existe la integral de Riemann de g , entonces debe ser igual a la integral de Lebesgue de I _C , que es 1/2 . Por lo tanto, g no es integrable de Riemann. ${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }}$

Es común definir la integral de Riemann como la integral de Darboux . Esto se debe a que la integral de Darboux es técnicamente más sencilla y a que una función es integrable en el sentido de Riemann si y solo si es integrable en el sentido de Darboux.

Algunos libros de cálculo no utilizan particiones etiquetadas generales, sino que se limitan a tipos específicos de particiones etiquetadas. Si el tipo de partición es demasiado limitado, algunas funciones no integrables pueden parecer integrables.

Una restricción común es el uso de sumas de Riemann "izquierdas" y "derechas". En una suma de Riemann izquierda, t _i = x _i para todo i , y en una suma de Riemann derecha, t _i = x _{i + 1} para todo i . Por sí sola, esta restricción no supone ningún problema: podemos refinar cualquier partición de forma que se convierta en una suma izquierda o derecha subdividiéndola en cada t _i . En un lenguaje más formal, el conjunto de todas las sumas de Riemann izquierdas y el conjunto de todas las sumas de Riemann derechas son cofinales en el conjunto de todas las particiones etiquetadas.

Otra restricción popular es el uso de subdivisiones regulares de un intervalo. Por ejemplo, la n -ésima subdivisión regular de [0, 1] consta de los intervalos $${\displaystyle \left[0,{\frac {1}{n}}\right],\left[{\frac {1}{n}},{\frac {2}{n}}\right],\ldots ,\left[{\frac {n-1}{n}},1\right].}$$

De nuevo, esta restricción por sí sola no supone un problema, pero el razonamiento necesario para ver este hecho es más difícil que en el caso de las sumas de Riemann por la izquierda y por la derecha.

Sin embargo, combinar estas restricciones, de modo que solo se utilicen sumas de Riemann por la izquierda o por la derecha en intervalos divididos regularmente, es peligroso. Si se sabe de antemano que una función es integrable según Riemann, esta técnica proporcionará el valor correcto de la integral. Pero bajo estas condiciones, la función indicadora parecerá ser integrable en [0, 1] con una integral igual a uno: cada extremo de cada subintervalo será un número racional, por lo que la función siempre se evaluará en números racionales y, por lo tanto, parecerá ser siempre igual a uno. El problema con esta definición se hace evidente cuando intentamos dividir la integral en dos partes. Debería cumplirse la siguiente ecuación: ${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }}$$${\displaystyle \int _{0}^{{\sqrt {2}}-1}I_{\mathbb {Q} }(x)\,dx+\int _{{\sqrt {2}}-1}^{1}I_{\mathbb {Q} }(x)\,dx=\int _{0}^{1}I_{\mathbb {Q} }(x)\,dx.}$$

Si utilizamos subdivisiones regulares y sumas de Riemann por la izquierda o por la derecha, entonces los dos términos de la izquierda son iguales a cero, ya que todos los extremos, excepto 0 y 1, serán irracionales, pero como hemos visto, el término de la derecha será igual a 1.

Como se definió anteriormente, la integral de Riemann evita este problema al negarse a integrar. La integral de Lebesgue se define de tal manera que todas estas integrales son 0. ${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }.}$

La integral de Riemann es una transformación lineal; es decir, si f y g son integrables de Riemann en [ a , b ] y α y β son constantes, entonces $${\displaystyle \int _{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$$

Dado que la integral de Riemann de una función es un número, esto convierte a la integral de Riemann en un funcional lineal en el espacio vectorial de funciones integrables de Riemann.

Una función acotada en un intervalo compacto [ a , b ] es integrable de Riemann si y solo si es continua casi en todas partes (el conjunto de sus puntos de discontinuidad tiene medida cero , en el sentido de la medida de Lebesgue ). Esta es laTeorema de Lebesgue-Vitali (de caracterización de las funciones integrables de Riemann). Fue demostrado independientemente porGiuseppe Vitaliy porHenri Lebesgueen 1907, y utiliza la noción demedida cero, pero no emplea ni la medida general ni la integral de Lebesgue.

The integrability condition can be proven in various ways,^[6][7][8][9] one of which is sketched below.

En particular, cualquier conjunto que sea como máximo numerable tiene medida de Lebesgue cero, y por lo tanto una función acotada (en un intervalo compacto) con solo un número finito o numerable de discontinuidades es integrable de Riemann. Otro criterio suficiente para la integrabilidad de Riemann sobre [ a , b ] , pero que no involucra el concepto de medida, es la existencia de un límite por la derecha (o por la izquierda) en cada punto de [ a , b ) (o ( a , b ] ). ^{[ 12 ]}

Una función indicadora de un conjunto acotado es integrable en el sentido de Riemann si y solo si el conjunto es medible en el sentido de Jordan . La integral de Riemann puede interpretarse desde el punto de vista de la teoría de la medida como la integral con respecto a la medida de Jordan.

Si una función de valores reales es monótona en el intervalo [ a , b ] , es integrable en el sentido de Riemann, ya que su conjunto de discontinuidades es, como máximo, numerable y, por lo tanto, de medida de Lebesgue cero. Si una función de valores reales en [ a , b ] es integrable en el sentido de Riemann, también lo es en el de Lebesgue . Es decir, la integrabilidad de Riemann es una condición más fuerte (más difícil de satisfacer) que la integrabilidad de Lebesgue. Lo contrario no se cumple; no todas las funciones integrables en el sentido de Lebesgue son integrables en el sentido de Riemann.

El teorema de Lebesgue-Vitali no implica que todos los tipos de discontinuidades tengan el mismo peso en la obstrucción de que una función acotada de valores reales sea integrable de Riemann en [ a , b ] . De hecho, ciertas discontinuidades no influyen en absoluto en la integrabilidad de Riemann de la función, lo cual es consecuencia de la clasificación de las discontinuidades de una función.

Si f _n es una sucesión uniformemente convergente en [ a , b ] con límite f , entonces la integrabilidad de Riemann de todos los f _n implica la integrabilidad de Riemann de f , y $${\displaystyle \int _{a}^{b}f\,dx=\int _{a}^{b}{\lim _{n\to \infty }{f_{n}}\,dx}=\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}\,dx.}$$

Sin embargo, el teorema de convergencia monótona de Lebesgue (sobre un límite puntual monótono) no se cumple para las integrales de Riemann. Por lo tanto, en la integración de Riemann, tomar límites bajo el signo integral es mucho más difícil de justificar lógicamente que en la integración de Lebesgue. ^{[ 13 ]}

Es fácil extender la integral de Riemann a funciones con valores en el espacio vectorial euclidiano para cualquier n . La integral se define componente a componente; en otras palabras, si f = ( f ₁ , ..., f _n ) entonces ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle \int \mathbf {f} =\left(\int f_{1},\,\dots ,\int f_{n}\right).}$$

En particular, dado que los números complejos son un espacio vectorial real , esto permite la integración de funciones con valores complejos.

La integral de Riemann solo está definida en intervalos acotados y no se extiende bien a intervalos no acotados. La extensión más sencilla posible es definir dicha integral como un límite , es decir, como una integral impropia : $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{a\to -\infty \atop b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$$

Esta definición conlleva algunas sutilezas, como el hecho de que no siempre es equivalente a calcular el valor principal de Cauchy.$${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}f(x)\,dx.}$$

Por ejemplo, consideremos la función signo f ( x ) = sgn( x ) que es 0 en x = 0 , 1 para x > 0 y −1 para x < 0 . Por simetría, siempre, independientemente de a . Pero hay muchas maneras de que el intervalo de integración se expanda para llenar la recta real, y otras maneras pueden producir resultados diferentes; en otras palabras, el límite multivariado no siempre existe. Podemos calcular $${\displaystyle \int _{-a}^{a}f(x)\,dx=0}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-a}^{2a}f(x)\,dx&=a,\\\int _{-2a}^{a}f(x)\,dx&=-a.\end{aligned}}}$$

En general, esta integral de Riemann impropia no está definida. Incluso estandarizar una forma para que el intervalo se aproxime a la recta real no funciona porque conduce a resultados inquietantemente contraintuitivos. Si aceptamos (por ejemplo) que la integral impropia siempre debe ser entonces la integral de la traslación f ( x − 1) es −2, por lo que esta definición no es invariante bajo desplazamientos, una propiedad muy indeseable. De hecho, esta función no solo no tiene una integral de Riemann impropia, sino que su integral de Lebesgue tampoco está definida (es igual a ∞ − ∞ ). $${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}f(x)\,dx,}$$

Desafortunadamente, la integral de Riemann impropia no es lo suficientemente potente. El problema más grave es que no existen teoremas ampliamente aplicables para la conmutación de integrales de Riemann impropias con límites de funciones. En aplicaciones como las series de Fourier, es importante poder aproximar la integral de una función utilizando integrales de aproximaciones a la función. Para las integrales de Riemann propias, un teorema estándar establece que si f _n es una sucesión de funciones que convergen uniformemente a f en un conjunto compacto [ a , b ] , entonces $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$$

On non-compact intervals such as the real line, this is false. For example, take f_n(x) to be n⁻¹ on [0, n] and zero elsewhere. For all n we have: $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f_{n}\,dx=1.}$$

The sequence (f_n) converges uniformly to the zero function, and clearly the integral of the zero function is zero. Consequently, $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f\,dx\neq \lim _{n\to \infty }\int _{-\infty }^{\infty }f_{n}\,dx.}$$

This demonstrates that for integrals on unbounded intervals, uniform convergence of a function is not strong enough to allow passing a limit through an integral sign. This makes the Riemann integral unworkable in applications (even though the Riemann integral assigns both sides the correct value), because there is no other general criterion for exchanging a limit and a Riemann integral, and without such a criterion it is difficult to approximate integrals by approximating their integrands.

A better route is to abandon the Riemann integral for the Lebesgue integral. The definition of the Lebesgue integral is not obviously a generalization of the Riemann integral, but it is not hard to prove that every Riemann-integrable function is Lebesgue-integrable and that the values of the two integrals agree whenever they are both defined. Moreover, a function f defined on a bounded interval is Riemann-integrable if and only if it is bounded and the set of points where f is discontinuous has Lebesgue measure zero.

An integral which is in fact a direct generalization of the Riemann integral is the Henstock–Kurzweil integral.

Another way of generalizing the Riemann integral is to replace the factors x_{k + 1} − x_k in the definition of a Riemann sum by something else; roughly speaking, this gives the interval of integration a different notion of length. This is the approach taken by the Riemann–Stieltjes integral.

In multivariable calculus, the Riemann integrals for functions from ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ are multiple integrals.

La integral de Riemann no es adecuada para muchos propósitos teóricos. Algunas de las deficiencias técnicas de la integración de Riemann pueden subsanarse con la integral de Riemann-Stieltjes , y la mayoría desaparecen con la integral de Lebesgue , aunque esta última no ofrece un tratamiento satisfactorio para las integrales impropias . La integral de gauge es una generalización de la integral de Lebesgue que, al mismo tiempo, se aproxima más a la integral de Riemann. Estas teorías más generales permiten la integración de funciones más irregulares o altamente oscilantes cuya integral de Riemann no existe; sin embargo, cuando existe, las teorías proporcionan el mismo valor que la integral de Riemann.

En el ámbito educativo, la integral de Darboux ofrece una definición más sencilla y fácil de usar; puede emplearse para introducir la integral de Riemann. La integral de Darboux se define siempre que se define la integral de Riemann y siempre arroja el mismo resultado. Por el contrario, la integral de gauge es una generalización sencilla pero más potente de la integral de Riemann, lo que ha llevado a algunos educadores a proponer que la reemplace en los cursos introductorios de cálculo. ^{[ 14 ]}

• Área
• Antiderivado
• Integración de Lebesgue

• Axler, Sheldon (2020). Medida, integración y análisis real . Springer.
• Shilov, GE y Gurevich, BL, 1978. Integral, medida y derivada: un enfoque unificado , traducción de Richard A. Silverman. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.
• Apostol, Tom (1974), Análisis matemático , Addison-Wesley

• Contenido multimedia relacionado con la integral de Riemann en Wikimedia Commons.
• "Integral de Riemann" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]